WikiDer > Проблема червя Мозерса - Википедия

Нерешенная проблема в математике: Какова минимальная площадь формы, которая может покрыть каждую кривую единичной длины? (больше нерешенных задач по математике)

Проблема червя Мозера (также известен как проблема с одеялом материнского червя) является нерешенной проблемой в геометрия сформулирована австрийско-канадским математиком Лео Мозер в 1966 году. Задача задает область наименьшего площадь который может вместить любой плоская кривая длины 1. Здесь "приспосабливать" означает, что кривая может быть повернут и переведены вписаться в регион. В некоторых вариантах задачи регион ограничен выпуклый.

Примеры

Например, круглый диск радиуса 1/2 может вместить любую плоскую кривую длиной 1, поместив среднюю точку кривой в центр диска. Другое возможное решение имеет форму ромб с углами при вершине 60 и 120 градусы (π/ 3 и 2π/3 радианы) и с длинной диагональю единичной длины.^[1] Однако это не оптимальные решения; известны другие формы, которые решают проблему с меньшими площадями.

Свойства решения

То, что решение существует, не совсем тривиально - альтернативная возможность состоит в том, что есть некоторая минимальная область, к которой можно приблизиться, но на самом деле не достичь. Однако в выпуклом случае существование решения следует из Теорема о выборе Бляшке.^[2]

Также нетривиально определить, образует ли данная форма решение. Джерриетс и Пул (1974) предположил, что форма вмещает каждую кривую единичной длины тогда и только тогда, когда она вмещает каждую многоугольную цепочку единичной длины с тремя сегментами, что было легче проверить, но Панракса, Ветцель и Вичирамала (2007) показали, что для этого теста не достаточно конечного ограничения количества сегментов в многоцепочке.

Известные границы

Проблема остается открытой, но в ряде статей исследователи сократили разрыв между известными нижними и верхними границами. Особенно, Норвуд и Пул (2003) построили (невыпуклую) универсальную крышку и показали, что минимальная форма имеет площадь не более 0,260437; Джерриетс и Пул (1974) и Норвуд, Пул и Лайдакер (1992) дал более слабые оценки сверху. В выпуклом случае Ван (2006) улучшена верхняя граница до 0,270911861. Кхандавит, Пагонакис и Шрисвасди (2013) использовали стратегию min-max для площади выпуклого множества, содержащего сегмент, треугольник и прямоугольник, чтобы показать нижнюю границу 0,232239 для выпуклого покрытия.

В 1970-х годах Джон Ветцель предположил, что круговой сектор в 30 градусов единичного радиуса представляет собой покрытие с площадью ${ displaystyle pi / 12 приблизительно 0,2618}$. Два доказательства гипотезы независимо друг от друга потребовали Мовшович и Ветцель (2017) и по Панракса и Вичирамала (2019). Если это будет подтверждено экспертной оценкой, это снизит верхнюю границу выпуклого покрытия примерно на 3%.

Смотрите также

• Проблема с перемещением дивана, проблема поиска формы максимальной площади, которую можно вращать и перемещать через L-образный коридор.
• Какея набор, набор минимальной площади, который может вместить каждый линейный сегмент единичной длины (с допустимыми перемещениями, но не поворотами)
• Универсальная проблема покрытия Лебега, найдите наименьшую выпуклую область, которая может покрыть любой плоский набор единиц диаметра
• Беллман заблудился в лесу., найдите кратчайший путь к выходу из леса известного размера и формы.

Примечания

Рекомендации

• Герриетс, Джон; Пул, Джордж (1974), «Выпуклые области, покрывающие дуги постоянной длины», Американский математический ежемесячник, 81 (1): 36–41, Дои:10.2307/2318909, JSTOR 2318909, МИСТЕР 0333991.
• Кхандхавит, Тирасан; Пагонакис, Димитриос; Срисвасди, Сира (2013), "Нижняя граница для области выпуклой оболочки и задач универсального покрытия", Международный журнал вычислительной геометрии и приложений, 23 (3): 197–212, arXiv:1101.5638, Дои:10.1142 / S0218195913500076, МИСТЕР 3158583.
• Норвуд, Рик; Пул, Джордж (2003), "Улучшенная верхняя оценка проблемы червя Лео Мозера", Дискретная и вычислительная геометрия, 29 (3): 409–417, Дои:10.1007 / s00454-002-0774-3, МИСТЕР 1961007.
• Норвуд, Рик; Пул, Джордж; Лайдакер, Майкл (1992), "Червячная проблема Лео Мозера", Дискретная и вычислительная геометрия, 7 (2): 153–162, Дои:10.1007 / BF02187832, МИСТЕР 1139077.
• Панракса, Чатчаван; Ветцель, Джон Э .; Вичирамала, Вачарин (2007), «Покрытие» п-сегментных единичных дуг недостаточно ", Дискретная и вычислительная геометрия, 37 (2): 297–299, Дои:10.1007 / s00454-006-1258-7, МИСТЕР 2295060.
• Ван, Вэй (2006), "Улучшенная верхняя оценка проблемы червя", Acta Mathematica Sinica, 49 (4): 835–846, МИСТЕР 2264090.
• Панракса, Чатчаван; Вичирамала, Вачарин (2019), «Сектор Ветцеля охватывает единичные дуги», arXiv:1907.07351 [math.MG].
• Мовшович, Евгения; Ветцель, Джон (2017), «Драпируемые дуги блока помещаются в сектор 30 ° блока», Достижения в геометрии, 17, Дои:10.1515 / advgeom-2017-0011.