WikiDer > D-модуль

В математика, а D-модуль это модуль через звенеть D из дифференциальные операторы. Главный интерес таких D-модули - это подход к теории линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Примерно с 1970 г. D-модульная теория была построена, в основном, как ответ на идеи Микио Сато на алгебраический анализ, и расширяя работу Сато и Джозеф Бернштейн на Полином Бернштейна – Сато.

Первыми основными результатами были Теорема Кашивары о конструктивности и Теорема Кашивары об индексе из Масаки Кашивара. Методы D-теорию модулей всегда черпали из теория связок и другие техники, вдохновленные работами Александр Гротендик в алгебраическая геометрия. Подход носит глобальный характер и отличается от функциональный анализ методы, традиционно используемые для изучения дифференциальных операторов. Наиболее сильные результаты получены для сверхдетерминированные системы (голономные системы), а на характерное разнообразие вырезано символы, в хорошем случае, для которого это Лагранжево подмногообразие из котангенсный пучок максимальной размерности (инволютивные системы). Со стороны школы Гротендика методы были заимствованы Зогман Мебхаут, получивший генерала, производная категория версия Соответствие Римана – Гильберта во всех измерениях.

Введение: модули над алгеброй Вейля

Первый случай алгебраической D-модули - это модули над Алгебра Вейля А_п(K) через поле K из характеристика нуль. Это алгебра, состоящая из многочленов от следующих переменных

Икс₁, ..., Икс_п, ∂₁, ..., ∂_п.

где переменные Икс_я и ∂_j отдельно коммутируют друг с другом, и Икс_я и ∂_j добираться до я ≠ j, но коммутатор удовлетворяет соотношению

[∂_я, Икс_я] = ∂_яИкс_я - х_я∂_я = 1.

Для любого полинома ж(Икс₁, ..., Икс_п) отсюда следует соотношение

[∂_я, ж] = ∂ж / ∂Икс_я,

тем самым связывая алгебру Вейля с дифференциальными уравнениями.

An (алгебраический) D-модуль по определению левый модуль над кольцом А_п(K). Примеры для D-модули включают в себя саму алгебру Вейля (действующую на себя левым умножением), (коммутативные) кольцо многочленов K[Икс₁, ..., Икс_п], куда Икс_я действует умножением и ∂_j действует частичная дифференциация относительно Икс_j и, аналогичным образом, кольцо ${ Displaystyle { mathcal {O}} ( mathbf {C} ^ {n})}$ голоморфных функций на C^п (функции п комплексные переменные.)

Учитывая некоторые дифференциальный оператор п = а_п(Икс) ∂^п + ... + а₁(Икс) ∂¹ + а₀(Икс), куда Икс комплексная переменная, а_я(Икс) являются полиномами, фактормодуль M = А₁(C)/А₁(C)п тесно связано с пространством решений дифференциального уравнения

ПФ = 0,

куда ж - некоторая голоморфная функция в C, сказать. Векторное пространство, состоящее из решений этого уравнения, задается пространством гомоморфизмов D-модули ${ Displaystyle mathrm {Hom} (М, { mathcal {O}} ( mathbf {C}))}$.

D-модули на алгебраических многообразиях

Общая теория D-модули разрабатываются на гладкий алгебраическое многообразие Икс определен над алгебраически замкнутым полем K нулевой характеристики, например K = C. В пучок дифференциальных операторов D_Икс определяется как О_Икс-алгебра, порожденная векторные поля на Икс, интерпретируется как производные. А (слева) D_Икс-модуль M является О_Икс-модуль с левым действие из D_Икс в теме. Выполнение такого действия эквивалентно указанию K-линейная карта

${ displaystyle nabla: D_ {X} rightarrow operatorname {End} _ {K} (M), v mapsto nabla _ {v}}$

удовлетворение

${ displaystyle nabla _ {fv} (m) = f , nabla _ {v} (m)}$

${ Displaystyle набла _ {v} (фм) = v (е) м + е , набла _ {v} (м)}$ (Правило Лейбница)

${ displaystyle nabla _ {[v, w]} (m) = [ nabla _ {v}, nabla _ {w}] (m)}$

Здесь ж является регулярной функцией на Икс, v и ш векторные поля, м местная секция M, [-, -] обозначает коммутатор. Следовательно, если M кроме того, локально бесплатный О_Икс-модуль, дающий M а D-модульная структура - это не что иное, как оснащение векторный набор связано с M с плоским (или интегрируемым) связь.

Как кольцо D_Икс некоммутативно, слева и справа D-модули следует различать. Однако эти два понятия можно поменять местами, поскольку существует эквивалентность категорий между обоими типами модулей, заданными отображением левого модуля M к тензорное произведение M ⊗ Ω_Икс, где Ω_Икс это линейный пакет дано высшим внешняя сила из дифференциальные 1-формы на Икс. В этом комплекте есть натуральный верно действие определяется

ω ⋅ v : = - Ложь_v (ω),

куда v - дифференциальный оператор первого порядка, т. е. векторное поле, ω a п-форма (п = тусклый Икс), а Ли обозначает Производная Ли.

Локально, после выбора система координат Икс₁, ..., Икс_п (п = тусклый Икс) на Икс, определяющие базис ∂₁, ..., ∂_п из касательное пространство из Икс, разделы D_Икс могут быть однозначно представлены в виде выражений

${ displaystyle sum f_ {i_ {1}, dots, i_ {n}} partial _ {1} ^ {i_ {1}} cdots partial _ {n} ^ {i_ {n}}}$, где ${ displaystyle f_ {i_ {1}, dots, i_ {n}}}$ находятся регулярные функции на Икс.

В частности, когда Икс это п-размерный аффинное пространство, это D_Икс алгебра Вейля в п переменные.

Многие основные свойства D-модули являются локальными и параллельны положению когерентные пучки. Это основано на том факте, что D_Икс это локально свободная связка из О_Икс-модули, хоть и бесконечного ранга, как упоминалось выше О_Икс-основные шоу. А D_Икс-модуль, когерентный как О_Икс-модуль можно показать, что он обязательно локально свободен (конечного ранга).

Функциональность

D-модули на различных алгебраических многообразиях связаны между собой функторы возврата и продвижения вперед сравнимо с таковыми для когерентных пучков. Для карта ж: Икс → Y гладких многообразий определения таковы:

D_Икс→Y := О_Икс ⊗_ж⁻¹(ОY) ж⁻¹(D_Y)

Он оснащен левым D_Икс действие способом, имитирующим Правило цепи, и с естественным правильным действием ж⁻¹(D_Y). Откат определяется как

ж^∗(M) := D_Икс→Y ⊗_ж⁻¹(DY) ж⁻¹(M).

Здесь M левый D_Y-module, а его откат - левый модуль над Икс. Этот функтор прямо точно, его слева производный функтор обозначается Lж^∗. И наоборот, для права D_Икс-модуль N,

ж_∗(N) := ж_∗(N ⊗_DИкс D_Икс→Y)

это право D_Y-модуль. Так как это смешивает правое точное тензорное произведение с точным левым прямым переводом, обычно вместо этого устанавливается

ж_∗(N): = Rж_∗(N ⊗^L_DИкс D_Икс→Y).

Из-за этого большая часть теории D-модули разрабатываются с использованием всей мощи гомологическая алгебра, особенно производные категории.

Голономные модули

Голономные модули над алгеброй Вейля

Можно показать, что алгебра Вейля является (левой и правой) Кольцо Нётериана. Более того, это просто, то есть его только двусторонний идеальный являются нулевой идеал и все кольцо. Эти свойства делают изучение D-модули управляемы. Примечательно, что стандартные представления из коммутативная алгебра Такие как Полином Гильберта, множественность и длина модулей переносятся на D-модули. Точнее, D_Икс оснащен Фильтрация Бернштейна, это фильтрация такой, что F^пА_п(K) состоит из K-линейные комбинации дифференциальных операторов Икс^α∂^β с |α| + |β| ≤ п (с помощью многоиндексная запись). Связанный градуированное кольцо изоморфно кольцу многочленов от 2п неопределенный. В частности, он коммутативен.

Конечно порожденный D-модули M наделены так называемой "хорошей" фильтрацией F^∗M, которые совместимы с F^∗А_п(K), по сути, параллельно с ситуацией Лемма Артина – Риса.. Многочлен Гильберта определяется как числовой полином что согласуется с функцией

п ↦ тусклый_K F^пM

для больших п. Измерение d(M) из А_п(K) -модуль M определяется как степень полинома Гильберта. Он ограничен Неравенство Бернштейна

п ≤ d(M) ≤ 2п.

Модуль, размер которого достигает наименьшего возможного значения, п, называется голономный.

В А₁(K) -модуль M = А₁(K)/А₁(K)п (см. выше) голономна для любого ненулевого дифференциального оператора п, но подобное утверждение для многомерных алгебр Вейля неверно.

Общее определение

Как упоминалось выше, модули над алгеброй Вейля соответствуют D-модули на аффинном пространстве. Фильтрация Бернштейна недоступна на D_Икс для общих сортов Икс, определение обобщается на произвольные аффинные гладкие многообразия Икс посредством фильтрация заказов на D_Икс, определяемый порядок дифференциальных операторов. Связанное градуированное кольцо гр D_Икс задается регулярными функциями на котангенсный пучок Т^∗Икс.

В характерное разнообразие определяется как подмногообразие котангенсный пучок вырезано радикальный из аннигилятор гр M, где снова M оснащен подходящей фильтрацией (по порядку фильтрации на D_Икс). Как обычно, аффинная конструкция затем склеивается с произвольными многообразиями.

Неравенство Бернштейна продолжает выполняться для любого (гладкого) многообразия Икс. Хотя верхняя граница является непосредственным следствием приведенной выше интерпретации гр D_Икс в терминах котангенсного расслоения нижняя граница более тонкая.

Свойства и характеристики

Голономные модули имеют тенденцию вести себя как конечномерные векторные пространства. Например, их длина конечна. Также, M голономно тогда и только тогда, когда все группы когомологий комплекса Lя^∗(M) конечномерны K-векторные пространства, где я это закрытое погружение любой точки Икс.

Для любого D-модуль M, то двойной модуль определяется

${ displaystyle mathrm {D} (M): = { mathcal {R}} operatorname {Hom} (M, D_ {X}) otimes Omega _ {X} ^ {- 1} [ dim X ].}$

Голономные модули также можно охарактеризовать гомологический условие: M голономно тогда и только тогда, когда D (M) сосредоточен (рассматривается как объект в производной категории D-модули) степени 0. Этот факт дает первое представление о Двойственность Вердье и Соответствие Римана – Гильберта. Это доказано расширением гомологического исследования обычные кольца (особенно то, что связано с глобальная гомологическая размерность) в фильтрованное кольцо D_Икс.

Другая характеристика голономных модулей - через симплектическая геометрия. Характеристическое многообразие Ch (M) любой D-модуль M рассматривается как подмногообразие кокасательного расслоения T^∗Икс из Икс, инволютивный разнообразие. Модуль голономен тогда и только тогда, когда Ch (M) является Лагранжиан.

Приложения

Одно из первых применений голономной D-модули были Полином Бернштейна – Сато.

Гипотеза Каждана – Люстига

В Гипотеза Каждана – Люстига было доказано с использованием D-модули.

Соответствие Римана – Гильберта

В Соответствие Римана – Гильберта устанавливает связь между некоторыми D-модули и конструктивные связки. Таким образом, это послужило мотивацией для внедрения извращенные снопы.

Теория геометрического представления

D-модули также применяются в теория геометрических представлений. Основным результатом в этой области является Локализация Бейлинсона – Бернштейна. Это относится D-модули на разновидности флага грамм/B представительствам Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ из восстановительная группа грамм.D-модули также имеют решающее значение при разработке геометрическая программа Ленглендса.

Рекомендации

• Бейлинсон, А.А.; Бернштейн, Джозеф (1981), "Локализация де грамм-модули », Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 292 (1): 15–18, ISSN 0249-6291, МИСТЕР 0610137
• Björk, J.-E. (1979), Кольца дифференциальных операторов, Математическая библиотека Северной Голландии, 21, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-85292-2, МИСТЕР 0549189
• Брылински, Жан-Люк; Кашивара, Масаки (1981), "Гипотеза Каждана – Люстига и голономные системы", Inventiones Mathematicae, 64 (3): 387–410, Дои:10.1007 / BF01389272, ISSN 0020-9910, МИСТЕР 0632980
• Коутиньо, С. К. (1995), Букварь алгебраических D-модули, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 33, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-55119-9, МИСТЕР 1356713
• Борель, Арман, изд. (1987), Алгебраические D-модули, Перспективы в математике, 2, Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, ISBN 978-0-12-117740-9
• М.Г.М. ван Дорн (2001) [1994], «Д-модуль», Энциклопедия математики, EMS Press
• Хотта, Риоши; Такеучи, Киёси; Танисаки, Тосиюки (2008), D-модули, извращенные пучки и теория представлений (PDF), Успехи в математике, 236, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4363-8, МИСТЕР 2357361, заархивировано из оригинал (PDF) на 2016-03-03, получено 2009-12-10

внешняя ссылка

• Бернштейн, Джозеф, Алгебраическая теория D-модули (PDF)
• Гайцгори, Деннис, Лекции по теории геометрических представлений (PDF), заархивировано из оригинал (PDF) на 2015-03-26, получено 2011-12-14
• Миличич, Драган, Лекции по алгебраической теории D-Модули