WikiDer > Параметрическая производная

Parametric derivative

В исчисление, а параметрическая производная это производная из зависимая переменная по отношению к другой зависимой переменной, которая берется, когда обе переменные зависят от независимой третьей переменной, обычно рассматриваемой как "время" (то есть, когда зависимые переменные Икс и у и даны параметрические уравнения в т ).

Первая производная

Позволять ${ Displaystyle х (т) ,}$ и ${ Displaystyle у (т) ,}$ быть координаты точек кривой, выраженных как функции Переменная т:

{ displaystyle y = y (t), quad x = x (t).}

Первая производная, подразумеваемая этими параметрические уравнения является

{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = { frac {dy / dt} {dx / dt}} = { frac {{ dot {y}} (t)} {{ dot {x }} (t)}},}

где обозначение ${ Displaystyle { точка {х}} (т)}$ обозначает производную от Икс относительно т. Это можно получить, используя цепное правило для производных:

{ displaystyle { frac {dy} {dt}} = { frac {dy} {dx}} cdot { frac {dx} {dt}}}

и разделив обе стороны на ${ displaystyle { frac {dx} {dt}}}$ чтобы дать уравнение выше.

В общем, все эти производные - dy / dt, dx / dt, и dy / dx - сами являются функциями т и поэтому может быть записан более явно как, например, ${ displaystyle { tfrac {dy} {dx}} (t).}$

Вторая производная

В вторая производная подразумевается параметрическим уравнением, задается

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}}}$	${ displaystyle = { frac {d} {dx}} left ({ frac {dy} {dx}} right)}$
	${ displaystyle = { frac {d} {dt}} left ({ frac {dy} {dx}} right) cdot { frac {dt} {dx}}}$
	${ displaystyle = { frac {d} {dt}} left ({ frac { dot {y}} { dot {x}}} right) { frac {1} { dot {x} }}}$
	${ displaystyle = { frac {{ dot {x}} { ddot {y}} - { dot {y}} { ddot {x}}} {{ dot {x}} ^ {3} }}}$