WikiDer > Список преобразований, связанных с Фурье

Это список линейные преобразования из функции относится к Анализ Фурье. Такие преобразования карта функция для набора коэффициенты из базисные функции, где базисными функциями являются синусоидальный и поэтому сильно локализованы в частотный спектр. (Эти преобразования обычно предназначены для обратимости.) В случае преобразования Фурье каждая базисная функция соответствует одному частота компонент.

Непрерывные преобразования

Применяемые к функциям непрерывных аргументов, преобразования Фурье включают:

• Двустороннее преобразование Лапласа
• Преобразование Меллина, другое тесно связанное интегральное преобразование
• Преобразование Лапласа
• преобразование Фурье, с особыми случаями:
  • Ряд Фурье
    • Когда входная функция / форма волны является периодической, выходной сигнал преобразования Фурье является Гребень Дирака функция, модулированная дискретной последовательностью конечнозначных коэффициентов, которые в общем случае являются комплексными. Они называются Коэффициенты ряда Фурье. Период, термин Ряд Фурье фактически относится к обратному преобразованию Фурье, которое представляет собой сумму синусоид на дискретных частотах, взвешенных с помощью коэффициентов ряда Фурье.
    • Когда ненулевая часть входной функции имеет конечную продолжительность, преобразование Фурье является непрерывным и конечнозначным. Но дискретного подмножества его значений достаточно, чтобы восстановить / представить проанализированную часть. Тот же дискретный набор получается, если рассматривать длительность сегмента как один период периодической функции и вычислять коэффициенты ряда Фурье.
  • Преобразования синуса и косинуса: Когда входная функция имеет нечетную или четную симметрию относительно начала координат, преобразование Фурье сводится к преобразованию синуса или косинуса.
• Преобразование Хартли
• Кратковременное преобразование Фурье (или кратковременное преобразование Фурье) (STFT)
  • Прямоугольная маска с кратковременным преобразованием Фурье
• Чирплет преобразование
• Дробное преобразование Фурье (FRFT)
• Преобразование Ганкеля: связанные с преобразованием Фурье радиальных функций.
• Преобразование Фурье – Броса – Ягольницера
• Линейное каноническое преобразование

Дискретные преобразования

Для использования на компьютеры, теория чисел и алгебра, дискретные аргументы (например, функции серии дискретных выборок) часто более уместны и обрабатываются преобразованиями (аналогично непрерывным случаям выше):

• Дискретное преобразование Фурье (DTFT): Эквивалентно преобразованию Фурье «непрерывной» функции, которая строится из дискретной входной функции с использованием значений выборки для модуляции Гребень Дирака. Когда значения выборки получены путем выборки функции на реальной линии, ƒ (Икс), ДВПФ эквивалентно периодическое суммирование преобразования Фурье ƒ. Выход DTFT всегда периодический (циклический). Альтернативная точка зрения состоит в том, что DTFT - это преобразование в частотную область, которая ограничена (или конечный), длина одного цикла.
  • дискретное преобразование Фурье (ДПФ):
    • Когда входная последовательность является периодической, выход DTFT также является Гребень Дирака функция, модулированная коэффициентами ряда Фурье^[1] который может быть вычислен как ДПФ одного цикла входной последовательности. Количество дискретных значений в одном цикле ДПФ такое же, как и в одном цикле входной последовательности.
    • Когда ненулевая часть входной последовательности имеет конечную продолжительность, ДВПФ является непрерывным и конечнозначным. Но дискретного подмножества его значений достаточно, чтобы восстановить / представить проанализированную часть. Тот же дискретный набор получается путем обработки продолжительности сегмента как одного цикла периодической функции и вычисления ДПФ.
  • Дискретный преобразования синуса и косинуса: Когда входная последовательность имеет нечетную или четную симметрию относительно начала координат, ДВПФ сводится к дискретное синусоидальное преобразование (DST) или дискретное косинусное преобразование (DCT).
    • Регрессивный дискретный ряд Фурье, в котором период определяется по данным, а не фиксируется заранее.
  • Дискретные преобразования Чебышева (на сетке «корней» и сетке «экстремумов» полиномов Чебышева первого рода). Это преобразование имеет большое значение в области спектральных методов решения дифференциальных уравнений, поскольку его можно использовать для быстрого и эффективного перехода от значений точек сетки к коэффициентам ряда Чебышева.
• Обобщенное ДПФ (GDFT), обобщение ДПФ и преобразования постоянного модуля, где фазовые функции могут быть линейными с целочисленными и действительными значениями наклона, или даже нелинейной фазой, обеспечивающей гибкость для оптимального дизайна различных показателей, например авто- и кросс-корреляции.
• Преобразование Фурье в дискретном пространстве (DSFT) - это обобщение DTFT от одномерных сигналов до двухмерных сигналов. Он называется «дискретным пространством», а не «дискретным временем», потому что наиболее распространенным применением является создание изображений и обработка изображений, где аргументы входной функции представляют собой равноотстоящие отсчеты пространственных координат. ${ Displaystyle (х, у)}$. Выход DSFT периодический в обеих переменных.
• Z-преобразование, обобщение ДВПФ на всю комплексная плоскость
• Модифицированное дискретное косинусное преобразование (MDCT)
• Дискретное преобразование Хартли (DHT)
• Также дискретизированный STFT (см. Выше).
• Преобразование Адамара (Функция Уолша).
• Преобразование Фурье на конечных группах.
• Дискретное преобразование Фурье (общее).

Использование всех этих преобразований значительно облегчается наличием эффективных алгоритмов, основанных на быстрое преобразование Фурье (БПФ). В Теорема выборки Найквиста – Шеннона имеет решающее значение для понимания результатов таких дискретных преобразований.

Примечания

Смотрите также

• Интегральное преобразование
• Вейвлет-преобразование
• Спектроскопия с преобразованием Фурье
• Гармонический анализ
• Список преобразований
• Список операторов
• Биспектр

Рекомендации

• А.Д. Полянин, А.В. Манжиров, Справочник интегральных уравнений, CRC Press, Бока-Ратон, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: мир математических уравнений.
• А. Н. Акансу и Х. Агирман-Тосун, "Обобщенное дискретное преобразование Фурье с нелинейной фазой", IEEE Транзакции по обработке сигналов, т. 58, нет. 9, pp. 4547-4556, сентябрь 2010 г.