WikiDer > Омега уравнение

В омега уравнение это кульминационный результат синоптическая шкала метеорология. Это эллиптический уравнение в частных производных, названный потому, что его левая часть дает оценку вертикальной скорости, обычно^[1] выражается символом ${ displaystyle omega}$, в координата давления измерение высоты атмосферы. Математически, ${ displaystyle omega = { frac {dp} {dt}}}$, куда ${ displaystyle {d over dt}}$ представляет материальная производная. Однако основная концепция является более общей и может также применяться.^[2] к Буссинеск система уравнений жидкости, в которой вертикальная скорость ${ displaystyle w = { frac {dz} {dt}}}$ по высоте z.

Концепция и резюме

Вертикальный ветер имеет решающее значение для Погода и штормы всех типов. Даже медленные широкие восходящие потоки могут создать конвективная неустойчивость или подвести воздух к его повышенный уровень конденсации создание стратиформ облако колоды. К сожалению, напрямую предсказать вертикальное движение сложно. За синоптические шкалы в земле широкой и мелкой тропосфера, вертикальная составляющая ньютоновского закон движения приносится в жертву метеорологии примитивные уравнения, приняв гидростатический приближение. Вместо этого вертикальная скорость должна быть решена через ее связь с горизонтальными законами движения через массу уравнение неразрывности. Но это создает дополнительные трудности, потому что горизонтальные ветры в основном геострофический, в хорошее приближение. Геострофические ветры циркулируют только горизонтально и не сильно сходиться или расходиться по горизонтали, чтобы обеспечить необходимую связь с непрерывностью массы и, следовательно, с вертикальным движением.

Ключевой вывод, воплощенный в квазигеострофический уравнение омеги состоит в том, что тепловой баланс ветра (комбинация баланса гидростатических и геострофических сил, описанная выше) на протяжении всего времени, хотя горизонтальный транспорт количества движения и тепла геострофическими ветрами часто нарушают этот баланс. Логично, что небольшая негеострофический компонент ветра (расходящийся и, следовательно, связанный с вертикальным движением) должен действовать как вторичная циркуляция для поддержания баланса геострофической первичной циркуляции. В квазигеострофический омега ${ displaystyle omega _ {QG}}$ - гипотетическое вертикальное движение, адиабатическое охлаждение или нагревание эффект (на основе атмосферы статическая устойчивость) помешало бы термический ветер дисбаланс от роста со временем, противодействуя разрушающему баланс (или создающему дисбаланс) эффектам адвекция. Строго говоря, QG теория аппроксимирует как перенесенный импульс, так и скорость адвектирования, определяемую геострофический ветер.

Таким образом, можно рассматривать вертикальную скорость, полученную в результате решения уравнения омега, как то, что было бы необходимо для поддержания геострофии и гидростазии перед лицом адвекции геострофического ветра.^[1]

Уравнение гласит:

${ displaystyle sigma nabla _ { text {H}} ^ {2} omega + f ^ {2} { frac { partial ^ {2} omega} { partial p ^ {2}}} = f { frac { partial} { partial p}} left [ mathbf {V} _ { text {g}} cdot nabla _ { text {H}} left ( zeta _ { text {g}} + f right) right] - nabla _ { text {H}} ^ {2} left ( mathbf {V} _ { text {g}} cdot nabla _ { text {H}} { frac { partial phi} { partial p}} right)}$

(1)

куда ${ displaystyle f}$ это Параметр Кориолиса, ${ displaystyle sigma}$ относится к статическая устойчивость, ${ displaystyle mathbf {V} _ { text {g}}}$ это геострофическая скорость вектор, ${ displaystyle zeta _ { text {g}}}$ геострофический относительная завихренность, ${ displaystyle phi}$ это геопотенциал, ${ Displaystyle набла _ { текст {H}} ^ {2}}$ горизонтальный Оператор лапласа и ${ displaystyle nabla _ { text {H}}}$ горизонтальный дель оператор.^[3] Его знак и смысл в типичных погодных условиях^[4] является: вверх движение производится положительный адвекция завихренности над рассматриваемый уровень (первый член), плюс теплый адвекция (второй член).

Вывод

Вывод ${ displaystyle omega}$ уравнение основано на вертикальной составляющей уравнение завихренности, и термодинамическое уравнение. Вертикаль уравнение завихренности для атмосферы без трения можно записать, используя давление как вертикальную координату:

${ Displaystyle { frac { partial xi} { partial t}} + V cdot nabla eta -f { frac { partial omega} { partial p}} = left ( xi { frac { partial omega} { partial p}} - omega { frac { partial xi} { partial p}} right) + { hat {k}} cdot nabla omega раз { frac { partial V} { partial p}}}$

(2)

Здесь ${ Displaystyle xi}$ относительная завихренность, ${ displaystyle V}$ вектор горизонтальной скорости ветра, компоненты которого в ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ направления ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ соответственно, ${ displaystyle eta}$ абсолютная завихренность ${ displaystyle xi + f}$, ${ displaystyle f}$ это Параметр Кориолиса, ${ displaystyle omega = { frac {dp} {dt}}}$ в материальная производная давления ${ displaystyle p}$, ${ displaystyle { hat {k}}}$ - единичный вертикальный вектор, ${ displaystyle nabla}$ - изобарический оператор Дель (град), ${ displaystyle left ( xi { frac { partial omega} { partial p}} - omega { frac { partial xi} { partial p}} right)}$ - вертикальная адвекция завихренности и ${ displaystyle { hat {k}} cdot nabla omega times { frac { partial V} { partial p}}}$ представляет собой термин «наклон» или преобразование горизонтальной завихренности в вертикальную завихренность.^[5]

Уравнение термодинамики можно записать как:

${ displaystyle { frac { partial} { partial t}} left (- { frac { partial Z} { partial p}} right) + V cdot nabla left (- { frac { partial Z} { partial p}} right) -k omega = { frac {R} {C _ { text {p}} cdot g}} cdot { frac {Q} {p} }}$

(3)

куда ${ Displaystyle к эквив влево ({ гидроразрыва { partial Z} { partial p}} справа) { frac { partial} { partial p}} ln theta}$, в котором ${ displaystyle Q}$ - скорость нагрева (подача энергии в единицу времени и единицу массы), ${ displaystyle C _ { text {p}}}$- удельная теплоемкость сухого воздуха, ${ displaystyle R}$ газовая постоянная для сухого воздуха, ${ displaystyle theta}$ - потенциальная температура и ${ displaystyle phi}$ геопотенциал ${ displaystyle (gZ)}$.

В ${ displaystyle omega}$ уравнение (1) получается из уравнения (2) и (3), преобразовав оба уравнения в терминах геопотенциала Z, и исключение производных по времени на основе физического предположения, что тепловой дисбаланс ветра остается небольшим во времени, или d / dt (дисбаланс) = 0. На первом этапе относительная завихренность должна быть аппроксимирована как геострофическая завихренность:

${ displaystyle xi = { frac {g} {f}} nabla ^ {2} Z}$

Расширяя последний член "наклона" в (2) в декартовы координаты (хотя мы скоро пренебрежем этим) уравнение завихренности гласит:

${ displaystyle { frac { partial} { partial t}} left ({ frac {g} {f}} nabla ^ {2} Z right) + V cdot nabla eta -f { frac { partial omega} { partial p}} = left ( xi { frac { partial omega} { partial p}} - omega { frac { partial xi} { partial p}} right) + left ({ frac { partial omega} { partial y}} { frac { partial u} { partial p}} - { frac { partial omega} { partial x}} { frac { partial v} { partial p}} right)}$

(4)

Дифференцируя (4) относительно ${ displaystyle p}$ дает:

${ displaystyle { frac {g} {f}} { frac { partial} { partial t}} nabla ^ {2} left ({ frac { partial Z} { partial p}} справа) + { frac { partial} { partial p}} (V cdot nabla eta) -f { frac { partial ^ {2} omega} { partial p ^ {2}}} = { frac { partial} { partial p}} left ( xi { frac { partial omega} { partial p}} - omega { frac { partial xi} { partial p }} right) + { frac { partial} { partial p}} left ({ frac { partial omega} { partial y}} cdot { frac { partial u} { partial p}} - { frac { partial omega} { partial x}} cdot { frac { partial v} { partial p}} right)}$

(5)

Взяв лапласиан (${ displaystyle nabla ^ {2}}$) из (3) дает:

${ Displaystyle { frac { partial} { partial t}} nabla ^ {2} left (- { frac { partial Z} { partial p}} right) + nabla ^ {2} [V cdot nabla left (- { frac { partial Z} { partial p}} right)] - nabla ^ {2} k omega = { frac {R} {C _ { text {p}} cdot g}} cdot { frac { nabla ^ {2} Q} {p}}}$

(6)

Добавление (5) к г / ж раз (6), подставив ${ displaystyle gk = sigma}$, и аппроксимируя горизонтальную адвекцию геострофическая адвекция (с использованием Якобиан формализм) дает:

${ displaystyle nabla ^ {2} omega + { frac {f ^ {2}} { sigma}} { frac { partial ^ {2} omega} { partial p ^ {2}}} = { frac {1} { sigma}} left [{ frac { partial} { partial p}} J ( phi, eta) + { frac {1} {f}} nabla ^ {2} J left ( phi, - { frac { partial phi} { partial p}} right) right] - { frac {f} { sigma}} { frac { partial } { partial p}} left ({ frac { partial omega} { partial y}} cdot { frac { partial u} { partial p}} - { frac { partial omega } { partial x}} cdot { frac { partial v} { partial p}} right) - { frac {f} { sigma}} { frac { partial} { partial p} } left ( xi { frac { partial omega} { partial p}} - omega { frac { partial xi} { partial p}} right) { frac {R cdot набла ^ {2} Q} {C _ { text {p}} cdot S cdot p}}}$

(7)

Уравнение (7) теперь является диагностическим линейным дифференциальным уравнением для ${ displaystyle omega}$, который можно разделить на два члена, а именно ${ displaystyle omega _ {1}}$ и ${ displaystyle omega _ {2}}$, такое, что:

${ displaystyle nabla ^ {2} omega _ {1} + { frac {f ^ {2}} { sigma}} { frac { partial ^ {2} omega _ {1}} { частичный p ^ {2}}} = { frac {1} { sigma}} left [{ frac { partial} { partial p}} J ( phi, eta) + { frac {1 } {f}} nabla ^ {2} J left ( phi, - { frac { partial phi} { partial p}} right) right] - { frac {f} { sigma }} { frac { partial} { partial p}} left ({ frac { partial omega} { partial y}} cdot { frac { partial u} { partial p}} - { frac { partial omega} { partial x}} cdot { frac { partial v} { partial p}} right) - { frac {f} { sigma}} { frac { partial} { partial p}} left ( xi { frac { partial omega} { partial p}} - omega { frac { partial xi} { partial p}} right) }$

(8)

и

${ displaystyle nabla ^ {2} omega _ {2} + { frac {f ^ {2}} { sigma}} { frac { partial ^ {2} omega _ {2}} { частичный p ^ {2}}} = { frac {R cdot nabla ^ {2} Q} {C _ { text {p}} cdot sigma cdot p}}}$

(9)

куда ${ displaystyle omega _ {1}}$ - вертикальная скорость, относящаяся ко всем зависящим от потока адвективным тенденциям в уравнении (8), и ${ displaystyle omega _ {2}}$ - вертикальная скорость из-за неадиабатического нагрева, которая включает скрытую теплоту конденсации, потоки явного тепла, радиационный нагрев и т. д. (Singh & Rathor, 1974). Поскольку все скорости адвекции по горизонтали были заменены геострофическими значениями, а геострофические ветры почти не расходятся, пренебрежение условиями вертикальной адвекции является последовательным дополнительным предположением квазигеострофический установить, оставив только член в квадратных скобках в уравнениях. (7-8) войти (1).

Интерпретация

Уравнение (1) для адиабатических ${ displaystyle omega _ {QG}}$ используется метеорологами и оперативными синоптиками, чтобы предсказать, где на синоптических картах произойдет восходящее движение. Для синусоидальных или волнообразных движений, где операторы Лапласа действуют просто как отрицательный знак^[4], а смысл уравнения можно выразить словами, обозначающими знак эффекта: Движение вверх движется адвекция положительной завихренности, увеличивающаяся с высотой (сокращенно ПВА), плюс теплая адвекция (или сокращенно WA). Противоположный знаковый случай для этого линейного уравнения логически противоположен.

В месте, где эффекты дисбаланса адиабатической адвекции вызывают движение вверх (где ${ displaystyle omega _ {QG} <0}$ в уравнении. 1), инерция геострофического поля ветра (то есть его склонность к продвижению вперед) создает потребность в уменьшении толщины ${ displaystyle { frac {- partial Z} { partial p}}}$ для сохранения теплового баланса ветра. Например, при приближении циклона верхнего уровня или желоба выше рассматриваемого уровня часть ${ displaystyle omega _ {QG}}$ относящийся к первому члену в формуле. 1 движение вверх необходимо для создания все более холодного столба воздуха, который требуется гипсометрически под падающими высотами. Это адиабатическое рассуждение должно быть дополнено оценкой обратных связей от нагрева в зависимости от потока, таких как выделение скрытого тепла. Если скрытая теплота выделяется при охлаждении воздуха, тогда потребуется дополнительное движение вверх на основе уравнения. (9), чтобы противодействовать его эффекту, чтобы по-прежнему создавать необходимое прохладное ядро. Другой способ подумать о такой обратной связи - это рассмотреть эффективную статическую стабильность, которая меньше в насыщенном воздухе, чем в ненасыщенном, хотя сложность этой точки зрения состоит в том, что скрытый нагрев, опосредованный конвекцией, не обязательно должен быть вертикально локальным по отношению к высоте, на которой охлаждение за счет ${ displaystyle omega _ {QG}}$ запускает его формирование. По этой причине, сохранение отдельного Q-члена, такого как уравнение (9), является полезным подходом.^[6].

Рекомендации

внешняя ссылка

• Определение Американского метеорологического общества