WikiDer > Пространство последовательности Орлича

Эта статья включает в себя список общих использованная литература, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшить эта статья введение более точные цитаты. (Март 2019 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, Пространство последовательности Орлича какой-либо из определенного класса линейные пространства скалярных последовательности, наделенный особым норма, указанные ниже, в соответствии с которыми он образует Банахово пространство. Пространства последовательностей Орлича обобщают ${ displaystyle ell _ {p}}$ пространства, и как таковые играют важную роль в функциональный анализ.

Определение

Исправить ${ Displaystyle mathbb {K} in { mathbb {R}, mathbb {C} }}$ так что ${ Displaystyle mathbb {K}}$ обозначает вещественное или комплексное скалярное поле. Мы говорим, что функция ${ Displaystyle M: ​​[0, infty) к [0, infty)}$ является Функция Орлича если он непрерывный, неубывающий и (возможно, нестрого) выпуклый, с ${ Displaystyle M (0) = 0}$ и ${ Displaystyle textstyle lim _ {т к infty} M (т) = infty}$. В частном случае, когда существует ${ displaystyle b> 0}$ с участием ${ Displaystyle M (t) = 0}$ для всех ${ displaystyle t in [0, b]}$ это называется выродиться.

В дальнейшем, если не указано иное, мы будем предполагать, что все функции Орлича невырождены. Из этого следует ${ displaystyle M (t)> 0}$ для всех ${ displaystyle t> 0}$.

Для каждой скалярной последовательности ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п = 1} ^ { infty} in mathbb {K} ^ { mathbb {N}}}$ набор

${ displaystyle left | (a_ {n}) _ {n = 1} ^ { infty} right | _ {M} = inf left { rho> 0: sum _ {n = 1} ^ { infty} M (| a_ {n} | / rho) leqslant 1 right }.}$

Затем мы определяем Пространство последовательности Орлича относительно ${ displaystyle M}$, обозначенный ${ displaystyle ell _ {M}}$, как линейное пространство всех ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п = 1} ^ { infty} in mathbb {K} ^ { mathbb {N}}}$ такой, что ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} M (| a_ {n} | / rho) < infty}$ для некоторых ${ displaystyle rho> 0}$, наделенный нормой ${ Displaystyle | cdot | _ {M}}$.

Два других определения будут важны в последующем обсуждении. Функция Орлича ${ displaystyle M}$ считается, что удовлетворяет Δ₂ состояние на нуле всякий раз, когда

${ displaystyle limsup _ {t to 0} { frac {M (2t)} {M (t)}} < infty.}$

Обозначим через ${ displaystyle h_ {M}}$ подпространство скалярных последовательностей ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ { infty} in ell _ {M}}$ такой, что ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} M (| a_ {n} | / rho) < infty}$ для всех ${ displaystyle rho> 0}$.

Свойства

Космос ${ displaystyle ell _ {M}}$ является банаховым пространством и обобщает классическое ${ displaystyle ell _ {p}}$ пробелы в следующем точном смысле: когда ${ Displaystyle М (т) = т ^ {р}}$, ${ Displaystyle 1 leqslant p < infty}$, тогда ${ Displaystyle | cdot | _ {M}}$ совпадает с ${ displaystyle ell _ {p}}$-норма, а значит ${ displaystyle ell _ {M} = ell _ {p}}$; если ${ displaystyle M}$ является вырожденной функцией Орлича, то ${ Displaystyle | cdot | _ {M}}$ совпадает с ${ displaystyle ell _ { infty}}$-норма, а значит ${ Displaystyle ell _ {M} = ell _ { infty}}$ в этом частном случае и ${ displaystyle h_ {M} = c_ {0}}$ когда ${ displaystyle M}$ является вырожденным.

В общем, единичные векторы не могут образовывать основа для ${ displaystyle ell _ {M}}$, а потому следующий результат имеет большое значение.

Теорема 1. Если ${ displaystyle M}$ является функцией Орлича, то следующие условия эквивалентны:

(я) ${ displaystyle M}$ удовлетворяет Δ₂ условие в нуле, т.е. ${ displaystyle textstyle limsup _ {t to 0} M (2t) / M (t) < infty}$.

(ii) Для каждого ${ displaystyle lambda> 0}$ существуют положительные постоянные ${ Displaystyle К = К ( лямбда)}$ и ${ Displaystyle Ь = Ь ( лямбда)}$ так что ${ Displaystyle М ( лямбда т) leqslant КМ (т)}$ для всех ${ displaystyle t in [0, b]}$.

(iii) ${ displaystyle textstyle limsup _ {t to 0} tM '(t) / M (t) < infty}$ (где ${ displaystyle M '}$ - неубывающая функция, определенная всюду, кроме, возможно, счетного множества, где вместо этого мы можем взять правую производную, которая определена везде).

(iv) ${ displaystyle ell _ {M} = h_ {M}}$.

(v) Единичные векторы образуют ограниченно полный симметричный базис для ${ displaystyle ell _ {M}}$.

(vi) ${ displaystyle ell _ {M}}$ отделимо.

(vii) ${ displaystyle ell _ {M}}$ не может содержать подпространство, изоморфное ${ displaystyle ell _ { infty}}$.

(viii) ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ { infty} in ell _ {M}}$ если и только если ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} M (| a_ {n} |) < infty}$.

Две функции Орлича ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle N}$ удовлетворяющие Δ₂ состояние в нуле называются эквивалент когда существуют положительные константы ${ displaystyle A, B, b> 0}$ такой, что ${ Displaystyle AN (t) leqslant M (t) leqslant BN (t)}$ для всех ${ displaystyle t in [0, b]}$. Это так, если и только если базисы единичных векторов ${ displaystyle ell _ {M}}$ и ${ displaystyle ell _ {N}}$ эквивалентны.

${ displaystyle ell _ {M}}$ может быть изоморфен ${ displaystyle ell _ {N}}$ без эквивалентности их базисов единичных векторов. (См. Ниже пример пространства последовательностей Орлича с двумя неэквивалентными симметричными базами.)

Теорема 2. Позволять ${ displaystyle M}$ быть функцией Орлича. потом ${ displaystyle ell _ {M}}$ рефлексивно тогда и только тогда, когда

${ displaystyle liminf _ {t to 0} { frac {tM '(t)} {M (t)}}> 1 ; ;}$ и ${ displaystyle ; ; limsup _ {t to 0} { frac {tM '(t)} {M (t)}} < infty}$.

Теорема 3. (К. Дж. Линдберг). Позволять ${ displaystyle X}$ - бесконечномерное замкнутое подпространство сепарабельного пространства последовательностей Орлича ${ displaystyle ell _ {M}}$. потом ${ displaystyle X}$ имеет подпространство ${ displaystyle Y}$ изоморфна некоторому пространству последовательностей Орлича ${ displaystyle ell _ {N}}$ для некоторой функции Орлича ${ displaystyle N}$ удовлетворяющие Δ₂ состояние на нуле. Если к тому же ${ displaystyle X}$ имеет безусловную основу, то ${ displaystyle Y}$ могут быть выбраны для дополнения в ${ displaystyle X}$, и если ${ displaystyle X}$ имеет симметричный базис, то ${ displaystyle X}$ сам изоморфен ${ displaystyle ell _ {N}}$.

Теорема 4. (Lindenstrauss / Tzafriri). Каждое разделимое пространство последовательностей Орлича ${ displaystyle ell _ {M}}$ содержит подпространство, изоморфное ${ displaystyle ell _ {p}}$ для некоторых ${ Displaystyle 1 leqslant p < infty}$.

Следствие. Каждое бесконечномерное замкнутое подпространство сепарабельного пространства последовательностей Орлича содержит дополнительное подпространство, изоморфное ${ displaystyle ell _ {p}}$ для некоторых ${ Displaystyle 1 leqslant p < infty}$.

Отметим, что в приведенной выше теореме 4 копия ${ displaystyle ell _ {p}}$ не всегда могут быть выбраны для дополнения, как показывает следующий пример.

пример (Lindenstrauss / Tzafriri). Существует сепарабельное и рефлексивное пространство последовательностей Орлича ${ displaystyle ell _ {M}}$ который не содержит дополненной копии ${ displaystyle ell _ {p}}$ для любого ${ Displaystyle 1 leqslant p leqslant infty}$. Это то же самое пространство ${ displaystyle ell _ {M}}$ содержит не менее двух неэквивалентных симметрических базисов.

Теорема 5. (К. Дж. Линдберг и Линденштраус / Цафрири). Если ${ displaystyle ell _ {M}}$ является пространством последовательностей Орлича, удовлетворяющим ${ displaystyle textstyle liminf _ {t to 0} tM '(t) / M (t) = limsup _ {t to 0} tM' (t) / M (t)}$ (т.е. двусторонний предел существует), то все следующее верно.

(я) ${ displaystyle ell _ {M}}$ отделимо.

(ii) ${ displaystyle ell _ {M}}$ содержит дополненную копию ${ displaystyle ell _ {p}}$ для некоторых ${ Displaystyle 1 leqslant p < infty}$.

(iii) ${ displaystyle ell _ {M}}$ имеет единственный симметрический базис (с точностью до эквивалентности).

Пример. Для каждого ${ Displaystyle 1 leqslant p < infty}$, функция Орлича ${ Displaystyle М (т) = т ^ {р} / (1- журнал (т))}$ удовлетворяет условиям теоремы 5 выше, но не эквивалентно ${ displaystyle t ^ {p}}$.

использованная литература

• Lindenstrauss, J., and L. Tzafriri. Классические банаховы пространства I, пространства последовательностей (1977), ISBN 978-3-642-66559-2.
• Lindenstrauss, J., and L. Tzafriri. «О пространствах последовательностей Орлича», Израильский математический журнал 10: 3 (сентябрь 1971 г.), стр 379-390.
• Lindenstrauss, J., and L. Tzafriri. "О пространствах последовательностей Орлича. II" Израильский математический журнал 11: 4 (декабрь 1972 г.), стр. 355-379.
• Lindenstrauss, J., and L. Tzafriri. «О пространствах последовательностей Орлича III», Израильский математический журнал 14: 4 (декабрь 1973 г.), стр. 368-389.