WikiDer > Топологические модульные формы

В математика, топологические модульные формы (ТМФ) это имя спектр который описывает обобщенный теория когомологий. Конкретно, для любого целого п есть топологическое пространство ${displaystyle operatorname {tmf} ^ {n}}$, и эти пространства снабжены определенными картами между ними, так что для любого топологическое пространство Икс, получается абелева группа структура на съемочной площадке ${displaystyle operatorname {tmf} ^ {n} (X)}$ гомотопических классов непрерывных отображений из Икс к ${displaystyle operatorname {tmf} ^ {n}}$. Одна особенность, которая отличает tmf, заключается в том, что ее кольцо коэффициентов, ${displaystyle operatorname {tmf} ^ {0}}$(точка), почти такая же, как градуированное кольцо голоморфных модульные формы с интегральным куспид расширения. Действительно, эти два кольца становятся изоморфными после инвертирования простых чисел 2 и 3, но эта инверсия стирает много информации о кручении в кольце коэффициентов.

Спектр топологических модулярных форм строится как глобальные сечения пучок из E-бесконечность кольцевые спектры на стек модулей из (обобщенных) эллиптические кривые. Эта теория имеет отношение к теории модульные формы в теория чисел, то гомотопические группы сфер, и предположительный теории индекса на пространства петель из коллекторы. tmf был впервые построен Майкл Хопкинс и Хейнс Миллер; многие расчеты можно найти в препринтах и ​​статьях автора Пол Гёрсс, Хопкинс, Марк Маховальд, Миллер, Чарльз Резк, и Тильман Бауэр.

Строительство

Первоначальная конструкция tmf использует теория препятствий из Хопкинс, Миллер и Пол Гёрсс и основан на идеях Дуайера, Кана и Стовера. В этом подходе определяется предпучка О^верх («верх» означает топологический) мультипликативной теории когомологий на etale сайт модулей куча из эллиптические кривые и показывает, что это можно поднять по существу уникальным способом до пучок кольцевых спектров E-бесконечности. Этот пучок обладает следующим свойством: любой этальной эллиптической кривой над кольцом R он сопоставляет E-бесконечный кольцевой спектр (классический эллиптические когомологии теория), связанный формальная группа - формальная группа этой эллиптической кривой.

Вторая конструкция из-за Джейкоб Лурье, строит tmf, скорее, описывая проблему модулей, которую он представляет, и применяя общую теорию представимости, чтобы затем показать существование: точно так же, как набор модулей эллиптических кривых представляет собой функтор который присваивает кольцу категорию эллиптических кривых над ним, стек вместе с пучком E-бесконечных кольцевых спектров представляет функтор, который присваивает E-бесконечному кольцу его категорию ориентированных производных эллиптических кривых, интерпретируемых соответствующим образом. Эти конструкции работают над стеком модулей гладкий эллиптические кривые, и они также работают для Делиня-Мамфорда компактификация этого стека модулей, в который входят эллиптические кривые с узловыми особенностями. TMF - это спектр, который получается из глобальных сечений по сумме модулей гладких кривых, а tmf - это спектр, возникающий как глобальные сечения Компактификация Делиня – Мамфорда.

TMF - это периодическая версия связки tmf. Хотя кольцевые спектры, используемые для построения TMF, являются периодическими с периодом 2, сама TMF имеет период 576. Периодичность связана с периодом модульный дискриминант.

Отношения к другим разделам математики

Некоторый интерес к tmf исходит от теория струн и конформная теория поля. Грэм Сигал впервые предложено в 1980-х годах для геометрической конструкции эллиптические когомологии (предшественник tmf) как своего рода пространство модулей конформных теорий поля, и эти идеи были продолжены и расширены Стефаном Штольцем и Питером Тайхнером. Их программа - попытаться построить TMF как пространство модулей суперсимметричный Евклидовы теории поля.

В своей работе, более прямо мотивированной теорией струн, Эдвард Виттен представил Род Виттена, гомоморфизм из кольца струнных бордизмов в кольцо модулярных форм, используя эквивариантная теория индекса на формальной окрестности тривиального множества в пространство петли многообразия. Это ассоциируется с любым спиновый коллектор с первой исчезающей половиной Понтрягин класс модульная форма. Благодаря работам Хопкинса, Мэтью Андо, Чарльза Резка и Нила Стрикленда род Виттенов можно поднять до топологии. То есть есть отображение из спектра струнных бордизмов в tmf (так называемый ориентация) такая, что род Виттена восстанавливается как композиция индуцированного отображения на гомотопические группы этих спектров и отображение гомотопических групп tmf в модулярные формы. Это позволило доказать некоторые утверждения о делимости рода Виттена. Ориентация tmf аналогична отображению Атьи – Ботта – Шапиро из спин-бордизм спектр к классическому K-теория, который является подъемом Уравнение Дирака топологии.

Рекомендации

• Бауэр, Тильман (2008). «Вычисление гомотопии спектра exttt {TMF}». Группы, гомотопии и конфигурационные пространства (Токио, 2005 г.). Монографии по геометрии и топологии. 13. С. 11–40. arXiv:math.AT/0311328. Дои:10.2140 / gtm.2008.13.11. S2CID 1396008.
• Беренс, М., Заметки о построении ТМФ (2007), http://www-math.mit.edu/~mbehrens/papers/buildTMF.pdf
• Дуглас, Кристофер Л .; Фрэнсис, Джон; Энрикес, Андре Дж .; и др., ред. (2014). Топологические модульные формы. Математические обзоры и монографии. 201. A.M.S. ISBN 978-1-4704-1884-7.
• Гёрсс П., Хопкинс М. Пространства модулей коммутативных кольцевых спектров. http://www.math.northwestern.edu/~pgoerss/papers/sum.pdf
• Хопкинс, Майкл Дж. (2002). «Алгебраическая топология и модульные формы». arXiv:math.AT/0212397. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
• Хопкинс, М., Маховальд, М., От эллиптических кривых к теории гомотопии (1998), http://www.math.purdue.edu/research/atopology/Hopkins-Mahowald/eo2homotopy.pdf
• Лурье Дж. Обзор эллиптических когомологий (2007), http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/survey.pdf
• Резк, К., http://www.math.uiuc.edu/~rezk/512-spr2001-notes.pdf
• Штольц С., Тайхнер П. Суперсимметричные евклидовы теории поля и обобщенные когомологии (2008). http://math.berkeley.edu/~teichner/Papers/Survey.pdf