WikiDer > Дискретное преобразование Чебышева

Discrete Chebyshev transform

В Прикладная математика, то дискретное преобразование Чебышева (ДКП), названный в честь Пафнутый Чебышев, является одной из двух основных разновидностей DCT: дискретное преобразование Чебышева на сетке «корней» Полиномы Чебышева первого вида и дискретное преобразование Чебышева на сетке «экстремумов» полиномов Чебышева первого рода.

Дискретное преобразование Чебышева на сетке корней

Дискретное преобразование Чебышева функции u (x) в точках дан кем-то:

где:

где и в противном случае.

Используя определение ,

и его обратное преобразование:

(Так происходит со стандартным рядом Чебышева, вычисленным на сетке корней.)

Это легко получить, преобразовав входные аргументы в дискретное косинусное преобразование.

Это можно продемонстрировать, используя следующие MATLAB код:

функцияа=fct(ж, л)% х = -cos (пи / N * ((0: N-1) '+ 1/2));ж = ж(конец:-1:1,:);А = размер(ж); N = А(1);если существуют ('A (3)', 'var') && A (3) ~ = 1    для я = 1: А (3)        а(:,:,я) = sqrt(2/N) * dct(ж(:,:,я));        а(1,:,я) = а(1,:,я) / sqrt(2);    конецеще    а = sqrt(2/N) * dct(ж(:,:,я));    а(1,:)=а(1,:) / sqrt(2);конец

Дискретное косинусное преобразование (dct) фактически вычисляется с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье в MATLAB.
И обратное преобразование дается кодом MATLAB:

функцияж=ifct(а, л)% x = -cos (pi / N * ((0: N-1) '+ 1/2)) k = размер(а); N=k(1);а = idct(sqrt(N/2) * [а(1,:) * sqrt(2); а(2:конец,:)]);конец

Дискретное преобразование Чебышева на сетке экстремумов

Это преобразование использует сетку:

Это преобразование сложнее реализовать с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ). Однако он более широко используется, потому что он находится на сетке экстремумов, которая имеет тенденцию быть наиболее полезной для краевых задач. В основном потому, что к этой сетке проще применить граничные условия.

Существует дискретный (и на самом деле быстрый, потому что он выполняет dct с помощью быстрого преобразования Фурье), доступный при обмене файлами MATLAB, который был создан Грегом фон Винкелем. Поэтому здесь это опущено.

В этом случае преобразование и его обратное

где и в противном случае.

Использование и реализации

Основное использование дискретного преобразования Чебышева - численное интегрирование, интерполяция и устойчивое численное дифференцирование.[1]Реализация, обеспечивающая эти функции, приведена в C ++ библиотека Boost[2]

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ Trefethen, Ллойд (2013). Теория приближений и практика приближений.
  2. ^ Томпсон, Ник; Мэддок, Джон. «Многочлены Чебышева». boost.org.