WikiDer > Некоммутативный гармонический анализ

Noncommutative harmonic analysis

В математика, некоммутативный гармонический анализ это поле, в котором получается Анализ Фурье распространяются на топологические группы это не коммутативный.[1] поскольку локально компактные абелевы группы иметь хорошо понятную теорию, Понтрягинская двойственность, который включает в себя основные структуры Ряд Фурье и Преобразования Фурье, основной бизнес некоммутативных гармонический анализ обычно рассматривается как расширение теории на все группы г которые локально компактный. Случай компактные группы понимается, качественно и после Теорема Питера – Вейля с 1920-х годов, как в целом аналог конечные группы и их теория характера.

Таким образом, основная задача - это случай г то есть локально компактно, не компактно и не коммутативно. Среди интересных примеров много Группы Ли, а также алгебраические группы над p-адические поля. Эти примеры интересны и часто применяются в математическая физика, и современные теория чиселособенно автоморфные представления.

Чего ожидать, известно как результат основной работы Джон фон Нейман. Он показал, что если групповая алгебра фон Неймана из г имеет тип I, то L2(г) как унитарное представительство из г это прямой интеграл неприводимых представлений. Следовательно, он параметризуется унитарный дуальный, множество классов изоморфизма таких представлений, которому задается топология корпус-ядро. Аналог Теорема Планшереля абстрактно задается путем определения меры на унитарном двойственном Планшерель мера, по которому берется прямой интеграл. (Для двойственности Понтрягина мера Планшереля - это некоторая мера Хаара на двойная группа к г, поэтому единственной проблемой является ее нормализация.) Для общих локально компактных групп или даже счетных дискретных групп групповая алгебра фон Неймана не обязательно должна иметь тип I и регулярное представление г не может быть записан в терминах неприводимых представлений, даже если он унитарен и полностью приводим. Примером, где это происходит, является бесконечная симметрическая группа, где групповая алгебра фон Неймана - это гиперконечный тип II.1 фактор. Дальнейшая теория делит меру Планшереля на дискретную и непрерывную части. Для полупростые группы, и классы разрешимые группы Ли, доступна очень подробная теория.[2]

Смотрите также

использованная литература

  • «Некоммутативный гармонический анализ: в честь Жака Кармона», Жак Кармона, Патрик Делорм, Мишель Вернь; Издательство Springer, 2004 г. ISBN 0-8176-3207-7 [3]
  • Юрий Иванович Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп. Перевод с русскоязычного издания 1985 г. (Харьков, Украина). Birkhäuser Verlag. 1988 г.

Заметки

  1. ^ Гросс, Кеннет И. (1978). «Об эволюции некоммутативного гармонического анализа». Амер. Математика. Ежемесячно. 85 (7): 525–548. Дои:10.2307/2320861. JSTOR 2320861.
  2. ^ Тейлор, Майкл Э. (Август 1986 г.). Некоммутативный гармонический анализ. ISBN 9780821873823.
  3. ^ Некоммутативный гармонический анализ: в честь Жака Кармона