WikiDer > Номер перекрестка

Intersection number

В математика, и особенно в алгебраическая геометрия, то номер перекрестка обобщает интуитивное понятие подсчета количества пересечений двух кривых на более высокие измерения, множественные (более 2) кривые и надлежащий учет касание. Требуется определение номера перекрестка, чтобы сформулировать такие результаты, как Теорема Безу.

Номер пересечения очевиден в некоторых случаях, например, пересечение Икс- и у- оси, которые должны быть одними. Сложность возникает при вычислении пересечений в точках касания и пересечений вдоль множеств положительной размерности. Например, если плоскость касается поверхности вдоль линии, число пересечений вдоль этой линии должно быть не менее двух. Эти вопросы систематически обсуждаются в теория пересечений.

Определение для римановых поверхностей

Позволять Икс быть Риманова поверхность. Тогда число пересечения двух замкнутых кривых на Икс имеет простое определение в терминах интеграла. Для каждой замкнутой кривой c на Икс (т.е. гладкая функция ) можно сопоставить дифференциальная форма компактного носителя, обладающего тем свойством, что интегралы по c можно вычислить интегралами по Икс:

, для каждого замкнутого (1-) дифференциала на Икс,

куда это клин дифференциалов и это Ходжа звезда. Тогда число пересечения двух замкнутых кривых, а и б, на Икс определяется как

.

В имеют следующее интуитивное определение. Они своего рода дельта Дирака по кривой c, выполненного путем взятия дифференциала функция шага единицы который падает с 1 до 0 по c. Более формально, мы начнем с определения простой замкнутой кривой c на Икс, функция жc позволяя быть небольшой полосой вокруг c в виде кольца. Назовите левую и правую части в качестве и . Затем возьмите меньшую полоску вокруг c, , с левой и правой частями и . Затем определите жc к

.

Затем определение расширяется до произвольных замкнутых кривых. Каждая замкнутая кривая c на Икс является гомологичный к для некоторых простых замкнутых кривых cя, то есть,

, для каждого дифференциала .

Определить к

.

Определение алгебраических многообразий

Обычное конструктивное определение в случае алгебраических многообразий проводится поэтапно. Приведенное ниже определение относится к числу пересечений делители на неособой разновидности Икс.

1. Единственное число пересечений, которое можно вычислить непосредственно из определения, - это пересечение гиперповерхностей (подмногообразий Икс коразмерности один), находящихся в общем положении в Икс. В частности, предположим, что у нас есть неособое многообразие Икс, и п гиперповерхности Z1, ..., Zп которые имеют локальные уравнения ж1, ..., жп возле Икс для многочленов жя(т1, ..., тп) такие, что имеют место следующие условия:

  • .
  • для всех я. (т.е. Икс находится в пересечении гиперповерхностей.)
  • (т.е. дивизоры находятся в общем положении.)
  • В неособые в Икс.

Тогда номер пересечения в точке Икс (называется кратность пересечения в Икс) является

,

куда это местное кольцо Икс в Икс, а размер - это размер k-векторное пространство. Его можно рассчитать как локализация , куда - максимальный идеал многочленов, обращающихся в нуль в Икс, и U открытое аффинное множество, содержащее Икс и не содержит ни одной особенности жя.

2. Число пересечений гиперповерхностей общего положения затем определяется как сумма чисел пересечения в каждой точке пересечения.

3. Расширить определение на эффективный делители по линейности, т. е.

и .

4. Распространите определение на произвольные делители общего положения, заметив, что каждый дивизор имеет уникальное выражение как D = п - N для некоторых эффективных делителей п и N. Так что давайте Dя = пя - Nя, и используйте правила формы

преобразовать перекресток.

5. Затем определяется число пересечений произвольных делителей с помощью символа "Лемма Чоу о движении"что гарантирует, что мы можем найти линейно эквивалентные дивизоры общего положения, которые мы можем затем пересечь.

Обратите внимание, что определение числа пересечения не зависит от порядка, в котором делители появляются при вычислении этого числа.

Формула Тора Серра

Позволять V и W - два подмногообразия неособый проективное разнообразие Икс такой, что тусклый (V) + тусклый (W) = тусклый (Икс). Затем ожидаем пересечения VW быть конечным множеством точек. Если мы попытаемся их посчитать, могут возникнуть проблемы двух видов. Во-первых, даже если ожидаемый размер VW равен нулю, фактическое пересечение может иметь большие размеры. Например, мы могли бы попытаться найти число самопересечения проективная линия в проективная плоскость. Вторая потенциальная проблема заключается в том, что даже если пересечение нульмерно, оно может быть нетрансверсальным. Например, V может быть касательная линия к плоской кривой W.

Первая проблема требует машинного теория пересечений, подробно обсуждалось выше. Основная идея - заменить V и W более удобными подмногообразиями с помощью подвижная лемма. С другой стороны, вторую проблему можно решить напрямую, не двигаясь. V или же W. В 1965 г. Жан-Пьер Серр описал, как найти кратность каждой точки пересечения методами коммутативная алгебра и гомологическая алгебра.[1] Эта связь между геометрическим понятием пересечения и гомологическим понятием производное тензорное произведение оказал влияние и привел, в частности, к нескольким гомологические гипотезы коммутативной алгебры.

В Формула Тора Серра это следующий результат. Позволять Икс быть обычный разнообразие, V и W два подмногообразия дополнительной размерности такие, что VW нульмерна. Для любой точки ИксVW, позволять А быть местное кольцо из Икс. В структурные шкивы из V и W в Икс соответствуют идеалам я, JА. Тогда кратность VW в момент Икс является

где длина длина модуля над локальным кольцом, а Tor - Функтор Tor. Когда V и W можно переместить в поперечное положение, эта гомологическая формула дает ожидаемый ответ. Так, например, если V и W встретиться поперек в Икс, кратность равна 1. Если V касательная линия в точке Икс к парабола W в самолете в точке Икс, то кратность при Икс равно 2.

Если оба V и W локально вырезаны регулярные последовательности, например, если они неособый, то в формуле выше все высшие значения Tor равны нулю, следовательно, кратность положительна. Положительность в произвольном случае одна из Гипотезы Серра о множественности.

Дополнительные определения

Определение может быть значительно обобщено, например, на пересечения вдоль подмногообразий, а не только в точках, или на произвольные полные многообразия.

В алгебраической топологии число пересечения появляется как двойственное по Пуанкаре чашка продукта. В частности, если два коллектора, Икс и Y, поперечно пересекаются в многообразии Mклассом гомологии пересечения является Пуанкаре двойственный чашки продукта двойников Пуанкаре к Икс и Y.

Определение числа пересечения Снаппера – Клеймана

Существует подход к количеству пересечений, введенный Снаппером в 1959-60 гг. И развитый позже Картье и Клейманом, который определяет количество пересечений как характеристику Эйлера.

Позволять Икс быть схемой над схемой S, Рис (Икс) Группа Пикард из Икс и грамм группа Гротендика категории когерентные пучки на Икс чья поддержка правильный над Артинианская подсхема из S.

Для каждого L в рис (Икс), определим эндоморфизм c1(L) из грамм (называется первый класс Черна из L) к

Добавка на грамм так как тензор с линейным пучком точен. Также есть:

  • ; особенно, и ездить.
  • (это нетривиально и следует из аргумент dévissage.)

Номер перекрестка

линейных пакетов Lя's определяется следующим образом:

где χ обозначает Эйлерова характеристика. В качестве альтернативы можно по индукции:

Каждый раз F фиксированный, является симметричным функционалом от Lяс.

Если Lя = ОИкс(Dя) для некоторых Делители Картье Dяs, тогда напишем для номера перекрестка.

Позволять быть морфизмом S-схемы, линейные пакеты на Икс и F в грамм с . потом

.[2]

Кратности пересечений для плоских кривых

Каждому триплету присваивается уникальная функция. состоящий из пары проективных кривых, и , в и точка , число называется кратность пересечения из и в который удовлетворяет следующим свойствам:

  1. если и только если и имеют общий множитель, равный нулю при
  2. если и только если один из или же отлична от нуля (т.е. точка не на одной из кривых)
  3. куда
  4. для любого

Хотя эти свойства полностью характеризуют множественность пересечений, на практике это реализуется несколькими разными способами.

Одной из реализаций кратности пересечений является размерность некоторого фактор-пространства кольца степенных рядов . Сделав при необходимости замену переменных, можно считать, что . Позволять и - многочлены, определяющие интересующие нас алгебраические кривые. Если исходные уравнения даны в однородной форме, их можно получить, положив . Позволять обозначают идеал создано и . Кратность пересечения - это размерность как векторное пространство над .

Другая реализация множественности пересечений исходит из результирующий двух полиномов и . В координатах где , кривые не имеют других пересечений с , а степень из относительно равна общей степени , можно определить как высшую степень который делит результат и и рассматривается как многочлены от ).

Кратность пересечения также может быть определена как количество различных пересечений, которые существуют, если кривые слегка возмущены. В частности, если и определить кривые, которые пересекаются только один раз в закрытие открытого набора , то для плотного набора , и гладкие и трансверсально пересекаются (т. е. имеют разные касательные) ровно в каком-то числе указывает в . Мы говорим тогда, что .

Пример

Рассмотрим пересечение Икс-ось с параболой

потом

и

так

Таким образом, степень пересечения равна двум; это обычный касание.

Самопересечения

Некоторые из наиболее интересных чисел пересечения для вычисления: числа самопересечения. Это не следует воспринимать наивно. Имеется в виду, что в классе эквивалентности делители определенного вида пересекаются два представителя, которые находятся в общая позиция по отношению друг к другу. Таким образом, числа самопересечения могут стать четко определенными и даже отрицательными.

Приложения

Номер перекрестка частично мотивирован желанием определить перекресток, чтобы удовлетворить Теорема Безу.

Число пересечения возникает при изучении фиксированные точки, который можно определить как пересечения функции графики с диагонали. При вычислении числа пересечений в фиксированных точках учитываются фиксированные точки. с множеством, и приводит к Теорема Лефшеца о неподвижной точке в количественной форме.

Примечания

  1. ^ Серр, Жан-Пьер (1965). Язык Algèbre, multiplicités. Конспект лекций по математике. 11. Springer-Verlag. С. x + 160.
  2. ^ Коллар 1996, Гл. VI. Предложение 2.11.

Рекомендации