WikiDer > Длина модуля - Википедия

Length of a module - Wikipedia

В абстрактная алгебра, то длина из модуль является обобщением измерение из векторное пространство который измеряет его размер.^[1] ^{стр. 153} В частности, как и в случае векторных пространств, единственными модулями конечной длины являются конечно порожденные модули. Он определяется как длина самой длинной цепочки подмодули. Модули с конечный length разделяют многие важные свойства с конечномерными векторными пространствами.

Другие концепции, используемые для «подсчета» в теории колец и модулей: глубина и высота; и то, и другое требует более тонкого определения. Более того, их использование больше соответствует теория размерности тогда как длина используется для анализа конечных модулей. Также существуют различные идеи измерение что полезно. Коммутативные кольца конечной длины играют важную роль в функториальных трактовках формальная алгебраическая геометрия и Теория деформации куда Кольца Артина широко используются.

Определение

Длина модуля

Позволять ${ displaystyle M}$ быть (левым или правым) модулем над некоторым звенеть ${ displaystyle R}$ . Дана цепочка подмодулей ${ displaystyle M}$ формы

{ Displaystyle M_ {0} subsetneq M_ {1} subsetneq cdots subsetneq M_ {n} = M}

мы говорим, что ${ displaystyle n}$ это длина цепи.^[1] В длина из ${ displaystyle M}$ определяется как наибольшая длина любой из его цепей. Если такой наибольшей длины не существует, говорят, что ${ displaystyle M}$ имеет бесконечная длина.

Длина кольца

Кольцо ${ displaystyle R}$ имеет конечную длину как кольцо, если оно имеет конечную длину как левое кольцо. ${ displaystyle R}$ -модуль.

Характеристики

Конечная длина и конечные модули

Если ${ displaystyle R}$ -модуль ${ displaystyle M}$ имеет конечную длину, то это конечно порожденный.^[2] Если р - поле, то верно и обратное.

Связь с артиновскими и нётеровыми модулями

An ${ displaystyle R}$ -модуль ${ displaystyle M}$ имеет конечную длину тогда и только тогда, когда это одновременно Модуль Нётерана и Артинианский модуль^[1] (ср. Теорема Хопкинса). Поскольку все артиновы кольца нётеровы, отсюда следует, что кольцо имеет конечную длину тогда и только тогда, когда оно артиново.

Поведение относительно коротких точных последовательностей

Предполагать

${ Displaystyle 0 rightarrow L rightarrow M rightarrow N rightarrow 0}$

это короткая точная последовательность из ${ displaystyle R}$ -модули. Тогда M имеет конечную длину тогда и только тогда, когда L и N имеют конечную длину, и мы имеем

${ displaystyle { text {length}} _ {R} (M) = { text {length}} _ {R} (L) + { text {length}} _ {R} (N)}$

В частности, это подразумевает следующие два свойства

Прямая сумма двух модулей конечной длины имеет конечную длину
Подмодуль модуля конечной длины имеет конечную длину, и его длина меньше или равна его родительскому модулю.

Теорема Жордана – Гёльдера

А серия композиций модуля M представляет собой цепочку вида

{ Displaystyle 0 = N_ {0} subsetneq N_ {1} subsetneq cdots subsetneq N_ {n} = M}

такой, что

{ displaystyle N_ {i + 1} / N_ {i} { mbox {прост для}} i = 0, dots, n-1}

Модуль M имеет конечную длину тогда и только тогда, когда он имеет (конечный) композиционный ряд, и длина каждого такого композиционного ряда равна длине M.

Примеры

Конечномерные векторные пространства

Любое конечномерное векторное пространство ${ displaystyle V}$ над полем ${ displaystyle k}$ имеет конечную длину. Учитывая основу ${ displaystyle v_ {1}, ldots, v_ {n}}$ есть цепь

${ displaystyle 0 subset { text {Span}} _ {k} (v_ {1}) subset { text {Span}} _ {k} (v_ {1}, v_ {2}) subset cdots subset { text {Span}} _ {k} (v_ {1}, ldots, v_ {n}) = V}$

который имеет длину ${ displaystyle n}$ . Он максимален, потому что для любой цепи

${ Displaystyle V_ {0} subset cdots subset V_ {м}}$

размер каждого включения увеличится как минимум на ${ displaystyle 1}$ . Следовательно, его длина и размер совпадают.

Артинианские модули

Над базовым кольцом ${ displaystyle R}$ , Артинианские модули образуют класс примеров конечных модулей. Фактически, эти примеры служат основными инструментами для определения порядка исчезновения в Теория пересечения.^[3]

Нулевой модуль

Нулевой модуль - единственный с длиной 0.

Простые модули

Модули длиной 1 - это в точности простые модули.

Артиновые модули над Z

Длина циклическая группа ${ Displaystyle mathbb {Z} / п}$ (рассматривается как модуль над целые числа Z) равно количеству основной факторы ${ displaystyle n}$ , с многократным подсчетом нескольких простых множителей. Это можно найти с помощью Китайская теорема об остатках.

Использование в теории множественности

При необходимости Теория пересечения, Жан-Пьер Серр ввел общее понятие множественность точки, как длина Артинианское местное кольцо связанные с этим моментом.

Первое приложение было полным определением кратность пересечения, и, в частности, заявление Теорема Безу который утверждает, что сумма кратностей точек пересечения $п$ алгебраические гиперповерхности в $п$ -размерный проективное пространство либо бесконечно, либо точно произведение степеней гиперповерхностей.

Это определение кратности является довольно общим и содержит в качестве частных случаев большинство предыдущих понятий алгебраической кратности.

Порядок обращения в нуль нулей и полюсов

Частным случаем этого общего определения кратности является порядок обращения в нуль ненулевой алгебраической функции ${ displaystyle f in R (X) ^ {*}}$ на алгебраическом многообразии. Учитывая алгебраическое многообразие ${ displaystyle X}$ и подмножество ${ displaystyle V}$ из коразмерность 1^[3] порядок обращения в нуль для многочлена ${ displaystyle f in R (X)}$ определяется как^[4]

${ displaystyle { text {ord}} _ {V} (f) = { text {length}} _ {{ mathcal {O}} _ {V, X}} left ({ frac {{ mathcal {O}} _ {V, X}} {(f)}} right)}$

куда ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {V, X}}$ локальное кольцо, определяемое стеблем ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ по подмногообразию ${ displaystyle V}$ ^[3] ^{страницы 426-227}, или, что то же самое, стебель из ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ в общей точке ${ displaystyle V}$ ^[5] ^стр.22. Если ${ displaystyle X}$ является аффинное разнообразие, и ${ displaystyle V}$ определяется исчезающим множеством ${ Displaystyle V (е)}$ , то существует изоморфизм

${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {V, X} cong R (X) _ {(f)}}$

Затем эту идею можно распространить на рациональные функции ${ Displaystyle F = f / g}$ на разнообразии ${ displaystyle X}$ где порядок определяется как

${ displaystyle { text {ord}} _ {V} (F): = { text {ord}} _ {V} (f) - { text {ord}} _ {V} (g)}$ ^[3]

что похоже на определение порядка нулей и полюсов в Комплексный анализ.

Пример проективного многообразия

Например, рассмотрим проективная поверхность ${ Displaystyle Z (ч) подмножество mathbb {P} ^ {3}}$ определяется полиномом ${ displaystyle h in k [x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}]}$ , то порядок обращения в нуль рациональной функции

${ displaystyle F = { frac {f} {g}}}$

дан кем-то

${ displaystyle { text {ord}} _ {Z (h)} (F) = { text {ord}} _ {Z (h)} (f) - { text {ord}} _ {Z ( h)} (g)}$

куда

${ displaystyle { text {ord}} _ {Z (h)} (f) = { text {length}} _ {{ mathcal {O}} _ {Z (h), mathbb {P} ^ {3}}} left ({ frac {{ mathcal {O}} _ {Z (h), mathbb {P} ^ {3}}} {(f)}} right)}$

Например, если ${ displaystyle h = x_ {0} ^ {3} + x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + x_ {2} ^ {3}}$ и ${ displaystyle f = x ^ {2} + y ^ {2}}$ и ${ displaystyle g = h ^ {2} (x_ {0} + x_ {1} -x_ {3})}$ тогда

${ displaystyle { text {ord}} _ {Z (h)} (f) = { text {length}} _ {{ mathcal {O}} _ {Z (h), mathbb {P} ^ {3}}} left ({ frac {{ mathcal {O}} _ {Z (h), mathbb {P} ^ {3}}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) )}} right) = 0}$

поскольку ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$ это Единица (теория колец) в местном кольце ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {Z (ч), mathbb {P} ^ {3}}}$ . В противном случае ${ displaystyle x_ {0} + x_ {1} -x_ {3}}$ является единицей, поэтому фактор-модуль изоморфен

${ displaystyle { frac {{ mathcal {O}} _ {Z (h), mathbb {P} ^ {3}}} {(h ^ {2})}}}$

так что он имеет длину ${ displaystyle 2}$ . Это можно найти, используя максимальную правильную последовательность

${ displaystyle (0) subset { frac {{ mathcal {O}} _ {Z (h), mathbb {P} ^ {3}}} {(h)}} subset { frac {{ mathcal {O}} _ {Z (h), mathbb {P} ^ {3}}} {(h ^ {2})}}}$

Ноль и полюсы аналитической функции

Порядок обращения в нуль является обобщением порядка нулей и полюсов для мероморфные функции в Комплексный анализ. Например, функция

${ displaystyle { frac {(z-1) ^ {3} (z-2)} {(z-1) (z-4i)}}}$

имеет нули порядка 2 и 1 при ${ displaystyle 1,2 in mathbb {C}}$ и полюс порядка ${ displaystyle 1}$ в ${ displaystyle 4i in mathbb {C}}$ . Такую информацию можно закодировать, используя длину модулей. Например, установка ${ Displaystyle R (X) = mathbb {C} [z]}$ и ${ Displaystyle V = V (г-1)}$ , есть связанный местное кольцо ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {V, X}}$ является ${ Displaystyle mathbb {С} [г] _ {(г-1)}}$ и фактор-модуль

${ Displaystyle { гидроразрыва { mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-4i) (z-1) ^ {2})}}}$

Обратите внимание, что ${ displaystyle z-4i}$ является единицей, поэтому она изоморфна фактор-модулю

${ Displaystyle { гидроразрыва { mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-1) ^ {2})}}}$

Его длина ${ displaystyle 2}$ поскольку существует максимальная цепь

${ Displaystyle (0) подмножество { гидроразрыва { mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-1))}} subset { displaystyle { frac { mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-1) ^ {2})}}}}$

подмодулей.^[6] В более общем плане, используя Теорема факторизации Вейерштрасса мероморфная функция факторов как