WikiDer > Нейтральная ось

Балка с нейтральной осью (x).

В нейтральная ось ось в поперечном сечении луч (элемент, противодействующий изгибу) или вал, вдоль которого нет продольных напряжений или деформаций. Если сечение симметрично, изотропно и не искривлено до изгиба, то нейтральная ось находится на геометрической центроид. Все волокна по одну сторону от нейтральной оси находятся в состоянии напряжение, а те, кто на противоположной стороне, находятся в сжатие.

Поскольку балка изгибается равномерно, плоскость на балке остается плоской. То есть:

${displaystyle gamma _ {xy} = gamma _ {zx} = au _ {xy} = au _ {xz} = 0}$

Где ${displaystyle gamma}$ это деформация сдвига и ${displaystyle au}$ это напряжение сдвига

В верхней части балки возникает сжимающая (отрицательная) деформация, а в нижней части балки - растягивающая (положительная) деформация. Поэтому Теорема о промежуточном значении, между верхом и низом должна быть какая-то точка, которая не деформируется, так как деформация в балке непрерывная функция.

Пусть L - исходная длина балки (охватывать)
ε (y) - деформация как функция координаты на поверхности балки.
σ (y) - напряжение как функция координаты на поверхности балки.
ρ - это радиус кривизны пучка на его нейтральной оси.
θ - это сгибать угол

Поскольку изгиб униформа и чистый, следовательно, на расстоянии y от нейтральной оси с присущим ему свойством не деформироваться:

${displaystyle epsilon _ {x} (y) = {frac {L (y) -L} {L}} = {frac {heta, (ho, -y) - heta ho,} {heta ho,}} = { frac {-y heta} {ho heta}} = {frac {-y} {ho}}}$

Следовательно, продольная нормальная деформация ${displaystyle epsilon _ {x}}$ изменяется линейно с расстоянием y от нейтральной поверхности. Обозначение ${displaystyle epsilon _ {m}}$ в качестве максимальной деформации в балке (на расстоянии c от нейтральной оси) становится ясно, что:

${displaystyle epsilon _ {m} = {гидроразрыв {c} {ho}}}$

Следовательно, мы можем решить для ρ и найти, что:

${displaystyle ho = {frac {c} {epsilon _ {m}}}}$

Подставляя это обратно в исходное выражение, мы обнаруживаем, что:

${displaystyle epsilon _ {x} (y) = {frac {-epsilon _ {m} y} {c}}}$

Из-за Закон Гука, напряжение в балке пропорционально деформации на E, модуль упругости:

${displaystyle sigma _ {x} = Eepsilon _ {x},}$

Следовательно:

${displaystyle Eepsilon _ {x} (y) = {frac {-Eepsilon _ {m} y} {c}}}$

${displaystyle sigma _ {x} (y) = {frac {-sigma _ {m} y} {c}}}$

Из статика, момент (т.е. чистый изгиб) состоит из равных и противоположных сил. Следовательно, общая сила в поперечном сечении должна быть равна 0.

${displaystyle int sigma _ {x} dA = 0}$

Следовательно:

${displaystyle int {frac {-sigma _ {m} y} {c}} dA = 0}$

Так как y обозначает расстояние от нейтральной оси до любой точки на грани, это единственная переменная, которая изменяется относительно dA. Следовательно:

${displaystyle int ydA = 0}$

Следовательно первый момент поперечного сечения вокруг своей нейтральной оси должно быть равно нулю. Следовательно, нейтральная ось лежит в центре тяжести поперечного сечения.

Обратите внимание, что нейтральная ось не изменяется в длине при изгибе. Сначала это может показаться нелогичным, но это потому, что в нейтральной оси нет изгибающих напряжений. Однако есть касательные напряжения (τ) по нейтральной оси, равные нулю в середине пролета, но возрастающие по направлению к опорам, как видно из этой функции (формула Журавского);

${displaystyle au = {frac {TQ} {wI}}}$

куда
T = поперечная сила
Q = первый момент области секции выше / ниже нейтральной оси
w = ширина балки
Я = второй момент площади луча

Это определение подходит для так называемой длинной балки, т.е. ее длина намного больше двух других размеров.

Арки

Арки также имеют нейтральную ось, если они сделаны из камня; Камень - неэластичная среда и имеет небольшую прочность на растяжение. Следовательно, когда нагрузка на арку изменяется, нейтральная ось перемещается - если нейтральная ось покидает каменную кладку, арка выйдет из строя.

Эта теория (также известная как линия тяги метод) был предложен Томас Янг и разработан Исамбард Кингдом Брунель.

Смотрите также

• Нейтральный самолет
• Второй момент инерции