WikiDer > Периодическое суммирование

В обработка сигналов, любой периодическая функция, ${ Displaystyle s_ {P} (т)}$ с периодом п, может быть представлено суммированием бесконечного числа экземпляров апериодической функции, ${ displaystyle s (t)}$, которые компенсируются целыми числами, кратными п. Это представление называется периодическое суммирование:

${ displaystyle s_ {P} (t) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} s (t + nP) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} s ( т-нП).}$

Преобразование Фурье и 3 варианта, вызванные периодической выборкой (с интервалом T) и / или периодическим суммированием (с интервалом P) лежащей в основе функции временной области.

Когда${ Displaystyle s_ {P} (т)}$ альтернативно представлен как сложный Ряд Фурье, коэффициенты Фурье пропорциональны значениям (или «выборкам») непрерывное преобразование Фурье, ${ Displaystyle S (е) треугольник { mathcal {F}} {s (т) },}$ с интервалом 1 / P.^[1][2] Эта идентичность - форма Формула суммирования Пуассона. Точно так же ряд Фурье, коэффициенты которого являются выборками${ displaystyle s (t)}$ через постоянные интервалы (Т) эквивалентно периодическое суммирование из${ Displaystyle S (е),}$ который известен как преобразование Фурье с дискретным временем.

Периодическое суммирование Дельта-функция Дирака это Гребень Дирака. Точно так же периодическое суммирование интегрируемой функции - это ее свертка с гребнем Дирака.

Факторное пространство как домен

Если периодическая функция представлена ​​с помощью факторное пространство домен${ Displaystyle mathbb {R} / (P mathbb {Z})}$ тогда можно написать

${ displaystyle varphi _ {P}: mathbb {R} / (P mathbb {Z}) to mathbb {R}}$

${ displaystyle varphi _ {P} (x) = sum _ { tau in x} s ( tau)}$

вместо. Аргументы ${ displaystyle varphi _ {P}}$ находятся классы эквивалентности из действительные числа которые разделяют то же самое дробная часть при делении на ${ displaystyle P}$.

Цитаты

Смотрите также

• Гребень Дирака
• Круговая свертка
• Дискретное преобразование Фурье