WikiDer > Неабелева алгебраическая топология

Nonabelian algebraic topology

В математика, неабелева алгебраическая топология изучает аспект алгебраическая топология который включает (неизбежно некоммутативный) многомерные алгебры.

Многие из многомерных алгебраических структур являются некоммутативный и, следовательно, их изучение составляет очень важную часть неабелевского теория категорий, а также неабелевой алгебраической топологии (NAAT),[1] который обобщает идеи высших измерений, исходящие от фундаментальная группа.[2] Такие алгебраические структуры в размерностях больше 1 развивают неабелев характер фундаментальной группы, и они в точном смысле "Более неабелевский, чем группы".[1][3] Эти некоммутативные, или, более конкретно, неабелевский структуры более точно отражают геометрические сложности более высоких измерений, чем известные гомологии и гомотопические группы часто встречается в классических алгебраическая топология.

Важная часть неабелевой алгебраической топологии связана со свойствами и приложениями гомотопические группоиды и фильтрованные пространства. Некоммутативный двойные группоиды и двойной алгеброиды являются лишь первыми примерами неабелевых многомерных структур. Новые методы неабелевой алгебраической топологии (НААТ) "может применяться для определения гомотопические инварианты пространств, и гомотопическая классификация карт, в случаях, которые включают некоторые классические результаты и допускают результаты, недоступные классическими методами ". Кубические омега-группоиды, высшие гомотопические группоиды, скрещенные модули, скрещенные комплексы и Группоиды Галуа являются ключевыми концепциями при разработке приложений, связанных с гомотопией фильтрованных пространств, многомерными пространственными структурами, построением фундаментальный группоид из топос E в общей теории топоев, а также в их физических приложениях в неабелевых квантовых теориях, а также в недавних разработках в квантовая гравитация, а также категоричность и топологическая динамика.[4] Дальнейшие примеры таких приложений включают обобщения некоммутативная геометрия формализации некоммутативные стандартные модели через фундаментальные двойные группоиды и пространство-время структуры даже более общие, чем Topoi или низкоразмерный некоммутативные пространства-времени встречается в нескольких топологические квантовые теории поля и теории некоммутативной геометрии квантовой гравитации.

Фундаментальным результатом NAAT является обобщенная высшая гомотопия теорема ван Кампена доказано Р. Брауном, который утверждает, что "гомотопический тип топологического пространства может быть вычислен подходящим копредел или гомотопический копредел над гомотопическими типами его фигур ''. Связанный пример - теоремы ван Кампена для категорий покрывающие морфизмы в лексические категории.[5] Другие сообщения об обобщениях теоремы ван Кампена включают утверждения для 2 категории[6] и топос топоев [1]Важные результаты в многомерной алгебре также являются расширением Теория Галуа в категориях и категории переменных, или индексированные / параметризованные категории.[7] В Теорема Джояла – Тирни о представлении for topoi также является обобщением теории Галуа.[8]Таким образом, индексация по бикатегориям в смысле Бенабу также включает сюда Теория Джояла-Тирни.[9]

использованная литература

  • Браун, Рональд (Университет Бангора, Великобритания); Хиггинс, Филип Дж. (Даремский университет, Великобритания); Сивера, Рафаэль (Университет Валенсии, Испания) (2010). Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды. Трактаты по математике. 15. Европейское математическое общество. п. 670. ISBN 978-3-03719-083-8.[1]

Заметки

  1. ^ а б c
  2. ^ https://arxiv.org/abs/math/0407275 Неабелева алгебраическая топология Рональда Брауна. 15 июля 2004 г.
  3. ^ http://golem.ph.utexas.edu/category/2009/06/nonabelian_algebraic_topology.html Неабелева алгебраическая топология отправленный Джоном Баэзом
  4. ^ Баяну, И. С. (2007). «Неабелева категориальная онтология пространства-времени и квантовой гравитации». Аксиоматы. 17 (3–4): 353–408. Дои:10.1007 / s10516-007-9012-1.
  5. ^ Рональд Браун и Джордж Джанелидзе, теоремы ван Кампена для категорий накрывающих морфизмов в лексических категориях, J. Pure Appl. Алгебра. 119:255–263, (1997)
  6. ^ https://web.archive.org/web/20050720094804/http://www.maths.usyd.edu.au/u/stevel/papers/vkt.ps.gz Марта Бунге и Стивен Лэк. Теоремы Ван Кампена для 2-категорий и топосов
  7. ^ Джанелидзе, Георгий (1993). «Теория Галуа в переменных категориях». Прикладные категориальные структуры. 1: 103–110. Дои:10.1007 / BF00872989.
  8. ^ Хоял, Андре; Тирни, Майлз (1984). Расширение теории Галуа Гротендика. 309. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2312-5.
  9. ^ МСК(1991): 18D30,11R32,18D35,18D05