WikiDer > Хронология теории категорий и смежной математики

Timeline of category theory and related mathematics

Это хронология теории категорий и смежной математики. Его область применения («родственная математика») взята как:

Категории из абстрактная алгебраическая структуры, включая теория представлений и универсальная алгебра;
Гомологическая алгебра;
Гомотопическая алгебра;
Топология используя категории, в том числе алгебраическая топология, категориальная топология, квантовая топология, низкоразмерная топология;
Категориальная логика и теория множеств в категориальном контексте, таком как теория алгебраических множеств;
Основы математики опираясь на категории, например теория топоса;
Абстрактная геометрия, включая алгебраическая геометрия, категоричная некоммутативная геометрия, так далее.
Квантование, связанное с теорией категорий, в частности категориальное квантование;
Категориальная физика актуально для математики.

В этой статье и в теории категорий в целом ∞ =ω.

Хронология до 1945 года: до определений

Год	Авторы	Мероприятие
1890	Дэвид Гильберт	Разрешение модулей и бесплатное разрешение модулей.
1890	Дэвид Гильберт	Теорема Гильберта о сизигиях является прототипом концепции измерения в гомологическая алгебра.
1893	Дэвид Гильберт	Основная теорема в алгебраическая геометрия, то Гильберт Нуллстеллензац. Позже он был переформулирован: категория аффинные разновидности над полем k эквивалентно двойственной категории редуцированных конечно порожденный (коммутативный) k-алгебры.
1894	Анри Пуанкаре	Фундаментальная группа топологического пространства.
1895	Анри Пуанкаре	Симплициальные гомологии.
1895	Анри Пуанкаре	Фундаментальная работа Место анализа, начало алгебраическая топология.
ок. 1910	Л. Э. Дж. Брауэр	Брауэр развивает интуиционизм как вклад в фундаментальные дебаты по математике в период примерно с 1910 по 1930 год, интуиционистская логика побочный продукт все более бесплодной дискуссии о формализме.
1923	Герман Кюннет	Формула Кюннета для гомологии произведения пространств.
1926	Генрих Брандт	определяет понятие группоид
1928	Аренд Хейтинг	Интуиционистская логика Брауэра превратилась в формальную математику как логику, в которой Алгебра Гейтинга заменяет Булева алгебра.
1929	Вальтер Майер	Цепные комплексы.
1930	Эрнст Цермело–Авраам Френкель	Заявление окончательного ZF-аксиомы теории множеств, впервые изложенной в 1908 году и с тех пор усовершенствованной.
ок. 1930	Эмми Нётер	Теория модулей разработана Нётер и ее учениками, и алгебраическая топология начинает обосновываться в абстрактная алгебра а не для этого случая аргументы.
1932	Эдуард Чех	Когомологии Чеха, гомотопические группы топологического пространства.
1933	Соломон Лефшец	Особые гомологии топологических пространств.
1934	Райнхольд Баер	Внешние группы, Функтор Ext (за абелевы группы и с другими обозначениями).
1935	Витольд Гуревич	Высшие гомотопические группы топологического пространства.
1936	Маршалл Стоун	Теорема о представлении камня для булевых алгебр инициирует различные Каменные дуальности.
1937	Ричард Брауэр–Сесил Несбитт	Алгебры Фробениуса.
1938	Хасслер Уитни	«Современное» определение когомология, подводя итоги работы с Джеймс Александр и Андрей Колмогоров впервые определено коцепи.
1940	Райнхольд Баер	Инъективные модули.
1940	Курт Гёдель–Пол Бернейс	Правильные занятия в теории множеств.
1940	Хайнц Хопф	Алгебры Хопфа.
1941	Витольд Гуревич	Первая фундаментальная теорема гомологической алгебры: для короткой точной последовательности пространств существует связывающий гомоморфизм такая, что длинная последовательность когомология группы пространств точен.
1942	Сэмюэл Эйленберг–Saunders Mac Lane	Теорема об универсальном коэффициенте для Когомологии Чеха; позже это стало генералом теорема об универсальном коэффициенте. Обозначения Hom и Ext впервые появляются в их статье.
1943	Норман Стинрод	Гомологии с локальными коэффициентами.
1943	Израиль Гельфанд–Марк Наймарк	Теорема Гельфанда – Наймарка. (иногда называемая теоремой об изоморфизме Гельфанда): Категория Haus локально компактных хаусдорфовых пространств с непрерывными собственными отображениями как морфизмы эквивалентна категории C * Alg коммутативных C * -алгебр с собственными * -гомоморфизмами как морфизмами.
1944	Гаррет Биркофф–Øystein Ore	Связи Галуа обобщение соответствия Галуа: пара присоединенные функторы между двумя категориями, которые возникают из частично упорядоченных множеств (в современной формулировке).
1944	Сэмюэл Эйленберг	«Современное» определение особые гомологии и особые когомологии.
1945	Бено Экманн	Определяет кольцо когомологий опираясь на Хайнц Хопфработа.

1945–1970

Год	Авторы	Мероприятие
1945	Saunders Mac Lane–Сэмюэл Эйленберг	Начало теории категорий: аксиомы для категории, функторы и естественные преобразования.
1945	Норман Стинрод–Сэмюэл Эйленберг	Аксиомы Эйленберга – Стинрода для гомологий и когомологий.
1945	Жан Лере	Начинается теория связок: В то время пучок представлял собой карту, которая назначала модуль или кольцо замкнутому подпространству топологического пространства. Первым примером был пучок, сопоставляющий замкнутому подпространству его p-ю группу когомологий.
1945	Жан Лере	Определяет Когомологии пучков используя его новую концепцию снопа.
1946	Жан Лере	Изобретает спектральные последовательности как метод итерационной аппроксимации групп когомологий предыдущими приближенными группами когомологий. В предельном случае он дает искомые группы когомологий.
1948	Картанский семинар	Пишет теория связок в первый раз.
1948	А. Л. Блейкерс	Скрещенные комплексы (названные Блекерсом групповые системы), после предложения Сэмюэл Эйленберг: Неабелево обобщение цепные комплексы абелевых групп, эквивалентных строгим ω-группоидам. Они образуют категорию Crs, которая обладает многими удовлетворительными свойствами, такими как моноидальная структура.
1949	Джон Генри Уайтхед	Скрещенные модули.
1949	Андре Вайль	Формулирует Гипотезы Вейля о замечательных связях между когомологической структурой алгебраических многообразий над C и диофантова структура алгебраических многообразий над конечными полями.
1950	Анри Картан	В книге «Теория снопов» с семинара Картана он определяет: Пространство связки (эталонное пространство), поддерживать пучков аксиоматически, когомологии пучков с поддержкой в аксиоматической форме и др.
1950	Джон Генри Уайтхед	Контуры алгебраическая гомотопия программа для описания, понимания и расчета гомотопические типы пространств и гомотопических классов отображений
1950	Сэмюэл Эйленберг–Джо Зильбер	Симплициальные множества как чисто алгебраическая модель топологических пространств с хорошим поведением. Симплициальное множество также можно рассматривать как предпучок на категория симплекс. Категория - это симплициальное множество, такое что Карты Segal являются изоморфизмами.
1951	Анри Картан	Современное определение теория связок в котором пучок определяется с использованием открытых подмножеств вместо замкнутых подмножеств топологического пространства, и все открытые подмножества рассматриваются сразу. Пучок на топологическом пространстве X становится функтором, напоминающим функцию, определенную локально на X, и принимающую значения в множествах, абелевых группах, коммутативных кольцах, модулях или вообще в любой категории C. Александр Гротендик позже сделал словарь между связками и функциями. Другое толкование пучков - как непрерывное различные наборы (обобщение абстрактные наборы). Его цель - предоставить единый подход для соединения локальных и глобальных свойств топологических пространств и классификации препятствий для перехода от локальных объектов к глобальным объектам в топологическом пространстве путем склеивания локальных частей. C-значные пучки на топологическом пространстве и их гомоморфизмы образуют категорию.
1952	Уильям Мэсси	Изобретает точные пары для расчета спектральных последовательностей.
1953	Жан-Пьер Серр	Серра C-теория и Подкатегории Serre.
1955	Жан-Пьер Серр	Показывает, что между алгебраические векторные расслоения над аффинным разнообразием и конечно порожденные проективные модули над своим координатным кольцом (Теорема Серра – Свона.).
1955	Жан-Пьер Серр	Когерентные пучки когомологии в алгебраической геометрии.
1956	Жан-Пьер Серр	Корреспонденция ГАГА.
1956	Анри Картан–Сэмюэл Эйленберг	Влиятельная книга: Гомологическая алгебра, резюмируя состояние дел в своей теме в то время. Обозначение Tor_п и Ext^п, а также концепции проективный модуль, проективный и инъективный разрешение модуля, производный функтор и гипергомология появляются в этой книге впервые.
1956	Даниэль Кан	Симплициальная теория гомотопий также называется категориальной теорией гомотопии: теория гомотопии, полностью внутренняя по отношению к категория симплициальных множеств.
1957	Чарльз Эресманн–Жан Бенабу	Бессмысленная топология опираясь на Маршалл Стоунработа.
1957	Александр Гротендик	Абелевы категории в гомологической алгебре, сочетающие в себе точность и линейность.
1957	Александр Гротендик	Влиятельный Тохоку бумага переписывает гомологическая алгебра; доказывая Двойственность Гротендика (Двойственность Серра для возможно особых алгебраических многообразий). Он также показал, что концептуальная основа гомологической алгебры над кольцом также верна для линейных объектов, изменяющихся как пучки над пространством.
1957	Александр Гротендик	Относительная точка зрения Гротендика, S-схемы.
1957	Александр Гротендик	Теорема Гротендика – Хирцебруха – Римана – Роха. для гладких; доказательство вводит K-теория.
1957	Даниэль Кан	Кан комплексы: Симплициальные множества (в котором каждый рог имеет наполнитель), которые являются геометрическими моделями симплициальных ∞-группоиды. Комплексы Кан также являются фибрантными (и кофибрантными) объектами категории моделей симплициальных множеств, для которых расслоения Расслоения Кана.
1958	Александр Гротендик	Начинает новый фундамент алгебраическая геометрия путем обобщения многообразий и других пространств алгебраической геометрии на схема которые имеют структуру категории с открытыми подмножествами как объектами и ограничениями как морфизмами. сформировать категорию, которая является Гротендик топос, и схеме и даже стеку можно связать топос Зарисского, этальный топос, топос fppf, топос fpqc, топос Нисневича, плоский топос, ... в зависимости от топологии, наложенной на схему. Вся алгебраическая геометрия со временем была категоризирована.
1958	Роджер Годеман	Монады в теории категорий (тогда называемых стандартными конструкциями и тройками). Монады обобщают классические понятия из универсальная алгебра и в этом смысле его можно рассматривать как алгебраическая теория над категорией: теория категории T-алгебр. Алгебра монады включает в себя и обобщает понятие модели для алгебраической теории.
1958	Даниэль Кан	Присоединенные функторы.
1958	Даниэль Кан	Пределы в теории категорий.
1958	Александр Гротендик	Волокнистые категории.
1959	Бернард Дворк	Доказывает рациональность части Гипотезы Вейля (первая гипотеза).
1959	Жан-Пьер Серр	Алгебраическая K-теория запущен по явной аналогии теория колец с геометрическими корпусами.
1960	Александр Гротендик	Функторы волокна
1960	Даниэль Кан	Кан расширения
1960	Александр Гротендик	Формальная алгебраическая геометрия и формальные схемы
1960	Александр Гротендик	Представимые функторы
1960	Александр Гротендик	Классифицирует теорию Галуа (Теория Галуа Гротендика)
1960	Александр Гротендик	Теория спуска: Идея, расширяющая понятие склейка в топологии схема чтобы обойти грубые отношения эквивалентности. Он также обобщает локализация в топологии
1961	Александр Гротендик	Локальные когомологии. Представлен на семинаре в 1961 г., но заметки опубликованы в 1967 г.
1961	Джим Сташефф	Ассоциэдры позже используется в определении слабые n-категории
1961	Ричард Свон	Показывает, что существует 1-1 соответствие между топологическими векторными расслоениями над компактным хаусдорфовым пространством X и конечно порожденными проективными модулями над кольцом C(Икс) непрерывных функций на X (Теорема Серра – Свона.)
1963	Фрэнк Адамс–Saunders Mac Lane	Категории PROP и категории PACT для высших гомотопий. PROP - это категории для описания семейств операций с любым количеством входов и выходов. Операды специальные PROP с операциями только с одним выходом
1963	Александр Гротендик	Этальная топология, специальная топология Гротендика на
1963	Александр Гротендик	Этальные когомологии
1963	Александр Гротендик	Гротендик топы, которые представляют собой категории, похожие на вселенные (обобщенные пространства) множеств, в которых можно заниматься математикой.
1963	Уильям Ловер	Алгебраические теории и алгебраические категории
1963	Уильям Ловер	Фонды Категориальная логика, обнаруживает внутренняя логика категорий, признает его важность и вводит Теории Ловера. По сути, категориальная логика - это поднятие разных логик до внутренних логик категорий. Каждому виду категории с дополнительной структурой соответствует система логики со своими собственными правилами вывода. Теория Ловера - это алгебраическая теория как категория с конечными продуктами и обладающая «общей алгеброй» (общей группой). Структуры, описываемые теорией Ловера, являются моделями теории Ловера.
1963	Жан-Луи Вердье	Триангулированные категории и триангулированные функторы. Производные категории и производные функторы являются частными случаями этих
1963	Джим Сташефф	А_∞-алгебры: dg-алгебра аналоги топологические моноиды ассоциативно с точностью до гомотопии, появляющейся в топологии (т.е. H-пространства)
1963	Жан Жиро	Характеризационная теорема Жиро характеризуя топы Гротендика как категории снопов на небольшом участке
1963	Чарльз Эресманн	Теория внутренней категории: Интернализация категорий в категории V с откатами заменяет категорию Set (то же самое для классов, а не наборов) на V в определении категории. Интернализация - это способ поднять категориальное измерение
1963	Чарльз Эресманн	Несколько категорий и множественные функторы
1963	Saunders Mac Lane	Моноидальные категории также называемые тензорными категориями: строгие 2-категории с одним объектом, созданным трюк с перемаркировкой в категории с тензорное произведение объектов, являющихся тайной композицией морфизмов в 2-категории. В моноидальной категории есть несколько объектов, поскольку трюк с перемаркировкой превращает 2-морфизмы 2-категории в морфизмы, морфизмы 2-категории в объекты и забывает об одном объекте. В общем, для n-категории с одной целью сделать общие моноидальные категории. Наиболее распространенные примеры включают: категории лент, плетеные тензорные категории, сферические категории, компактные закрытые категории, симметричные тензорные категории, модульные категории, автономные категории, категории с двойственностью
1963	Saunders Mac Lane	Теорема когерентности Мак Лейна для определения коммутативности диаграмм в моноидальные категории
1964	Уильям Ловер	ETCS Элементарная теория категории множеств: Аксиоматизация категория наборов что также является постоянным случаем элементарные топосы
1964	Барри Митчелл–Питер Фрейд	Теорема вложения Митчелла – Фрейда: Каждый маленький абелева категория допускает точное и полное вложение в категория (левых) модулей Мод_р над некоторым кольцом R
1964	Рудольф Хааг–Дэниел Кастлер	Алгебраическая квантовая теория поля после идей Ирвинг Сигал
1964	Александр Гротендик	Топологизирует категории аксиоматически, налагая Топология Гротендика по категориям, которые затем называются места. Назначение участков - определить покрытия на них, чтобы можно было определить связки над участками. Остальные «пространства» можно определить пучками, за исключением топологических пространств локалей.
1964	Майкл Артин–Александр Гротендик	ℓ-адические когомологии, техническое развитие в SGA4 долгожданного Когомологии Вейля.
1964	Александр Гротендик	Доказывает Гипотезы Вейля кроме аналога гипотезы Римана
1964	Александр Гротендик	Шесть операций формализм в гомологическая алгебра; Rf_*, f⁻¹, Rf_!, f^!, ⊗^L, RHom, и доказательство его замкнутости
1964	Александр Гротендик	Представлено в письме к Жан-Пьер Серр предположительный мотивы (алгебраическая геометрия) чтобы выразить идею о том, что существует единая универсальная теория когомологий, лежащая в основе различных теорий когомологий для алгебраических многообразий. Согласно философии Гротендика, должен существовать универсальный когомологический функтор, присоединяющий чистый мотив h (X) на каждое гладкое проективное многообразие X. Если X не является гладким или проективным, h (X) необходимо заменить на более общее смешанный мотив который имеет весовую фильтрацию, коэффициенты которой не имеют чистых мотивов. В категория мотивов (категориальный каркас универсальной теории когомологий) может использоваться в качестве абстрактного заменителя сингулярных когомологий (и рациональных когомологий) для сравнения, соотнесения и объединения «мотивированных» свойств и параллельных явлений различных теорий когомологий, а также для обнаружения топологической структуры алгебраических разновидности. Категории чистых мотивов и смешанных мотивов являются абелевыми тензорными категориями, а категория чистых мотивов также является категорией. Категория таннакиана. Категории мотивов образуются путем замены категории многообразий категорией с теми же объектами, но морфизмы которых корреспонденции, по модулю подходящего отношения эквивалентности. Разные эквивалентности выдвигают разные теории. Рациональная эквивалентность дает категорию Чау-мотивы с Группы чау как морфизмы, которые в некотором смысле универсальны. Любая геометрическая теория когомологий является функтором категории мотивов. Каждый индуцированный функтор ρ: мотивы по модулю числовой эквивалентности → градуированный Q-векторных пространств называется реализация категории мотивов обратные функторы называются улучшения. Смешанные мотивы объясняют явления в самых разных областях, таких как: теория Ходжа, алгебраическая K-теория, полилогарифмы, отображения регуляторов, автоморфные формы, L-функции, ℓ-адические представления, тригонометрические суммы, гомотопия алгебраических многообразий, алгебраические циклы, пространства модулей и т. Д. обладает потенциалом обогатить каждую область и объединить их все.
1965	Эдгар Браун	Абстрактный гомотопические категории: Подходящая основа для изучения гомотопической теории Комплексы CW
1965	Макс Келли	dg-категории
1965	Макс Келли–Сэмюэл Эйленберг	Обогащенная теория категорий: Категории C, обогащенные над категорией V, являются категориями с Hom-множества Hom_C не просто набором или классом, а структурой объектов категории V. Обогащение над V - это способ поднять категориальное измерение
1965	Чарльз Эресманн	Определяет как строгие 2 категории и строгие n-категории
1966	Александр Гротендик	Кристаллы (разновидность связки, используемой в кристаллические когомологии)
1966	Уильям Ловер	ETAC Элементарная теория абстрактных категорий, впервые предложил аксиомы для теории Кота или теории категорий, используя логику первого порядка
1967	Жан Бенабу	Бикатегории (слабые 2-категории) и слабые 2-функторы
1967	Уильям Ловер	Фонды синтетическая дифференциальная геометрия
1967	Саймон Кохен – Эрнст Шпекер	Теорема Кохена – Шпекера в квантовой механике
1967	Жан-Луи Вердье	Определяет производные категории и переопределяет производные функторы в терминах производных категорий
1967	Питер Габриэль-Мишель Зисман	Аксиоматизирует симплициальная гомотопическая теория
1967	Дэниел Квиллен	Категории моделей Quillen и Функторы модели Квиллена: Основа для аксиоматической теории гомотопии в категориях и абстракции гомотопические категории таким образом, что hC = C[W⁻¹] куда W⁻¹ перевернутые слабые эквиваленты категории модели Квиллена C. Категории модели Квиллена гомотопически полны и сокомполнены и имеют встроенную Двойственность Экмана – Хилтона
1967	Дэниел Квиллен	Гомотопическая алгебра (опубликовано в виде книги, также иногда называемой некоммутативной гомологической алгеброй): изучение различных категории моделей и взаимодействие между расслоениями, кофибрациями и слабыми эквивалентностями в произвольных категориях замкнутых моделей
1967	Дэниел Квиллен	Аксиомы квиллена для теории гомотопии в категории моделей
1967	Дэниел Квиллен	Первый основная теорема симплициальной теории гомотопий: The категория симплициальных множеств является (собственным) замкнутым (симплициальным) категория модели
1967	Дэниел Квиллен	Второй основная теорема симплициальной теории гомотопий: The функтор реализации и сингулярный функтор является эквивалентностью категорий hΔ и hTop (Δ категория симплициальных множеств)
1967	Жан Бенабу	V-актегории: Категория C с действием ⊗: V × C → C, которое ассоциативно и унитарно с точностью до когерентного изоморфизма, для V a симметричная моноидальная категория. V-актегории можно рассматривать как категоризацию R-модулей над коммутативным кольцом R
1968	Чен-Нин Ян-Родни Бакстер	Уравнение Янга – Бакстера, позже использованное как отношение в плетеные моноидальные категории для скрещивания кос
1968	Александр Гротендик	Кристаллические когомологии: А p-адические когомологии теория в характеристике p изобретена, чтобы заполнить пробел, оставленный этальные когомологии что в этом случае недостаточно для использования коэффициентов mod p. Гротендик иногда называет это йогой коэффициентов де Рама и коэффициентов Ходжа, поскольку кристаллические когомологии многообразия X в характеристике p подобны когомологии де Рама mod p группы X и существует изоморфизм между группами когомологий де Рама и группами когомологий Ходжа гармонических форм
1968	Александр Гротендик	Связь Гротендика
1968	Александр Гротендик	Формулирует стандартные гипотезы об алгебраических циклах
1968	Майкл Артин	Алгебраические пространства в алгебраической геометрии как обобщение Схема
1968	Чарльз Эресманн	Эскизы (теория категорий): Альтернативный способ представления теории (которая является категориальной по своему характеру в отличие от лингвистической), модели которой должны изучаться в соответствующих категориях. Эскиз - это небольшая категория с набором выделенных конусов и набором выделенных коконов, удовлетворяющих некоторым аксиомам. Модель скетча - это многозначный функтор, преобразующий выделенные конусы в предельные конусы, а выделенные коконы в копредельные конусы. Категории макетов эскизов точно соответствуют доступные категории
1968	Иоахим Ламбек	Мультикатегории
1969	Макс Келли-Нобуо Йонеда	Концы и концы
1969	Пьер Делинь-Дэвид Мамфорд	Стеки Делиня-Мамфорда как обобщение схема
1969	Уильям Ловер	Доктрины (теория категорий), доктрина - это монада на 2-категориях
1970	Уильям Ловер-Майлз Тирни	Элементарные топои: Категории созданы по образцу категория наборов которые похожи на вселенные (обобщенные пространства) множеств, в которых можно заниматься математикой. Один из многих способов определить топос: правильно декартова закрытая категория с классификатор подобъектов. Каждый Гротендик топос это элементарный топос
1970	Джон Конвей	Теория мотков узлов: Вычисление инвариантов узлов с помощью мотки модули. Модули Skein могут быть основаны на квантовые инварианты

1971–1980

Год	Авторы	Мероприятие
1971	Saunders Mac Lane	Влиятельная книга: Категории для рабочего математика, который стал стандартным справочником в теории категорий
1971	Хорст Херрлих–Освальд Уайлер	Категориальная топология: Изучение топологические категории из структурированные наборы (обобщения топологических пространств, равномерных пространств и различных других пространств в топологии) и отношений между ними, достигающих высшей точки в универсальная топология. Общая категориальная топология изучает и использует структурированные множества в топологической категории как исследование общей топологии и использует топологические пространства. Алгебраическая категориальная топология пытается применить аппарат алгебраической топологии топологических пространств к структурированным множествам в топологической категории.
1971	Гарольд Темперли–Эллиотт Либ	Алгебры Темперли – Либа: Алгебры путаница определяемые генераторами клубков и отношений между ними
1971	Уильям Ловер–Майлз Тирни	Топология Ловера-Тирни на топосе
1971	Уильям Ловер–Майлз Тирни	Теоретическое форсирование топоса (форсирование в топах): Категоризация теоретико-множественное принуждение метод для попыток доказать или опровергнуть гипотеза континуума, независимость аксиома выбораи т. д. в топах
1971	Боб Уолтерс–Росс-стрит	Структуры Йонеды на 2 категории
1971	Роджер Пенроуз	Строковые диаграммы манипулировать морфизмами в моноидальной категории
1971	Жан Жиро	Герберы: Категоризированные главные пакеты, которые также являются частными случаями стеков.
1971	Иоахим Ламбек	Обобщает Переписка Хаскелла-Карри-Уильяма-Ховарда к трехстороннему изоморфизму между типами, предложениями и объектами декартовой замкнутой категории
1972	Макс Келли	Клубы (теория категорий) и согласованность (теория категорий). Дубинка - это особый вид двумерной теории или моноид в Cat / (категория конечных множеств и перестановок P), каждая дубина дает 2-монаду на Cat.
1972	Джон Исбелл	Locales: «Обобщенное топологическое пространство» или «бессмысленные пространства», определяемые решеткой (полным Алгебра Гейтинга также называемая решеткой Брауэра), как и в топологическом пространстве, открытые подмножества образуют решетку. Если решетка имеет достаточно точек, это топологическое пространство. Локации - основные объекты бессмысленная топология, двойные объекты кадры. И локали, и фреймы образуют категории, противоположные друг другу. Связки могут быть определены по регионам. Остальные «пространства», над которыми можно определить пучки, являются узлами. Хотя места были известны раньше, Джон Исбелл впервые назвал их
1972	Росс-стрит	Формальная теория монад: Теория монады в 2-х категориях
1972	Питер Фрейд	Основная теорема теории топоса: Каждая категория среза (E, Y) топоса E является топосом, а функтор f * :( E, X) → (E, Y) сохраняет экспоненты и объект классификатора подобъектов Ω и имеет сопряженный справа и слева функтор
1972	Александр Гротендик	Вселенные Гротендика для наборов в составе основы для категорий
1972	Жан Бенабу–Росс-стрит	Космосы которые классифицируют вселенные: Космос - это обобщенная вселенная 1-категорий, в которой вы можете заниматься теорией категорий. Когда теория множеств обобщается на изучение Гротендик топосаналогичным обобщением теории категорий является изучение космоса. Определение Росс-стрит: A бикатегория такой, что существуют небольшие бикопродукты; каждый монада признает Клейсли строительство (аналогично фактору отношения эквивалентности в топосе); он локально мелкокомплектный; и существует небольшой Генератор Коши. Космосы закрыты по дуализации, параметризации и локализации. Росс-стрит также представляет элементарные космосы. Определение Жана Бенабу: двухполный симметричная моноидальная замкнутая категория
1972	Питер Мэй	Операды: Абстракция семейства составных функций нескольких переменных вместе с действием перестановки переменных. Операды можно рассматривать как алгебраические теории, а алгебры над операдами тогда являются моделями теорий. Каждая операда дает монада наверху. Мультикатегории с одним объектом - операды. Реквизит обобщить операды для допуска операций с несколькими входами и несколькими выходами. Операды используются при определении опетопы, теория высших категорий, теория гомотопий, гомологическая алгебра, алгебраическая геометрия, теория струн и многие другие области.
1972	Уильям Митчелл–Жан Бенабу	Внутренний язык Митчелла – Бенабу из топы: Для топоса E с классификатор подобъектов объект Ω язык (или теория типов) L (E) где: 1) типы являются объектами E 2) термы типа X от переменных x_я типа X_я являются полиномиальными выражениями φ (x₁,...,Икс_м): 1 → X в стрелках x_я: 1 → X_я в E 3) формулы являются термами типа Ω (стрелки от типов к Ω) 4) связки индуцируются внутренним Алгебра Гейтинга структура Ω 5) также рассматриваются кванторы, ограниченные типами и применяемые к формулам. 6) для каждого типа X также существует два бинарных отношения =_Икс (определяется применением диагонального отображения к члену произведения аргументов) и ∈_Икс (определяется применением оценочной карты к произведению термина и силового члена аргументов). Формула верна, если стрелка, которая ее интерпретирует, проходит через стрелку истинно: 1 → Ω. Внутренний язык Митчелла-Бенабу - это мощный способ описать различные объекты в топосе, как если бы они были множествами, и, следовательно, это способ превратить топос в обобщенную теорию множеств, чтобы писать и доказывать утверждения в топосе с использованием интуиционистского предиката первого порядка. логика, рассматривать топосы как теории типов и выражать свойства топоса. Любой язык L также порождает лингвистические топосы E (L)
1973	Крис Риди	Категории Риди: Категории "форм", которые могут быть использованы в теории гомотопии. Категория Риди - это категория R, оснащенная структурой, позволяющей индуктивное построение диаграмм и естественные преобразования формы R.Самым важным следствием структуры Риди на R является существование модельной структуры на категория функторов M^р когда M является категория модели. Еще одно преимущество структуры Риди состоит в том, что ее кофибрации, расслоения и факторизации явны. В категории Риди существует такое понятие инъективного и сюръективного морфизма, что любой морфизм может быть однозначно факторизован как сюръекция с последующей инъекцией. Примерами являются порядковый номер α, рассматриваемый как посеть а значит, и категория. Противоположная R ° категории Риди R является категорией Риди. В категория симплекс Δ и вообще для любого симплициальный набор X его категория симплексов Δ / X является категорией Риди. Структура модели на M^Δ для модельной категории M описывается в неопубликованной рукописи Криса Риди.
1973	Кеннет Браун–Стивен Герстен	Показывает наличие глобального закрытого структура модели по категории симплициальные пучки на топологическом пространстве со слабыми предположениями о топологическом пространстве
1973	Кеннет Браун	Обобщенные когомологии пучков топологического пространства X с коэффициентами пучок на X со значениями в Kans категория спектров с некоторыми условиями конечности. Это обобщает обобщенная теория когомологий и когомологии пучков с коэффициентами в комплексе абелевых пучков
1973	Уильям Ловер	Находит, что полнота Коши может быть выражена для общих обогащенные категории с категория обобщенных метрических пространств как частный случай. Последовательности Коши становятся сопряженными слева модулями, а сходимость - представимостью
1973	Жан Бенабу	Дистрибьюторам (также называемые модулями, профункторами, направленные мосты)
1973	Пьер Делинь	Оказывается последний из Гипотезы Вейля, аналог гипотезы Римана
1973	Майкл Бордман–Райнер Фогт	Категории Segal: Симплициальные аналоги А_∞-категории. Они естественно обобщают симплициальные категории, в том смысле, что они могут рассматриваться как симплициальные категории с композицией только до гомотопии. Защита: A симплициальное пространство X такое, что X₀ (множество точек) - дискретный симплициальный набор и Карта Сегала φ_k : ИКС_k → X₁ × _{Икс ₀} ... × _{Икс ₀}Икс₁ (индуцированный X (α_я):ИКС_k → X₁), присвоенное X, является слабой эквивалентностью симплициальных множеств при k≥2. Категории Segal - слабая форма S-категории, в котором композиция определяется только с точностью до последовательной системы эквивалентностей. Категории Segal были определены годом позже неявно Грэм Сигал. Они были названы категориями Сигала впервые Уильямом Дуайером.Даниэль Кан–Джеффри Смит 1989. В своей знаменитой книге Гомотопически инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах Дж. Майкл Бордман и Райнер Фогт назвали их квазикатегории. Квазикатегория - это симплициальное множество, удовлетворяющее слабому условию Кана, поэтому квазикатегории также называются слабые комплексы Кана
1973	Дэниел Квиллен	Категории Фробениуса: An точная категория в котором классы инъективных и проективных объектов совпадают и для всех объектов x в категории существует дефляция P (x) → x (проективное покрытие x) и раздувание x → I (x) (инъективная оболочка x ) такой, что и P (x), и I (x) находятся в категории про / инъективных объектов. Категория Фробениуса E является примером категория модели и фактор E / P (P - класс проективных / инъективных объектов) является его гомотопическая категория он
1974	Майкл Артин	Обобщает Стеки Делиня-Мамфорда к Стеки Артина
1974	Роберт Паре	Теорема Паре об монадичности: E - топос → E ° монадичен над E
1974	Энди Мэджид	Обобщает Теория Галуа Гротендика от групп к случаю колец с помощью группоидов Галуа
1974	Жан Бенабу	Логика волокнистые категории
1974	Джон Грей	Серые категории с Серое тензорное произведение
1974	Кеннет Браун	Пишет очень влиятельную статью, в которой Категории коричневых фибрантных объектов и двойственно коричневых категорий софибрантных объектов
1974	Шиинг-Шен Черн–Джеймс Саймонс	Теория Черна – Саймонса: Конкретный TQFT, который описывает инварианты узлов и многообразий, в то время только в 3D.
1975	Саул Крипке–Андре Жоял	Семантика Крипке – Джояла из Внутренний язык Митчелла – Бенабу для топосов: логика в категориях пучков - это интуиционистская логика предикатов первого порядка
1975	Раду Диаконеску	Теорема Диаконеску: Внутренняя аксиома выбора верна в топос → топос является логическим топосом. Итак, в IZF аксиома выбора подразумевает закон исключенного среднего.
1975	Манфред Сабо	Поликатегории
1975	Уильям Ловер	Отмечает, что Теорема Делиня примерно достаточно очков в связные топосы подразумевает Теорема Гёделя о полноте для логики первого порядка в этом топосе
1976	Александр Гротендик	Схематические типы гомотопий
1976	Марсель Краббе	Категории хейтинга также называемый логотипы: Обычные категории в которой подобъекты объекта образуют решетку, и в которой каждая карта обратного изображения имеет правое сопряжение. Точнее связная категория C такой, что для всех морфизмов f: A → B в C функтор f *: Sub_C(B) → Sub_C(A) имеет левый сопряженный и правый сопряженный. Sub_C(A) - это Предварительный заказ подобъектов A (полная подкатегория C / A, объекты которой являются подобъектами A) в C. топос это логотипы. Категории Гейтинга обобщают Гейтинговые алгебры.
1976	Росс-стрит	Computads
1977	Майкл Маккай–Гонсало Рейес	Развивает Внутренний язык Митчелла – Бенабу топоса тщательно в более общем контексте
1977	Андре Буало -Андре Жоял–Джон Зангвилл	LST Теория локальных множеств: Теория локальных множеств теория типизированных множеств чья основная логика более высокого порядка интуиционистская логика. Это обобщение классической теории множеств, в которой множества заменяются терминами определенных типов. Категория C (S), построенная на основе локальной теории S, объектами которой являются локальные множества (или S-множества), а стрелки - локальные карты (или S-карты), является лингвистические топосы. Каждый топос E эквивалентен лингвистическому топосу C (S (E))
1977	Джон Робертс	Представляет самые общие неабелевы когомологии ω-категорий с ω-категориями в качестве коэффициентов, когда он понял, что общие когомологии - это раскраска симплексов в ω-категории. Есть два метода построения общих неабелевых когомологий: когомологии неабелевых пучков с точки зрения спуск для пучков со значениями в категории, а в терминах теория гомотопических когомологий который реализует коциклы. Эти два подхода связаны между собой кодовый
1978	Джон Робертс	Сложные наборы (симплициальные наборы со структурой или зачарованием)
1978	Франсуа Байен – Моше Флато – Крис Фронсдаль–Андре Лихнерович–Дэниел Штернхаймер	Квантование деформации, позже будет частью категориального квантования
1978	Андре Жоял	Комбинаторные виды в перечислительная комбинаторика
1978	Дон Андерсон	Опираясь на работу Кеннет Браун определяет Категории ABC (со) расслоений за теорию гомотопии и более общие Категории моделей ABC, но теория бездействует до 2003 года. Категория модели Quillen является категорией модели ABC. Отличие от категорий модели Quillen состоит в том, что в категориях модели ABC расслоения и кофибрации независимы, а для категории модели ABC M^D является категорией модели ABC. С категорией (со) расслоений ABC канонически связана (левая) правая Производное Хеллера. Топологические пространства с гомотопическими эквивалентностями как слабыми эквивалентностями, кофибрациями Гуревича как кофибрациями и расслоениями Гуревича как расслоениями образуют категорию моделей ABC, Структура модели Гуревича наверху. Комплексы объектов в абелевой категории с квазиизоморфизмами как слабыми эквивалентностями и мономорфизмами как кофибрациями образуют категорию предварительного расслоения ABC
1979	Дон Андерсон	Аксиомы андерсона для теории гомотопий в категориях с функтор дроби
1980	Александр Замолодчиков	Уравнение замолодчикова также называемый уравнение тетраэдра
1980	Росс-стрит	Бикатегория Лемма Йонеды
1980	Масаки Кашивара–Зогман Мебхаут	Доказывает Соответствие Римана – Гильберта для сложных многообразий
1980	Питер Фрейд	Цифры в топосе

1981–1990

Год	Авторы	Мероприятие
1981	Сигеру Мукаи	Преобразование Мукаи – Фурье
1982	Боб Уолтерс	Обогащенные категории с бикатегориями в качестве основы
1983	Александр Гротендик	Погоня за стеками: Рукопись, распространенная из Бангора, написанная на английском языке в ответ на переписку на английском языке с Рональд Браун и Тим Портер, начиная с письма на имя Дэниел Квиллен, развивающий математические видения в рукописи на 629 страниц, своего рода дневнике, который будет опубликован Société Mathématique de France под редакцией Дж. Мальциниотиса.
1983	Александр Гротендик	Первое появление строгие ∞-категории в поисках стеков, следуя определению, опубликованному в 1981 г. Рональд Браун и Филип Дж. Хиггинс.
1983	Александр Гротендик	Фундаментальный группоид бесконечности: Полный гомотопический инвариант Π_∞(X) для CW-комплексов X. Обратным функтором является Функтор геометрической реализации \|, \| и вместе они образуют «эквивалентность» между категория CW-комплексов и категория ω-группоидов
1983	Александр Гротендик	Гипотеза гомотопии: The гомотопическая категория CW-комплексов Квиллен эквивалент к гомотопической категории разумных слабых ∞-группоиды
1983	Александр Гротендик	Производные Гротендика: Модель теории гомотопии, подобная Категории моделей Quilen но более удовлетворительно. Производные Гротендика двойственны Производные Хеллера
1983	Александр Гротендик	Элементарные моделизаторы: Категории предварительных пучков, которые моделируют гомотопические типы (тем самым обобщая теорию симплициальные множества). Канонические моделизаторы также используются в преследовании стека
1983	Александр Гротендик	Гладкие функторы и правильные функторы
1984	Владимир Бажанов – Разумов Строганов	D-симплексное уравнение Бажанова – Строганова обобщение уравнения Янга – Бакстера и уравнения Замолодчикова
1984	Хорст Херрлих	Универсальная топология в категориальная топология: Объединяющий категориальный подход к различным структурированным множествам (топологическим структурам, таким как топологические пространства и равномерные пространства), класс которых формирует топологическую категорию, аналогичную универсальной алгебре для алгебраических структур.
1984	Андре Жоял	Симплициальные пучки (пучки со значениями в симплициальных множествах). Симплициальные пучки на топологическом пространстве Икс модель для сверхполный ∞-топос Ш (Икс)^{^}
1984	Андре Жоял	Показывает, что категория симплициальные объекты в Гротендик топос имеет закрытый структура модели
1984	Андре Жоял–Майлз Тирни	Основная теорема Галуа для топосов: Каждый топос эквивалентен категории этальных предпучков на открытом этальном группоиде.
1985	Майкл Шлессинджер–Джим Сташефф	L_∞-алгебры
1985	Андре Жоял–Росс-стрит	Плетеные моноидальные категории
1985	Андре Жоял–Росс-стрит	Теорема Джояла – Стрита о когерентности для плетеных моноидальных категорий
1985	Поль Гез – Рикардо Лима–Джон Робертс	C * -категории
1986	Иоахим Ламбек–Фил Скотт	Влиятельная книга: Введение в категориальную логику высшего порядка
1986	Иоахим Ламбек–Фил Скотт	Основная теорема топологии: Секционный функтор Γ и росток-функтор Λ устанавливают двойственное соединение между категорией предпучков и категорией расслоений (над одним и тем же топологическим пространством), которое ограничивается двойственной эквивалентностью категорий (или двойственностью) между соответствующими полными подкатегориями связки и эталонные связки
1986	Питер Фрейд–Дэвид Йеттер	Строит (компактную плетеную) моноидальную категория путаницы
1986	Владимир Дринфельд–Мичио Джимбо	Квантовые группы: Другими словами, квазитреугольная Алгебры Хопфа. Дело в том, что категории представлений квантовых групп тензорные категории с дополнительной структурой. Они используются при строительстве квантовые инварианты узлов и зацеплений и многообразий малой размерности, теория представлений, теория q-деформации, CFT, интегрируемые системы. Инварианты строятся из плетеные моноидальные категории которые являются категориями представлений квантовых групп. Базовая структура TQFT это модульная категория представлений квантовой группы
1986	Saunders Mac Lane	Математика, форма и функции (фундамент математики)
1987	Жан-Ив Жирар	Линейная логика: Внутренняя логика линейная категория (ан обогащенная категория с этими Hom-множества будучи линейными пространствами)
1987	Питер Фрейд	Теорема Фрейда о представлении за Гротендик позирует
1987	Росс-стрит	Определение нерв слабой n-категории и таким образом получая первое определение Слабая n-категория с помощью симплексов
1987	Росс-стрит–Джон Робертс	Формулирует Гипотеза Стрит – Робертса: Строгий ω-категории эквивалентны сложные наборы
1987	Андре Жоял–Росс-стрит–Мэй Чи Шум	Категории ленты: Сбалансированный жесткий плетеный моноидальная категория
1987	Росс-стрит	n-computads
1987	Иэн Эйчисон	Вверх дном Алгоритм треугольника Паскаля для вычисления неабелевых условий n-коцикла для неабелевы когомологии
1987	Владимир Дринфельд-Жерар Лаумон	Формулирует геометрическая программа Ленглендса
1987	Владимир Тураев	Начинается квантовая топология используя квантовые группы и R-матрицы дать алгебраическое объединение большинства известных узловые многочлены. Особенно важно было Воан Джонс и Эдвард Виттенс работать над Многочлен Джонса
1988	Алекс Хеллер	Аксиомы Хеллера для теории гомотопии как специального реферата гиперфунктор. Особенностью этого подхода является очень общий локализация
1988	Алекс Хеллер	Производные Хеллера, двойник Производные Гротендика
1988	Алекс Хеллер	Дает глобальный закрытый структура модели по категории симплициальные предпучки. Джон Джардин также дал модельную структуру в категории симплициальных предпучков.
1988	Грэм Сигал	Эллиптические объекты: Функтор, который представляет собой категоризированную версию векторного пучка, снабженного связью, это двумерный параллельный транспорт для строк.
1988	Грэм Сигал	Конформная теория поля CFT: Симметричный моноидальный функтор Z: nCob_C→ Хильб, удовлетворяющий некоторым аксиомам
1988	Эдвард Виттен	Топологическая квантовая теория поля TQFT: Моноидальный функтор Z: nCob → Hilb, удовлетворяющий некоторым аксиомам
1988	Эдвард Виттен	Топологическая теория струн
1989	Ганс Бауэс	Влиятельная книга: Алгебраическая гомотопия
1989	Майкл Маккай-Роберт Паре	Доступные категории: Категории с "хорошим" набором генераторы позволяя манипулировать большие категории как если бы они были малые категории, не опасаясь столкнуться с теоретико-множественными парадоксами. Локально презентабельные категории полные доступные категории. Доступные категории - это категории моделей эскизы. Название происходит от того, что эти категории доступны в виде макетов эскизов.
1989	Эдвард Виттен	Функциональный интеграл Виттена формализм и Инварианты Виттена для коллекторов.
1990	Питер Фрейд	Аллегории (теория категорий): Абстракция категория множеств и отношений как морфизмы, он имеет такое же сходство с бинарными отношениями, как категории с функциями и множествами. Это категория, в которой в дополнение к композиции имеется унарное взаимодействие операций R ° и частичное пересечение бинарных операций R ∩ S, как в категории множеств с отношениями в качестве морфизмов (вместо функций), для которых определен ряд аксиом. требуется. Он обобщает алгебра отношений отношениям между разными сортами.
1990	Николай Решетихин–Владимир Тураев–Эдвард Виттен	Инварианты Решетихина – Тураева – Виттена. узлов из модульные тензорные категории представительств квантовые группы.

1991–2000

Год	Авторы	Мероприятие
1991	Жан-Ив Жирар	Поляризация из линейная логика.
1991	Росс-стрит	Комплексы четности. Комплекс четности порождает свободный ω-категория.
1991	Андре Жоял-Росс-стрит	Формализация Пенроуза строковые диаграммы рассчитывать с абстрактные тензоры в различных моноидальные категории с дополнительной структурой. Исчисление теперь зависит от связи с низкоразмерная топология.
1991	Росс-стрит	Определение спусковой строгой ω-категории косимплициальной строгой ω-категории.
1991	Росс-стрит	Сверху вниз алгоритм удаления экстремалей для вычисления неабелевского п-коциклические условия для неабелевы когомологии.
1992	Ив Диерс	Аксиоматическая категориальная геометрия с помощью алгебро-геометрические категории и алгебро-геометрические функторы.
1992	Saunders Mac Lane-Иеке Мурдейк	Влиятельная книга: Пучки в геометрии и логике.
1992	Джон Гринлис-Питер Мэй	Двойственность Гринлис-Мэй
1992	Владимир Тураев	Модульные тензорные категории. Специальный тензорные категории которые возникают при строительстве инварианты узлов, при строительстве TQFT и CFTs, как усечение (полупростое частное) категории представлений квантовая группа (в корнях единства), как категории представлений слабых Алгебры Хопфа, как категория представлений RCFT.
1992	Владимир Тураев-Олег Виро	Модели государственной суммы Тураева-Виро на основе сферические категории (модели первой государственной суммы) и Инварианты суммы состояний Тураева-Виро для 3-многообразий.
1992	Владимир Тураев	Теневой мир ссылок: Тени ссылок задавать теневые инварианты ссылок по тени государственные суммы.
1993	Рут Лоуренс	Расширенные TQFT
1993	Дэвид Йеттер-Луи Крейн	Модели суммы состояний Крейна-Йеттера на основе категории лент и Инварианты суммы состояний Крейна-Йеттера для 4-многообразий.
1993	Кенджи Фукая	А_∞-категории и А_∞-функторы: Чаще всего в гомологическая алгебра, категория с несколькими композициями, такая, что первая композиция ассоциативна с точностью до гомотопии, которая удовлетворяет уравнению, которое справедливо до другой гомотопии и т. д. (ассоциативно до высшей гомотопии). А означает ассоциативный. По умолчанию: категория C такой, что 1) для всех Икс,Y в Оби (C) Hom-множества Hom_C(Икс,Y) конечномерны цепные комплексы из Zулучшенные модули 2) для всех объектов Икс₁,...,Икс_п в Оби (C) существует семейство линейных композиционных карт (высшие композиции) м_п : Hom_C(Икс₀,Икс₁) ⊗ Hom_C(Икс₁,Икс₂) ⊗ ... ⊗ Hom_C(Икс_п−1,Икс_п) → Hom_C(Икс₀,Икс_п) степени п - 2 (используется соглашение о гомологической градации) для п ≥ 1 3) м₁ - дифференциал на цепном комплексе Hom_C(Икс,Y) 4) м_п удовлетворяют квадратичной А_∞-уравнение ассоциативности для всех п ≥ 0. м₁ и м₂ будет цепные карты но композиции м_я более высокого порядка не являются цепными картами; тем не менее они Продукция Massey. В частности, это линейная категория. Примерами являются Категория Фукая Фук (Икс) и пространство петли ΩИкс куда Икс является топологическим пространством и А_∞-алгебры в качестве А_∞-категории с одним объектом. Когда нет высших отображений (тривиальные гомотопии) C это dg-категория. Каждый А_∞-категория функционально квазиизоморфна dg-категории. Квазиизоморфизм - это цепное отображение, являющееся изоморфизмом в гомологиях. Рамки dg-категорий и dg-функторов слишком узки для многих задач, и предпочтительнее рассматривать более широкий класс А_∞-категории и А_∞-функторы. Многие особенности А_∞-категории и А_∞-функторы исходят из того, что они образуют симметричный замкнутый мультикатегория, который раскрывается на языке комонады. С точки зрения многомерного А_∞-категории слабые ω-категории со всеми обратимыми морфизмами. А_∞-категории также можно просматривать как некоммутативные формальные dg-многообразия с замкнутой выделенной подсхемой объектов.
1993	Джон Баррет-Брюс Вестбери	Сферические категории: Моноидальные категории с дуалами для диаграмм на сферах, а не на плоскости.
1993	Максим Концевич	Концевича инварианты для узлов (представляют собой интегралы Фейнмана в разложении возмущений для Функциональный интеграл Виттена), определяемый интегралом Концевича. Они универсальные Инварианты Васильева для узлов.
1993	Дэниел Фрид	Новый взгляд на TQFT с помощью модульные тензорные категории который объединяет три подхода к TQFT (модульные тензорные категории из интегралов по путям).
1994	Фрэнсис Борсо	Справочник по Категориальная алгебра (3 тома).
1994	Жан Бенабу–Бруно Луазо	Орбитали в топос.
1994	Максим Концевич	Формулирует гомологическая зеркальная симметрия гипотеза: Икс компактное симплектическое многообразие с первым Черн класс c₁(Икс) = 0 и Y компактное многообразие Калаби – Яу являются зеркальными парами тогда и только тогда, когда D(Фук_Икс) (производная категория Триангулированная категория Фукая из Икс состряпанный из Лагранжевы циклы с локальными системами) эквивалентна подкатегории D^б(Ко_Y) (ограниченная производная категория когерентных пучков на Y).
1994	Луи Крейн-Игорь Френкель	Категории хопфа и строительство 4D TQFT ими.
1994	Джон Фишер	Определяет 2 категории из 2 узла (узловатые поверхности).
1995	Боб Гордон-Джон Пауэр-Росс-стрит	Трикатегории и соответствующий теорема согласованности: Каждая слабая 3-категория эквивалентна Серый 3-категория.
1995	Росс-стрит–Доминик Верити	Диаграммы поверхностей для трикатегорий.
1995	Луи Крейн	Монеты категоризация ведущий к категориальная лестница.
1995	Сьерд Кранс	Общая процедура передачи закрыта модельные конструкции в категории по присоединенный функтор пары в другую категорию.
1995	Андре Жоял-Иеке Мурдейк	AST Теория алгебраических множеств: Также иногда называется категориальной теорией множеств. Она была разработана в 1988 году Андре Жоялом и Ике Мурдейком и впервые была подробно представлена ими в 1995 году в виде книги. AST - это структура, основанная на теории категорий для изучения и организации установить теории и построить модели теорий множеств. Цель AST - обеспечить униформу категориальная семантика или описание различных теорий множеств (классических или конструктивных, ограниченных, предикативных или импредикативных, хорошо обоснованных или необоснованных, ...), различных конструкций совокупного иерархия множеств, модели нагнетания, модели связки и модели реализуемости. Вместо того, чтобы сосредотачиваться на категориях наборов, AST фокусируется на категориях классов. Основным инструментом AST является понятие категория со структурой классов (категория классов, оснащенная классом малых карт (интуиция подсказывает, что их волокна в каком-то смысле малы), степенными классами и универсальным объектом ( вселенная)), которая обеспечивает аксиоматическую основу, в которой могут быть построены модели теории множеств. Понятие категории классов допускает определение ZF-алгебр (Алгебра Цермело-Френкеля) и связанных структур, выражающих идею о том, что иерархия множеств является алгебраической структурой, с одной стороны, и интерпретацией логики первого порядка элементарной теории множеств, с другой. Подкатегория множеств в категории классов является элементарные топосы и каждый элементарный топос встречается как наборы в категории класса. Сама категория класса всегда включается в идеальное завершение топоса. Интерпретация логики состоит в том, что в каждой категории классов вселенная является моделью базовой интуиционистской теории множеств BIST, которая является логически полной по отношению к моделям категорий классов. Следовательно, категории классов обобщают как теорию топосов, так и интуиционистскую теорию множеств. AST основывает и формализует теорию множеств на ZF-алгебре с операциями объединения и преемника (одноэлемент) вместо отношения принадлежности. В ZF-аксиомы являются не чем иным, как описанием свободной ZF-алгебры, точно так же, как аксиомы Пеано представляют собой описание свободного моноида на одной образующей. С этой точки зрения модели теории множеств - это алгебры для подходящего представления алгебраическая теория и многие знакомые теоретико-множественные условия (такие как обоснованность) связаны со знакомыми алгебраическими условиями (такими как свобода). Используя вспомогательное понятие малого отображения, можно расширить аксиомы топоса и предоставить общую теорию для равномерного построения моделей теории множеств из топосов.
1995	Майкл Маккай	SFAM Структуралистские основы абстрактной математики. В SFAM вселенная состоит из многомерных категорий, функторы заменены насыщенными анафункторы, наборы абстрактные наборы, формальная логика для сущностей ПАПКИ (логика первого порядка с зависимыми видами), в которой отношение идентичности не задается априори аксиомами первого порядка, а выводится из контекста.
1995	Джон Баэз-Джеймс Долан	Опетопические наборы (опетопы) на основе операды. Слабый п-категории находятся п-опетопические наборы.
1995	Джон Баэз-Джеймс Долан	Представил периодическая таблица математики который определяет k-tuply моноидальная п-категории. Он отражает таблицу гомотопические группы сфер.
1995	Джон Баэз–Джеймс Долан	Обрисовал программу, в которой п-размерный TQFT описаны как представления n-категорий.
1995	Джон Баэз–Джеймс Долан	Предложил п-размерный квантование деформации.
1995	Джон Баэз–Джеймс Долан	Гипотеза клубка: The п-категория обрамленных п-запутывается п + k размеры (п + k) -эквивалентно свободному слабому k-tuply моноидальная п-категория с двойниками по одному объекту.
1995	Джон Баэз-Джеймс Долан	Гипотеза кобордизма (Расширенная гипотеза TQFT I): п-категория п-мерные расширенные TQFT представляют собой представления, nCob, является свободным стабильным слабым п-категория с двойниками по одному объекту.
1995	Джон Баэз-Джеймс Долан	Гипотеза стабилизации: После приостановки слабого п-категория п + 2 раза, дальнейшие приостановки существенного влияния не оказывают. Функтор подвески S: nCat_k→ nCat_{к + 1} эквивалентность категорий для k = п + 2.
1995	Джон Баэз-Джеймс Долан	Расширенная гипотеза TQFT II: An п-мерный унитарный расширенный ТКТП является слабым п-функтор, сохраняющий все уровни двойственности, от бесплатного стабильного слабого п-категория с двойниками по одному объекту на nHilb.
1995	Валентин Лычагин	Категориальное квантование
1995	Пьер Делинь-Владимир Дринфельд-Максим Концевич	Производная алгебраическая геометрия с производные схемы и производные наборы модулей. Программа по алгебраической геометрии и особенно модульные проблемы в производная категория схем или алгебраических многообразий вместо их нормальных категорий.
1997	Максим Концевич	Формальный квантование деформации Теорема: Каждый Пуассоново многообразие допускает дифференцируемую звездный продукт и классифицируются с точностью до эквивалентности формальными деформациями пуассоновской структуры.
1998	Клаудио Гермида-Михаил-Маккай-Джон Пауэр	Мультитопы, Многоточечные наборы.
1998	Карлос Симпсон	Гипотеза Симпсона: Каждая слабая ∞-категория эквивалентна ∞-категории, в которой законы композиции и обмена строгие, и только единичные законы могут выполняться слабо. Доказано для 1,2,3-категорий с одним объектом.
1998	Андре Хиршовиц-Карлос Симпсон	Дать категория модели структура по категории категорий Segal. Категории Segal фибрант-кофибрантные объекты и Карты Segal являются слабые эквиваленты. Фактически они обобщают определение до определения Сегал п-категория и дадим модельную структуру для Segal п-категории для любых п ≥ 1.
1998	Крис Ишем–Джереми Баттерфилд	Теорема Кохена – Шпекера в теории топосов предпучков: спектральный предпучок (предпучок, который ставит в соответствие каждому оператору его спектр) не имеет глобальные элементы (глобальные разделы), но может иметь частичные элементы или местные элементы. Глобальный элемент является аналогом предварительных пучков обычной идеи элемента множества. В квантовой теории это эквивалентно спектру C * -алгебра наблюдаемых в топосе без точек.
1998	Ричард Томас	Ричард Томас, студент Саймон Дональдсон, представляет Инварианты Дональдсона – Томаса которые являются системами числовых инвариантов комплексных ориентированных трехмерных многообразий X, аналогичных Инварианты Дональдсона в теории 4-многообразий. Они уверены взвешенные характеристики Эйлера из пространство модулей пучков на Икс и "граф" Гизекера полустабильный когерентные пучки с фиксированной Черн персонаж на X. В идеале пространства модулей должны быть критическими множествами голоморфные функции Черна – Саймонса а инвариантами Дональдсона – Томаса должно быть количество критических точек этой функции, подсчитанное правильно. В настоящее время такие голоморфные функции Черна – Саймонса существуют в лучшем случае локально.
1998	Джон Баэз	Модели из пенопласта: 2-мерный клеточный комплекс с гранями, помеченными изображениями, и ребрами, помеченными переплетающиеся операторы. Пенопласты являются функторами между категории спиновой сети. Любой кусочек спиновой пены дает спинную сеть.
1998	Джон Баэз–Джеймс Долан	Принцип микрокосма: Определенные алгебраические структуры могут быть определены в любой категории, снабженной категоризированной версией той же структуры.
1998	Александр Розенберг	Некоммутативные схемы: Пара (Spec (A), O_А) где A - абелева категория и с ним связано топологическое пространство Spec (A) вместе с пучком колец O_А в теме. В случае, когда A = QCoh (X) для схемы X пара (Spec (A), O_А) естественно изоморфна схеме (X^Зар, O_Икс) с использованием эквивалентности категорий QCoh (Spec (R)) = Mod_р. В более общем смысле абелевы категории или триангулированные категории, или dg-категории, или A_∞-категории следует рассматривать как категории квазикогерентных пучков (или комплексов пучков) на некоммутативных схемах. Это отправная точка в некоммутативная алгебраическая геометрия. Это означает, что можно думать о самой категории А как о пространстве. Поскольку A абелева, это позволяет естественным образом сделать гомологическая алгебра на некоммутативных схемах и, следовательно, когомологии пучков.
1998	Максим Концевич	Категории Калаби – Яу: А линейная категория с картой трассировки для каждого объекта категории и связанной симметричной (по отношению к объектам) невырожденной парой к карте трассировки. Если X - гладкая проективная Калаби - разновидность Яу размерности d, то D^б(Coh (X)) - унитарная система Калаби – Яу А_∞-категория размерности Калаби – Яу d. Категория Калаби – Яу с одним объектом называется Алгебра Фробениуса.
1999	Джозеф Бернштейн–Игорь Френкель–Михаил Хованов	Категории Темперли – Либа: Объекты пронумерованы неотрицательными целыми числами. Множество гомоморфизмов от объекта n к объекту m является свободным R-модулем с базисом над кольцом R. R задается изотопическими классами систем (\|п\| + \|м\|) / 2 простых попарно непересекающихся дуги внутри горизонтальной полосы на плоскости, попарно соединяющихся \| n \| точки на дне и \| m \| точки вверху в некотором порядке. Морфизмы составляются путем объединения их диаграмм. Категории Темперли – Либа разбиты на категории Алгебры Темперли – Либа.
1999	Мойра Час–Деннис Салливан	Конструкции строковая топология когомологиями. Это теория струн на общих топологических многообразиях.
1999	Михаил Хованов	Гомологии Хованова: Теория гомологий для узлов, размерность групп которых является коэффициентами Многочлен Джонса узла.
1999	Владимир Тураев	Гомотопическая квантовая теория поля HQFT
1999	Владимир Воеводский–Фабьен Морель	Создает гомотопическая категория схем.
1999	Рональд Браун- Георгий Джанелидзе	2-мерная теория Галуа
2000	Владимир Воеводский	Дает две конструкции из мотивационные когомологии многообразий, модельными категориями в теории гомотопий и триангулированной категорией DM-мотивов.
2000	Яша Элиашберг–Александр Гивенталь–Хельмут Хофер	Симплектическая теория поля SFT: Функтор Z из геометрической категории оснащенных гамильтоновых структур и оснащенных кобордизмов между ними в алгебраическую категорию некоторых дифференциальных D-модулей и интегральных операторов Фурье между ними и удовлетворяющих некоторым аксиомам.
2000	Пол Тейлор^[1]	ASD (абстрактная двойственность Стоуна): реаксиоматизация пространства и отображений в общей топологии в терминах λ-исчисление вычислимых непрерывных функций и предикатов, который является как конструктивным, так и вычислимым. Топология пространства рассматривается не как решетка, а как экспоненциальный объект той же категории, что и исходное пространство, с соответствующим λ-исчислением. Каждое выражение в λ-исчислении обозначает как непрерывную функцию, так и программу. ASD не использует категория наборов, но полную подкатегорию явных дискретных объектов играет эту роль (явный объект является двойственным к компактному объекту), образуя арифметическая вселенная (претопы со списками) с общей рекурсией.

2001 – настоящее время

Год	Авторы	Мероприятие
2001	Чарльз Резк	Создает категория модели с некоторыми обобщенными Категории Segal в качестве фибрантных объектов, получая таким образом модель гомотопической теории гомотопических теорий. Полные пространства Сигала вводятся одновременно.
2001	Чарльз Резк	Модельные топы и их обобщение гомотопические топосы (модельный топос без предположения t-полноты).
2002	Бертран Тоен-Габриэле Веццози	Сигал топозиты приходящий из Топологии Segal, Сайты Segal и накладывается на них.
2002	Бертран Тоен-Габриэле Веццози	Гомотопическая алгебраическая геометрия: Основная идея - расширить схемы формальной заменой колец любым видом «гомотопически-кольцевидного объекта». Точнее, этот объект является коммутативным моноидом в симметричная моноидальная категория наделен понятием эквивалентностей, которые понимаются как «моноид с точностью до гомотопии» (например, E_∞-кольца).
2002	Питер Джонстон	Влиятельная книга: зарисовки слона - сборник теории топосов. Он служит энциклопедией топос теория (два из трех томов, опубликованных по состоянию на 2008 г.).
2002	Деннис Гайтсгори-Кари Вилонен-Эдвард Френкель	Доказывает геометрическая программа Ленглендса для GL (n) над конечными полями.
2003	Денис-Чарльз Сисински	Продолжает работать над Категории моделей ABC и возвращает их к свету. С тех пор они называются категориями моделей ABC по имени их участников.
2004	Деннис Гайтсгори	Расширенное доказательство геометрическая программа Ленглендса включить GL (n) поверх C. Это позволяет рассматривать кривые над C вместо более конечных полей в геометрической программе Ленглендса.
2004	Марио Каккамо	Формальный теоретико-категориальное расширенное λ-исчисление для категорий.
2004	Фрэнсис Борсо-Доминик Борн	Гомологические категории
2004	Уильям Дуайер-Филипс Хиршхорн-Даниэль Кан-Джеффри Смит	Введение в книгу: Функторы гомотопического предела на модельных категориях и гомотопических категориях, формализм гомотопические категории и гомотопические функторы (функторы, сохраняющие слабую эквивалентность), которые обобщают категория модели формализм Дэниел Квиллен. Гомотопическая категория имеет только выделенный класс морфизмов (содержащий все изоморфизмы), называемых слабыми эквивалентностями, и удовлетворяет двум аксиомам из шести. Это позволяет определять гомотопические варианты исходных и конечных объектов, предел и функторы копредела (которые вычисляются локальными конструкциями в книге), полнота и неполнота, дополнения, Кан расширения и универсальные свойства.
2004	Доминик Верити	Доказывает Гипотеза Стрит-Робертса.
2004	Росс-стрит	Определение спусковой слабой ω-категории косимплициальной слабой ω-категории.
2004	Росс-стрит	Характеризационная теорема для космосов: Бикатегория M - это космос тогда и только тогда, когда существует базовая бикатегория W такая, что M биэквивалентна Mod_W. В качестве W можно взять любую полную подкатегорию в M, объекты которой образуют небольшую Генератор Коши.
2004	Росс-стрит-Брайан Дэй	Квантовые категории и квантовые группоиды: Квантовая категория над плетеная моноидальная категория V - объект R с опморфизм ч: R^op ⊗ R → A в псевдомоноид A такой, что h^* является сильным моноидальным (сохраняет тензорное произведение и единицу до когерентных естественных изоморфизмов), и все R, h и A принадлежат автономной моноидальной бикатегории Comod (V)^co комоноидов. Comod (V) = Mod (V^op)^{курятник}. Квантовые категории были введены для обобщения Алгеброиды Хопфа и группоиды. Квантовый группоид - это Алгебра Хопфа с несколькими объектами.
2004	Стефан Штольц-Питер Тайхнер	Определение nD QFT степени p, параметризованной многообразием.
2004	Стефан Штольц-Питер Тайхнер	Грэм Сигал предложили в 1980-х годах представить геометрическую конструкцию эллиптические когомологии (предшественник tmf) как своего рода пространство модулей КТМ. Стефан Штольц и Питер Тайхнер продолжили и расширили эти идеи в программе строительства Хвостохранилище как пространство модулей суперсимметричных евклидовых теорий поля. Они предположили Штольц-Тайхнер картина (аналогия) между классификация пространств теорий когомологий в хроматическая фильтрация (когомологии де Рама, K-теория, K-теории Моравы) и пространства модулей суперсимметричных КТП, параметризованных многообразием (доказано в 0D и 1D).
2005	Питер Селинджер	Категории кинжалов и кинжальные функторы. Категории кинжалов кажутся частью более широкой структуры, включающей n-категории с дуалами.
2005	Питер Озсват-Золтан Сабо	Узел Флоера гомологии
2006	П. Карраско-A.R. Гарзон-Э.М. Vitale	Категориальные скрещенные модули
2006	Аслак Бакке Буан – Роберт Марш – Маркус Рейнеке–Идун Рейтен–Гордана Тодоров	Категории кластеров: Категории кластеров являются частным случаем триангулированных Категории Калаби – Яу размерности Калаби – Яу 2 и обобщение кластерные алгебры.
2006	Джейкоб Лурье	Монументальная книга: Теория высших топосов: На своих 940 страницах Якоб Лурье обобщает общие концепции теории категорий на более высокие категории и определяет n-toposes, ∞-топозы, связки n-типа, ∞-сайты, ∞-Лемма Йонеды и доказывает Характеризационная теорема Лурье для многомерных топосов. Теорию люри высших топосов можно интерпретировать как хорошую теорию пучков, принимающих значения в ∞-категориях. Грубо говоря, ∞-топос - это ∞-категория, которая выглядит как ∞-категория всех гомотопические типы. В топосе математику сделать можно. В высшем топосе можно заниматься не только математикой, но и «n-геометрией», которая теория высшей гомотопии. В гипотеза топоса состоит в том, что (n + 1) -категория nCat является (n + 1) -топосом Гротендика. Теория высших топосов может также использоваться чисто алгебро-геометрическим способом для решения различных задач о модулях в этом контексте.
2006	Марни Ди Шеппард	Квантовые топосы
2007	Бернхард Келлер-Томас Хью	категории d-кластера
2007	Деннис Гайтсгори-Джейкоб Лурье	Представляет производную версию геометрического Эквивалентность сатаке и формулирует геометрическую Двойственность Ленглендса за квантовые группы. Геометрическая эквивалентность Сатаке реализовала категорию представлений Двойная группа Ленглендса ^LG в сферических извращенные снопы (или же D-модули) на аффинный грассманиан Gr_грамм = грамм((т))/грамм[[t]] исходной группы грамм.
2008	Иеке Мурдейк-Клеменс Бергер	Расширяет и улучшает определение Категория Риди стать инвариантным относительно эквивалентность категорий.
2008	Майкл Дж. Хопкинс–Джейкоб Лурье	Эскиз доказательства Баез-Долана гипотеза путаницы и Баез-Долан гипотеза кобордизма которые классифицируют расширенный TQFT во всех измерениях.

Смотрите также

Примечания

^ Абстрактная каменная двойственность

Navigation