WikiDer > Дискретное преобразование Фурье
В математика, то преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT) является формой Фурье-анализ это применимо к последовательности значений.
DTFT часто используется для анализа выборок непрерывной функции. Период, термин дискретное время относится к тому факту, что преобразование работает с дискретными данными, часто с выборками, интервал которых имеет единицы времени. Из равномерно расположенных отсчетов он производит функцию частоты, которая является периодическое суммирование из непрерывное преобразование Фурье исходной непрерывной функции. При определенных теоретических условиях, описываемых теорема выборки, исходная непрерывная функция может быть полностью восстановлена из ДВПФ и, следовательно, из исходных дискретных выборок. Само ДВПФ является непрерывной функцией частоты, но ее дискретные отсчеты можно легко вычислить с помощью дискретное преобразование Фурье (ДПФ) (см. § Выборка ДВПФ), который является наиболее распространенным методом современного анализа Фурье.
Оба преобразования обратимы. Обратное ДВПФ - это исходная последовательность дискретизированных данных. Обратное ДПФ - это периодическое суммирование исходной последовательности. В быстрое преобразование Фурье (БПФ) - это алгоритм для вычисления одного цикла ДПФ, а его обратный дает один цикл обратного ДПФ.
Определение
Дискретное преобразование Фурье дискретного набора действительных или комплексных чисел Икс[п], для всех целые числа п, это Ряд Фурье, который производит периодическую функцию частотной переменной. Когда частотная переменная ω имеет нормализованные единицы из радиан / образец, периодичность 2π, а ряд Фурье есть:[1]:стр.147
(Уравнение 1)
Полезность этой функции частотной области коренится в Формула суммирования Пуассона. Позволять Икс(ж) преобразование Фурье любой функции, Икс(т), чьи выборки на некотором интервале Т (секунды) равны (или пропорциональны) Икс[п] последовательность, т.е. Т⋅Икс(нТл) = Икс[п]. Тогда периодическая функция, представленная рядом Фурье, представляет собой периодическое суммирование Икс(ж) с точки зрения частоты ж в герц (циклов / сек):[а]
(Уравнение 2)
Целое число k имеет единицы циклов / образец, и 1/Т это частота дискретизации, жs (выборок / сек). Так Икс1/Т(ж) содержит точные копии Икс(ж) которые сдвинуты на кратные жs герц и сложены сложением. Для достаточно больших жs то k = 0 срок можно наблюдать в регионе [−жs/ 2, fs/2] с небольшим искажением или без него (псевдоним) с других терминов. На рисунке 1 крайние точки распределения в верхнем левом углу замаскированы сглаживанием при периодическом суммировании (нижний левый).
Отметим также, что е−i2πfTn - преобразование Фурье δ(т − нТл). Следовательно, альтернативное определение DTFT:[A]
(Уравнение 3)
Модулированный Гребень Дирака функция - это математическая абстракция, которую иногда называют импульсный отбор.[2]
Обратное преобразование
Операция, которая восстанавливает дискретную последовательность данных из функции DTFT, называется обратный ДВПФ. Например, обратное непрерывное преобразование Фурье обеих частей Уравнение 3 производит последовательность в виде модулированной гребенчатой функции Дирака:
Однако, отмечая, что Икс1/Т(ж) является периодическим, вся необходимая информация содержится в любом интервале длины 1/Т. В обоих Уравнение 1 и Уравнение 2, суммирования по n равны Ряд Фурье, с коэффициентами Икс[п]. Стандартные формулы для коэффициентов Фурье также являются обратными преобразованиями:
(Уравнение 4)
Периодические данные
Когда последовательность входных данных Икс[п] является N-периодический, Уравнение 2 вычислительно может быть сведено к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ), поскольку:
- Вся доступная информация содержится в N образцы.
- Икс1/Т(ж) сходится к нулю везде, кроме целых кратных 1/(NT), известный как гармонический частоты. На этих частотах DTFT расходится с разной частотно-зависимой скоростью. И эти скорости даются ДПФ одного цикла Икс[п] последовательность.
- ДВПФ является периодическим, поэтому максимальное количество уникальных амплитуд гармоник равно (1/Т) / (1/(NT)) = N
Коэффициенты ДПФ даются как:
- и DTFT:
Подстановка этого выражения в формулу обратного преобразования подтверждает:
как и ожидалось. Обратное ДПФ в строке выше иногда называют Дискретный ряд Фурье (DFS).[1]:542 с.
Выборка DTFT
Когда ДВПФ является непрерывным, обычной практикой является вычисление произвольного количества выборок (N) одного цикла периодической функции Икс1/Т: [1]:стр. 557–559 и 703
куда это периодическое суммирование:
- (видеть Дискретный ряд Фурье)
В последовательность - обратное ДПФ. Таким образом, наша выборка DTFT приводит к тому, что обратное преобразование становится периодическим. Массив |Иксk|2 значения известны как периодограмма, а параметр N называется NFFT в одноименной функции Matlab.[3]
Чтобы оценить один цикл численно мы требуем конечной длины Икс[п] последовательность. Например, длинная последовательность может быть усечена оконная функция длины L в результате мы получили три случая, заслуживающих особого упоминания. Для простоты обозначений рассмотрим Икс[п] значения ниже, чтобы представить значения, измененные оконной функцией.
Случай: Прореживание частоты. L = N ⋅ я, для некоторого целого числа я (обычно 6 или 8)
Цикл сводится к суммированию я отрезки длины N. Затем ДПФ имеет различные названия, например:
- многофазная ДПФ[8][9]
- банк многофазных фильтров[11]
- многоблочное управление окнами и временная привязка.[12]
Напомним, что прореживание выборочных данных в одном домене (по времени или частоте) приводит к перекрытию (иногда известному как псевдоним) в другом, и наоборот. По сравнению с L-длина ДПФ, суммирование / перекрытие вызывает прореживание по частоте,[1]:стр.558 оставляя только образцы DTFT, наименее подверженные влиянию спектральная утечка. Обычно это приоритет при реализации БПФ. банк фильтров (ченнелинг). С обычной оконной функцией длины L, гребешковая потеря было бы неприемлемо. Итак, многоблочные окна создаются с использованием КИХ-фильтр инструменты дизайна.[13][14] Их частотный профиль плоский в верхней точке и быстро спадает в средней точке между оставшимися отсчетами DTFT. Чем больше значение параметра я, тем лучше потенциальная производительность.
Дело: L = N+1.
Когда симметричный, L-длина оконная функция () усекается на 1 коэффициент и называется периодический или же DFT-даже. Усечение влияет на DTFT. ДПФ усеченной последовательности дискретизирует ДВПФ с частотными интервалами 1/N. Пробовать на тех же частотах для сравнения вычисляется ДПФ за один цикл периодического суммирования, [D]
Случай: частотная интерполяция. L ≤ N
В этом случае ДПФ упрощается до более знакомой формы:
Чтобы воспользоваться преимуществами алгоритма быстрого преобразования Фурье для вычисления ДПФ, суммирование обычно выполняется по всем N условия, хотя N − L из них нули. Следовательно, случай L < N часто упоминается как заполнение нулями.
Спектральная утечка, которая увеличивается при L уменьшается, наносит ущерб определенным важным показателям производительности, таким как разрешение нескольких частотных компонентов и количество шума, измеряемого каждой выборкой DTFT. Но это не всегда имеет значение, например, когда Икс[п] последовательность - это бесшумная синусоида (или константа), сформированная оконной функцией. Тогда обычной практикой является использование заполнение нулями для графического отображения и сравнения подробных схем утечки оконных функций. Чтобы проиллюстрировать это для прямоугольного окна, рассмотрим последовательность:
- и
Рисунки 2 и 3 представляют собой графики величины двух ДПФ разного размера, как указано на их метках. В обоих случаях преобладающий компонент находится на частоте сигнала: ж = 1/8 = 0.125. Также виден в Рис 2 спектральная картина утечки L = 64 прямоугольное окно. Иллюзия в Рис 3 является результатом выборки ДВПФ только в точках пересечения нуля. Вместо ДВПФ последовательности конечной длины он производит впечатление бесконечно длинной синусоидальной последовательности. Факторами, способствующими возникновению иллюзии, являются использование прямоугольного окна и выбор частоты (1/8 = 8/64) с ровно 8 (целыми) циклами на 64 выборки. А Окно Ханна даст аналогичный результат, за исключением того, что пик будет расширен до 3 отсчетов (см. DFT-даже окно Ханна).
Свертка
В теорема свертки для последовательностей:
Важным частным случаем является круговая свертка последовательностей Икс и y определяется куда является периодическим суммированием. Дискретно-частотный характер означает, что произведение с непрерывной функцией также дискретна, что приводит к значительному упрощению обратного преобразования:
За Икс и y последовательности, ненулевая длительность которых меньше или равна N, окончательное упрощение:
Значение этого результата объясняется в Круговая свертка и Алгоритмы быстрой свертки.
Свойства симметрии
Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на их четные и нечетные части, имеется четыре компонента, обозначенных ниже индексами RE, RO, IE и IO. Между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования существует взаимно однозначное соответствие.:[16]:стр.291
Отсюда очевидны различные отношения, например:
- Преобразование вещественной функции (ИксRE+ ИксRO) это даже симметричный функция ИксRE+ я XIO. И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает действительную временную область.
- Преобразование мнимозначной функции (я ИксIE+ я ИксIO) это нечетно симметричный функция ИксRO+ я XIE, и верно обратное.
- Преобразование четно-симметричной функции (ИксRE+ я ИксIO) - вещественная функция ИксRE+ XRO, и верно обратное.
- Преобразование нечетно-симметричной функции (ИксRO+ я ИксIE) - мнимозначная функция я XIE+ я XIO, и верно обратное.
Связь с Z-преобразованием
это Ряд Фурье что также может быть выражено в терминах двустороннего Z-преобразование. То есть:
где обозначение отличает Z-преобразование от преобразования Фурье. Следовательно, мы также можем выразить часть Z-преобразования через преобразование Фурье:
Обратите внимание, что когда параметр Т изменения, условия оставаться постоянным разделением друг от друга, а их ширина увеличивается или уменьшается. Условия Икс1/Т(ж) остаются постоянной шириной и их разделение 1/Т масштабируется вверх или вниз.
Таблица дискретных преобразований Фурье
Некоторые общие пары преобразований показаны в таблице ниже. Применяются следующие обозначения:
- - действительное число, представляющее непрерывную угловую частоту (в радианах на выборку). ( циклов в секунду, а выражается в секундах / отсчет.) Во всех случаях в таблице ДВПФ является 2π-периодическим (в ).
- обозначает функцию, определенную на .
- обозначает функцию, определенную на и ноль в других местах. Потом:
- это Дельта-функция Дирака
- нормализованный функция sinc
- это функция прямоугольника
- это функция треугольника
- п является целым числом, представляющим дискретную временную область (в выборках)
- дискретное время функция шага единицы
- это Дельта Кронекера
Область времени Икс[п] | Частотная область Икс2π(ω) | Замечания | Ссылка |
---|---|---|---|
[16]:стр.305 | |||
целое число | |||
странный M | целое число | ||
В термин должен толковаться как распределение в смысле Главное значение Коши вокруг его полюса в . | |||
[16]:стр.305 | |||
-π | настоящий номер | ||
настоящий номер с | |||
настоящий номер с | |||
целые числа и | |||
действительные числа с | |||
настоящий номер , | |||
он работает как дифференциатор фильтр | |||
действительные числа с | |||
Преобразование Гильберта | |||
действительные числа сложный |
Характеристики
В этой таблице показаны некоторые математические операции во временной области и соответствующие эффекты в частотной области.
- это дискретная свертка двух последовательностей
- это комплексно сопряженный из Икс[п].
Свойство | Область времени Икс[п] | Частотная область | Замечания | Ссылка |
---|---|---|---|---|
Линейность | сложные числа | [16]:стр.294 | ||
Обратное время / изменение частоты | [16]:стр.297 | |||
Сопряжение времени | [16]:стр.291 | |||
Обращение времени и спряжение | [16]:стр.291 | |||
Реальная часть времени | [16]:стр.291 | |||
Воображаемая часть времени | [16]:стр.291 | |||
Действительная часть частоты | [16]:стр.291 | |||
Мнимая часть частоты | [16]:стр.291 | |||
Сдвиг во времени / Модуляция по частоте | целое число k | [16]:стр.296 | ||
Сдвиг частоты / модуляция во времени | настоящий номер | [16]:стр.300 | ||
Децимация | [E] | целое число | ||
Расширение времени | целое число | [1]:стр.172 | ||
Производная по частоте | [16]:стр.303 | |||
Интеграция по частоте | ||||
Разница во времени | ||||
Суммирование во времени | ||||
Свертка по времени / Умножение по частоте | [16]:стр.297 | |||
Умножение по времени / Свертка по частоте | Периодическая свертка | [16]:стр.302 | ||
Взаимная корреляция | ||||
Теорема Парсеваля | [16]:стр.302 |
Смотрите также
Примечания
- ^ Фактически Уравнение 2 часто оправдывается следующим:[1]:стр.143
- ^ WOLA не следует путать с Метод перекрытия-добавления кусочной свертки.
- ^ Пример WOLA: Файл: WOLA channelizer example.png
- ^ Примером является фигура Выборка DTFT. Выборки ДПФ с действительным знаком являются результатом DFT-четная симметрия[15]:стр.52
- ^ Это выражение выводится следующим образом:[1]:стр.168
Цитирование страниц
- ^ Оппенгейм и Шафер, стр 147 (4.20), стр 694 (10.1), и Прандони и Веттерли, p 255, (9.33), где: и
- ^ Оппенгейм и Шафер, p 551 (8.35), и Прандони и Веттерли, p 82, (4.43), где: и
- ^ Оппенгейм и Шафер, стр. 60, (2.169) и Прандони и Веттерли, стр 122, (5.21)
Рекомендации
- ^ а б c d е ж грамм час Оппенгейм, Алан В.; Шафер, Рональд В.; Бак, Джон Р. (1999). «4,2, 8,4». Обработка сигналов в дискретном времени (2-е изд.). Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2.
выборки преобразования Фурье апериодической последовательности x [n] можно рассматривать как коэффициенты DFS периодической последовательности, полученные суммированием периодических копий x [n].
url =https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf - ^ Рао, Р. (2008). Сигналы и системы. Prentice-Hall Of India Pvt. Ограничено. ISBN 9788120338593.
- ^ «Оценка спектральной плотности мощности периодограммы - периодограмма MATLAB».
- ^ Гума, Чарльз Константин (июль 1997 г.). «Window-presum FFT обеспечивает высокий динамический диапазон, разрешение». Новости личной инженерии и приборостроения: 58–64. Архивировано 10 февраля 2001 года.CS1 maint: BOT: статус исходного URL-адреса неизвестен (связь)
- ^ Crochiere, R.E .; Рабинер, Л. (1983). «7.2». Многоскоростная цифровая обработка сигналов. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. С. 313–326. ISBN 0136051626.
- ^ Ван, Хун; Лу, Юксин; Ван, Сюэган (16 октября 2006 г.). "Канальный приемник с WOLA Filterbank". 2006 Международная конференция CIE по радарам. Шанхай, Китай: IEEE: 1–3. Дои:10.1109 / ICR.2006.343463. ISBN 0-7803-9582-4.
- ^ Лайонс, Ричард Г. (июнь 2008 г.). «Уловки DSP: создание практического анализатора спектра». EE Times. Получено 2020-02-20. Однако обратите внимание, что он содержит ссылку с надписью взвешенная структура с перекрытием и сложением который неправильно идет в Метод перекрытия-добавления.
- ^ а б Лиллингтон, Джон (март 2003 г.). «Сравнение архитектур широкополосной канализации» (PDF). Даллас: Международная конференция по обработке сигналов. п. 4 (рис 7). Получено 2020-09-06.
Метод «Весовое перекрытие и сложение» или WOLA или его подмножество «Многофазный ДПФ» становится все более популярным и, безусловно, очень эффективен там, где требуются большие высококачественные банки фильтров.
- ^ а б Лиллингтон, Джон. «Обзор методов банка фильтров - RF и цифровой» (PDF). armms.org. Остров Уайт, Великобритания: Libra Design Associates Ltd. стр. 11. Получено 2020-09-06.
К счастью, существует гораздо более элегантное решение, показанное на рисунке 20 ниже, известное как многофазное или WOLA (вес, перекрытие и сложение) БПФ.
- ^ Хохгюртель, Стефан (2013). «Эффективные реализации широкополосных БПФ-спектрометров высокого разрешения и их применение для обзора линий центра Галактики APEX» (PDF). hss.ulb.uni-bonn.de. Бонн: Рейнский университет им. Фридриха Вильгельма в Бонне. стр. 26–27. Получено 2020-09-06.
Чтобы выполнить M-кратный WOLA для N-точечного ДПФ, M · N реальных входных выборок aj сначала умножается на оконную функцию wj такого же размера
- ^ Ченнамангалам, Джаянт (2016-10-18). "Техника банка многофазных фильтров". Группа КАСПЕР. Получено 2016-10-30.
- ^ Даль, Джейсон Ф. (06.02.2003). Методы временного наложения для оценки спектра (Кандидат наук.). Университет Бригама Янга. Получено 2016-10-31.
- ^ Линь Юань-Пей; Вайдьянатан, П. (Июнь 1998 г.). "Подход окна Кайзера для разработки прототипов фильтров наборов фильтров с косинусной модуляцией" (PDF). Письма об обработке сигналов IEEE. 5 (6): 132–134. Bibcode:1998ISPL .... 5..132L. Дои:10.1109/97.681427. Получено 2017-03-16.
- ^ Харрис, Фредерик Дж. (24 мая 2004 г.). «9». Многоскоростная обработка сигналов для систем связи. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall PTR. С. 226–253. ISBN 0131465112.
- ^ Харрис, Фредрик Дж. (Январь 1978 г.). «Об использовании Windows для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье» (PDF). Труды IEEE. 66 (1): 51–83. Bibcode:1978IEEEP..66 ... 51H. CiteSeerX 10.1.1.649.9880. Дои:10.1109 / PROC.1978.10837.
- ^ а б c d е ж грамм час я j k л м п о п q р Proakis, John G .; Манолакис, Дмитрий Г. (1996). Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.). Нью-Джерси: Prentice-Hall International. Bibcode:1996dspp.book ..... P. ISBN 9780133942897. sAcfAQAAIAAJ.
- ^ Рабинер, Лоуренс Р.; Золото, Бернард (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., стр. 59 (2,163). ISBN 978-0139141010.
- Прандони, Паоло; Веттерли, Мартин (2008). Обработка сигналов для связи (PDF) (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. С. 72, 76. ISBN 978-1-4200-7046-0. Получено 4 октября 2020.
коэффициенты DFS для периодизированного сигнала представляют собой дискретный набор значений для его DTFT
дальнейшее чтение
- Порат, Боаз (1996). Курс цифровой обработки сигналов. Джон Уайли и сыновья. С. 27–29 и 104–105. ISBN 0-471-14961-6.
- Зиберт, Уильям М. (1986). Цепи, сигналы и системы. Серия "Электротехника и информатика Массачусетского технологического института". Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 0262690950.
- Лайонс, Ричард Г. (2010). Понимание цифровой обработки сигналов (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0137027415.