WikiDer > Уравнение Новикова – Веселова.

В математика, то Уравнение Новикова – Веселова. (или же Уравнение Веселова – Новикова) является естественным (2 + 1) -мерным аналогом Уравнение Кортевега – де Фриза (КдФ). В отличие от другого (2 + 1) -мерного аналога KdV, Уравнение Кадомцева – Петвиашвили., это интегрируемый через обратное преобразование рассеяния для двумерного стационарного Уравнение Шредингера. Точно так же уравнение Кортевега – де Фриза интегрируемо через обратное преобразование рассеяния для одномерного уравнения Шредингера. Уравнение названо в честь Новиков С.П. и А.П. Веселов, опубликовавших его в Новиков и Веселов (1984).

Определение

Уравнение Новикова – Веселова чаще всего записывается как

${ Displaystyle { begin {align} & partial _ {t} v = 4 ; Re left {4 partial _ {z} ^ {3} v + partial _ {z} (vw) -E partial _ {z} w right }, & partial _ { bar {z}} w = -3 partial _ {z} v, end {align}}}$

(1)

куда ${ Displaystyle v = v (x_ {1}, x_ {2}, t),}$ ${ Displaystyle ш = ш (х_ {1}, х_ {2}, т)}$ и следующие стандартные обозначения комплексный анализ используется: ${ Displaystyle Re}$ это реальная часть,

${ displaystyle partial _ {z} = { frac {1} {2}} ( partial _ {x_ {1}} - я partial _ {x_ {2}}), quad partial _ { bar {z}} = { frac {1} {2}} ( partial _ {x_ {1}} + i partial _ {x_ {2}}).}$

Функция ${ displaystyle v}$ обычно считается ценным. Функция ${ displaystyle w}$ - вспомогательная функция, определяемая через ${ displaystyle v}$ до голоморфный слагаемое ${ displaystyle E}$ - действительный параметр, соответствующий уровню энергии соответствующего двумерного уравнения Шредингера

${ Displaystyle L psi = E psi, quad L = - Delta + v (x, t), quad Delta = partial _ {x_ {1}} ^ {2} + partial _ {x_ {2}} ^ {2}.}$

Связь с другими нелинейными интегрируемыми уравнениями

Когда функции ${ displaystyle v}$ и ${ displaystyle w}$ в уравнении Новикова – Веселова зависят только от одной пространственной переменной, например ${ Displaystyle v = v (x_ {1}, t)}$, ${ Displaystyle ш = ш (х_ {1}, т)}$, то уравнение сводится к классическому Уравнение Кортевега – де Фриза. Если в уравнении Новикова – Веселова ${ Displaystyle E до pm infty}$, то уравнение сводится к другому (2 + 1) -мерному аналогу уравнения КдФ - уравнению Уравнение Кадомцева – Петвиашвили. (к КП-I и КП-II соответственно) (Захаров и Шульман 1991).

История

Метод обратной задачи преобразования рассеяния для решения нелинейных уравнения в частных производных (PDEs) начинается с открытия К.С. Гарднер, Дж. М. Грин, М.Д. Крускал, Р.М. Миура (Gardner et al. 1967), который продемонстрировал, что уравнение Кортевега – де Фриза может быть интегрировано через обратную задачу рассеяния для одномерного стационарного уравнения Шредингера. Алгебраическая природа этого открытия была раскрыта Lax который показал, что уравнение Кортевега – де Фриза можно записать в следующей операторной форме (так называемый Слабая пара):

${ displaystyle { frac { partial L} { partial t}} = [L, A],}$

(2)

куда ${ Displaystyle L = - partial _ {x} ^ {2} + v (x, t)}$, ${ displaystyle A = partial _ {x} ^ {3} + { frac {3} {4}} (v (x, t) partial _ {x} + partial _ {x} v (x, t))}$ и ${ Displaystyle [ cdot, cdot]}$ это коммутатор. Уравнение (1) является условием совместности уравнений

${ displaystyle { begin {align} & L psi = lambda psi, & psi _ {t} = A psi end {align}}}$

для всех значений ${ displaystyle lambda}$.

После этого представление формы (2) был найден для многих других физически интересных нелинейных уравнений, таких как Уравнение Кадомцева – Петвиашвили., уравнение синус-Гордона, нелинейное уравнение Шредингера и другие. Это привело к широкому развитию теории обратного преобразования рассеяния для интегрирования нелинейных уравнений в частных производных.

При попытке обобщить представление (2) до двух измерений, получается, что оно выполняется только в тривиальных случаях (операторы ${ displaystyle L}$, ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$ иметь постоянные коэффициенты или оператор ${ displaystyle L}$ - дифференциальный оператор порядка не выше 1 по одной из переменных). Однако С.В. Манаков показал, что в двумерном случае правильнее рассматривать следующее представление (далее называемое тройкой Манакова L-A-B):

${ displaystyle { frac { partial L} { partial t}} = [L, A] + BL,}$

(3)

или, что то же самое, искать условие совместности уравнений

${ displaystyle { begin {align} & L psi = lambda psi, & psi _ {t} = A psi end {align}}}$

в одно фиксированное значение параметра ${ displaystyle lambda}$ (Манаков 1976 г.).

Представление (3) для двумерного оператора Шредингера ${ displaystyle L}$ найден С.П. Новиковым и А.П. Веселовым в (Новиков и Веселов 1984). Авторы также построили иерархию эволюционных уравнений, интегрируемых через обратное преобразование рассеяния, для двумерного уравнения Шредингера при фиксированной энергии. Эта система эволюционных уравнений (которую иногда называют иерархией уравнений Новикова – Веселова) содержит, в частности, уравнение (1).

Физические приложения

В бездисперсионный вариант уравнения Новикова – Веселова. выведена в модели нелинейной геометрической оптики (Конопельченко и Моро 2004).

Поведение решений

Поведение решений уравнения Новикова – Веселова существенно зависит от регулярности данных рассеяния для этого решения. Если данные рассеяния регулярны, то решение равномерно обращается в нуль со временем. Если данные рассеяния имеют особенности, то решение может развиваться солитоны. Например, данные рассеяния аппарата Гриневича–Захаров солитонные решения уравнения Новикова – Веселова имеют особые точки.

Солитоны традиционно являются ключевым объектом исследования в теории нелинейных интегрируемых уравнений. Солитоны уравнения Новикова – Веселова при положительной энергии представляют собой прозрачные потенциалы, как и в одномерном случае (в котором солитоны являются безотражательными потенциалами). Однако, в отличие от одномерного случая, когда существуют хорошо известные экспоненциально затухающие солитоны, уравнение Новикова – Веселова (по крайней мере, при ненулевой энергии) не имеет экспоненциально локализованных солитонов (Новиков 2011).

Рекомендации

• Gardner, C.S .; Greene, J.M .; Kruskal, M.D .; Миура, Р. (1967), "Метод решения уравнения Кортевега – де Фриза", Phys. Rev. Lett., 19 (19): 1095–1098, Bibcode:1967ПхРвЛ..19.1095Г, Дои:10.1103 / PhysRevLett.19.1095
• Конопельченко, Б .; Моро, А. (2004), "Интегрируемые уравнения в нелинейной геометрической оптике", Исследования по прикладной математике, 113 (4): 325–352, arXiv:nlin / 0403051, Дои:10.1111 / j.0022-2526.2004.01536.x
• Манаков, С.В. (1976), «Метод обратной задачи рассеяния и двумерные эволюционные уравнения», Успехи матем. Наук, 31 (5): 245–246 (Английский перевод: Russian Math. Surveys 31 (1976), № 5, 245–246.)
• Новиков, Р. (2011), «Отсутствие экспоненциально локализованных солитонов для уравнения Новикова – Веселова при положительной энергии», Письма о физике A, 375 (9): 1233–1235, arXiv:1010.0770, Bibcode:2011ФЛА..375.1233Н, Дои:10.1016 / j.physleta.2011.01.052
• Новиков, С.П .; Веселов, А.П. (1984), «Конечнозонные двумерные потенциальные операторы Шредингера. Явная формула и уравнения эволюции» (PDF), Сов. Математика. Докл., 30: 588–591
• Захаров, В.Е .; Шульман, Э. (1991), «Интегрируемость нелинейных систем и теория возмущений», у Захарова В.Е. (ред.), Что такое интегрируемость?, Ряды Спрингера в нелинейной динамике, Берлин: Springer – Verlag, стр. 185–250. ISBN 3-540-51964-5

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Веселова – Новикова». MathWorld.
• Метод обратной задачи рассеяния для уравнения Новикова – Веселова.