WikiDer > Группа Нерона – Севери

В алгебраическая геометрия, то Группа Нерона – Севери из разнообразие группа дивизоров по модулю алгебраическая эквивалентность; другими словами это группа составные части из Схема Пикара разнообразия. Его ранг называется Число Пикар. Он назван в честь Франческо Севери и Андре Нерон.

Определение

В наиболее важных для классической алгебраической геометрии случаях для полное разнообразие V то есть неособый, то связный компонент схемы Пикара является абелева разновидность написано

Рис⁰(V).

Частное

Рис (V) / Рис⁰(V)

- абелева группа NS (V), называется Группа Нерона – Севери из V. Это конечно порожденная абелева группа по теореме Нерона – Севери, которая была доказана Севери над комплексными числами и Нероном над более общими полями.

Другими словами, группа Пикара вписывается в точная последовательность

${ displaystyle 1 to mathrm {Pic} ^ {0} (V) to mathrm {Pic} (V) to mathrm {NS} (V) to 0}$

Тот факт, что ранг конечен, равен Франческо Северис теорема о базе; ранг Число Пикар из V, часто обозначается ρ (V). Элементы конечного порядка называются дивизорами Севери и образуют конечную группу, которая является бирациональным инвариантом и порядок которой называется дивизорами Севери. Номер Севери. Геометрически NS (V) описывает алгебраическая эквивалентность классы делители на V; то есть, используя более сильное, нелинейное отношение эквивалентности вместо линейная эквивалентность дивизоров, классификация становится доступной для дискретных инвариантов. Алгебраическая эквивалентность тесно связана с числовая эквивалентность, по существу топологическая классификация номера перекрестков.

Первый класс Черна и целозначные 2-коциклы

В последовательность экспоненциальных пучков

${ displaystyle 0 to 2 pi i mathbb {Z} to { mathcal {O}} _ {V} to { mathcal {O}} _ {V} ^ {*} to 0}$

рождает длинную точную последовательность с

${ displaystyle cdots to H ^ {1} (V, { mathcal {O}} _ {V} ^ {*}) to H ^ {2} (V, mathbb {Z}) to H ^ {2} (V, { mathcal {O}} _ {V}) to cdots.}$

Первая стрелка - это первый класс Черна на Группа Пикард

${ displaystyle c_ {1}: mathrm {Pic} (V) to H ^ {2} (V, mathbb {Z}),}$

а второй

${ displaystyle exp ^ {*}: H ^ {2} (V, 2i pi mathbb {Z}) to H ^ {2} (V, { mathcal {O}} _ {V}). }$

Группа Нерона-Севери может быть отождествлена ​​с образом первого класса Черна или, что эквивалентно, по точности, как ядро ​​второй стрелки exp *.

Таким образом, в комплексном случае группа Нерона-Севери является группой 2-коциклов, у которых Пуанкаре двойственный представлена ​​сложной гиперповерхностью, т. е. Дивизор Вейля.

Рекомендации

• В.А. Исковских (2001) [1994], «Группа Нерон – Севери», Энциклопедия математики, EMS Press
• А. Нерон, Problèmes arithmétiques et géometriques attée à la notion de rang d'une Courbe algébrique dans un corps Бык. Soc. Математика. Франция, 80 (1952), стр. 101–166.
• А. Нерон, Теория основы для дивизионеров по различным алгоритмам, Сб. Геом. Alg. Льеж, Г. Тон (1952), стр. 119–126
• Ф. Севери, La base per le varietà algebriche di Dimension Qualunque Contenute in una data e la teoria generale delle corrispondénze fra i punti di due superficie algebriche Mem. Accad. Итал., 5 (1934), с. 239–283