WikiDer > Билинейное преобразование

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Билинейное преобразование» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Июнь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В билинейное преобразование (также известен как Тастинметод) используется в цифровая обработка сигналов и дискретное время теория управления для преобразования системного представления с непрерывным временем в дискретное время и наоборот.

Билинейное преобразование - это частный случай конформное отображение (а именно Преобразование Мёбиуса), часто используемый для преобразования функция передачи ${displaystyle H_ {a} (s)}$ из линейный, неизменный во времени (LTI) фильтр в непрерывный-time домен (часто называемый аналоговый фильтр) к передаточной функции ${displaystyle H_ {d} (z)}$ линейного, инвариантного к сдвигу фильтра в дискретный-time домен (часто называемый цифровой фильтр хотя есть аналоговые фильтры, построенные с переключаемые конденсаторы которые являются фильтрами с дискретным временем). Он отображает позиции на ${displaystyle jomega}$ ось, ${displaystyle Re [s] = 0}$, в s-plane к единичный круг, ${displaystyle | z | = 1}$, в z-плоскость. Другие билинейные преобразования могут использоваться для деформации частотный отклик любой линейной системы с дискретным временем (например, для аппроксимации нелинейного частотного разрешения слуховой системы человека) и могут быть реализованы в дискретной области путем замены единичных задержек системы ${displaystyle left (z ^ {- 1} ight)}$ с первым порядком всепроходные фильтры.

Преобразование сохраняет стабильность и отображает каждую точку частотный отклик непрерывного фильтра, ${displaystyle H_ {a} (jomega _ {a})}$ в соответствующую точку на частотной характеристике фильтра дискретного времени, ${displaystyle H_ {d} (e ^ {jomega _ {d} T})}$ хотя на несколько иную частоту, как показано на Искажение частоты раздел ниже. Это означает, что для каждой особенности, которую можно увидеть в частотной характеристике аналогового фильтра, существует соответствующая функция с одинаковым усилением и фазовым сдвигом в частотной характеристике цифрового фильтра, но, возможно, на несколько другой частоте. Это едва заметно на низких частотах, но хорошо заметно на частотах, близких к Частота Найквиста.

Дискретное приближение времени

Билинейное преобразование - это приближение первого порядка функции натурального логарифма, которое является точным отображением z-самолет в s-самолет. Когда Преобразование Лапласа выполняется по сигналу с дискретным временем (с каждым элементом последовательности с дискретным временем, присоединенным к соответственно задержанному единичный импульс) результатом будет именно Z преобразование дискретной временной последовательности с заменой

${displaystyle {egin {align} z & = e ^ {sT} & = {frac {e ^ {sT / 2}} {e ^ {- sT / 2}}} & приблизительно {frac {1 + sT / 2} {1-sT / 2}} конец {выровнено}}}$

куда ${displaystyle T}$ это численное интегрирование размер шага трапеция используется при выводе билинейного преобразования;^[1] или, другими словами, период выборки. Вышеупомянутое билинейное приближение может быть решено для ${displaystyle s}$ или аналогичное приближение для ${displaystyle s = (1 / T) ln (z)}$ может быть выполнено.

Обратное к этому отображению (и его билинейному первому порядку приближение) является

${displaystyle {egin {выравнивается} s & = {frac {1} {T}} ln (z) & = {frac {2} {T}} left [{frac {z-1} {z + 1}} + {frac {1} {3}} left ({frac {z-1} {z + 1}} ight) ^ {3} + {frac {1} {5}} left ({frac {z-1} { z + 1}} ight) ^ {5} + {frac {1} {7}} left ({frac {z-1} {z + 1}} ight) ^ {7} + cdots ight] & приблизительно {frac {2} {T}} {frac {z-1} {z + 1}} & = {frac {2} {T}} {frac {1-z ^ {- 1}} {1 + z ^ { -1}}} конец {выровнен}}}$

Билинейное преобразование по существу использует это приближение первого порядка и заменяет передаточную функцию непрерывного времени, ${displaystyle H_ {a} (s)}$

${displaystyle sleftarrow {frac {2} {T}} {frac {z-1} {z + 1}}.}$

То есть

${displaystyle H_ {d} (z) = H_ {a} (s) {igg |} _ {s = {frac {2} {T}} {frac {z-1} {z + 1}}} = H_ {a} left ({frac {2} {T}} {frac {z-1} {z + 1}} ight). }$

Сохраняются стабильность и свойство минимальной фазы

Причинный фильтр непрерывного времени стабильный если полюса передаточной функции попадают в левую половину сложный s-plane. Причинный фильтр с дискретным временем устойчив, если полюса его передаточной функции попадают внутрь единичный круг в комплексная z-плоскость. Билинейное преобразование отображает левую половину комплексной s-плоскости во внутреннюю часть единичной окружности в z-плоскости. Таким образом, фильтры, разработанные в области непрерывного времени, которые являются стабильными, преобразуются в фильтры в области дискретного времени, которые сохраняют эту стабильность.

Аналогично, фильтр непрерывного времени минимальная фаза если нули его передаточной функции попадают в левую половину комплексной s-плоскости. Фильтр с дискретным временем является минимально-фазовым, если нули его передаточной функции попадают внутрь единичной окружности в комплексной z-плоскости. Затем то же свойство отображения гарантирует, что фильтры непрерывного времени с минимальной фазой преобразуются в фильтры с дискретным временем, которые сохраняют это свойство минимальной фазы.

Общее преобразование БИХ-фильтра с непрерывным временем

Рассмотрим БИХ-фильтр с непрерывным временем порядка ${displaystyle N}$

${displaystyle H_ {a} (s) = kprod _ {i = 1} ^ {N} {frac {s-xi _ {i}} {s-p_ {i}}},}$

куда ${displaystyle p_ {i}}$ и ${displaystyle xi _ {i}}$ - полюсы и нули передаточной функции в s-плоскости. ${displaystyle K = 2 / T}$ (или при использовании искажения частоты, как описано ниже, позвольте ${displaystyle K = omega _ {0} / an (omega _ {0} T / 2)}$).

Билинейное преобразование фильтра получается заменой ${displaystyle s = K (z-1) / (z + 1)}$:

${Displaystyle {egin {выровнено} H_ {d} (z) & = H_ {a} {igl (} K {frac {z-1} {z + 1}} {igr)} & = kprod _ {i = 1} ^ {N} {frac {K {frac {z-1} {z + 1}} - xi _ {i}} {K {frac {z-1} {z + 1}} - p_ {i} }} & = kprod _ {i = 1} ^ {N} {frac {K-xi _ {i}} {K-p_ {i}}} cdot {frac {z- {frac {K + xi _ { i}} {K-xi _ {i}}}} {z- {frac {K + p_ {i}} {K-p_ {i}}}}} & = H_ {a} (K) prod _ {i = 1} ^ {N} {frac {z-xi _ {i} ^ {d}} {z-p_ {i} ^ {d}}}, конец {выровнен}}}$

куда ${displaystyle p_ {i} ^ {d}}$, ${displaystyle xi _ {i} ^ {d}}$ являются полюсом z-плоскости и нулевыми точками дискретизированного фильтра,

${displaystyle p_ {i} ^ {d} = {frac {K + p_ {i}} {K-p_ {i}}}, quad xi _ {i} ^ {d} = {frac {K + xi _ { i}} {K-xi _ {i}}}.}$

Пример

В качестве примера возьмем простой НЧ RC фильтр. Этот фильтр непрерывного времени имеет передаточную функцию

${displaystyle {egin {align} H_ {a} (s) & = {frac {1 / sC} {R + 1 / sC}} & = {frac {1} {1 + RCs}}. конец {выровнено} }}$

Если мы хотим реализовать этот фильтр как цифровой фильтр, мы можем применить билинейное преобразование, заменив ${displaystyle s}$ формула выше; после некоторой доработки мы получаем следующее представление фильтра:

${displaystyle H_ {d} (z)}$	${displaystyle = H_ {a} left ({frac {2} {T}} {frac {z-1} {z + 1}} ight)}$
	${displaystyle = {frac {1} {1 + RCleft ({frac {2} {T}} {frac {z-1} {z + 1}} ight)}}}$
	${displaystyle = {frac {1 + z} {(1-2RC / T) + (1 + 2RC / T) z}}}$
	${displaystyle = {frac {1 + z ^ {- 1}} {(1 + 2RC / T) + (1-2RC / T) z ^ {- 1}}}. }$

Коэффициенты знаменателя - это коэффициенты обратной связи, а коэффициенты числителя - коэффициенты прямой связи, используемые для реализации в реальном времени. цифровой фильтр.

Преобразование непрерывного фильтра первого порядка

Можно связать коэффициенты аналогового фильтра с непрерывным временем с коэффициентами аналогичного цифрового фильтра с дискретным временем, созданного в процессе билинейного преобразования. Преобразование общего непрерывного фильтра первого порядка с заданной передаточной функцией

${displaystyle H_ {a} (s) = {frac {b_ {0} s + b_ {1}} {a_ {0} s + a_ {1}}} = {frac {b_ {0} + b_ {1}) s ^ {- 1}} {a_ {0} + a_ {1} s ^ {- 1}}}}$

использование билинейного преобразования (без предварительного искажения спецификации частоты) требует замены

${displaystyle sleftarrow K {гидроразрыв {1-z ^ {- 1}} {1 + z ^ {- 1}}}}$

куда

${displaystyle K riangleq {frac {2} {T}}}$.

Однако, если компенсация искажения частоты, как описано ниже, используется в билинейном преобразовании, так что усиление и фаза аналогового и цифрового фильтра совпадают на частоте ${displaystyle omega _ {0}}$, тогда

${displaystyle K riangleq {frac {omega _ {0}} {левый ({frac {omega _ {0} T} {2}} ight)}}}$.

В результате получается цифровой фильтр с дискретным временем, коэффициенты которого выражаются через коэффициенты исходного фильтра с непрерывным временем:

${displaystyle H_ {d} (z) = {frac {(b_ {0} K + b_ {1}) + (- b_ {0} K + b_ {1}) z ^ {- 1}} {(a_ { 0} K + a_ {1}) + (- a_ {0} K + a_ {1}) z ^ {- 1}}}}$

Обычно постоянный член в знаменателе должен быть нормализован до 1 до получения соответствующего разностное уравнение. Это приводит к

${displaystyle H_ {d} (z) = {frac {{frac {b_ {0} K + b_ {1}} {a_ {0} K + a_ {1}}} + {frac {-b_ {0} K) + b_ {1}} {a_ {0} K + a_ {1}}} z ^ {- 1}} {1+ {frac {-a_ {0} K + a_ {1}} {a_ {0} K + a_ {1}}} z ^ {- 1}}}.}$

Разностное уравнение (с использованием Прямая форма I) является

${displaystyle y [n] = {frac {b_ {0} K + b_ {1}} {a_ {0} K + a_ {1}}} cdot x [n] + {frac {-b_ {0} K +) b_ {1}} {a_ {0} K + a_ {1}}} cdot x [n-1] - {frac {-a_ {0} K + a_ {1}} {a_ {0} K + a_ { 1}}} cdot y [n-1].}$

Преобразование биквада второго порядка.

Аналогичный процесс можно использовать для общего фильтра второго порядка с заданной передаточной функцией

${displaystyle H_ {a} (s) = {frac {b_ {0} s ^ {2} + b_ {1} s + b_ {2}} {a_ {0} s ^ {2} + a_ {1} s + a_ {2}}} = {frac {b_ {0} + b_ {1} s ^ {- 1} + b_ {2} s ^ {- 2}} {a_ {0} + a_ {1} s ^ {-1} + a_ {2} s ^ {- 2}}}.}$

Это приводит к дискретному времени цифровой биквадратный фильтр с коэффициентами, выраженными через коэффициенты исходного фильтра непрерывного времени:

${displaystyle H_ {d} (z) = {frac {(b_ {0} K ^ {2} + b_ {1} K + b_ {2}) + (2b_ {2} -2b_ {0} K ^ {2 }) z ^ {- 1} + (b_ {0} K ^ {2} -b_ {1} K + b_ {2}) z ^ {- 2}} {(a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ {2}) + (2a_ {2} -2a_ {0} K ^ {2}) z ^ {- 1} + (a_ {0} K ^ {2} -a_ {1} K + a_ {2}) z ^ {- 2}}}}$

Опять же, постоянный член в знаменателе обычно нормализуется до 1 перед получением соответствующего разностное уравнение. Это приводит к

${displaystyle H_ {d} (z) = {frac {{frac {b_ {0} K ^ {2} + b_ {1} K + b_ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ { 1} K + a_ {2}}} + {frac {2b_ {2} -2b_ {0} K ^ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ {2} }} z ^ {- 1} + {frac {b_ {0} K ^ {2} -b_ {1} K + b_ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ {2}}} z ^ {- 2}} {1+ {frac {2a_ {2} -2a_ {0} K ^ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ {2}}} z ^ {- 1} + {frac {a_ {0} K ^ {2} -a_ {1} K + a_ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ {2}}} z ^ {- 2}}}.}$

Разностное уравнение (с использованием Прямая форма I) является

${displaystyle y [n] = {гидроразрыв {b_ {0} K ^ {2} + b_ {1} K + b_ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ { 2}}} cdot x [n] + {frac {2b_ {2} -2b_ {0} K ^ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ {2}} } cdot x [n-1] + {frac {b_ {0} K ^ {2} -b_ {1} K + b_ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ {2}}} cdot x [n-2] - {frac {2a_ {2} -2a_ {0} K ^ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ {1} K + a_ {2}}} cdot y [n-1] - {frac {a_ {0} K ^ {2} -a_ {1} K + a_ {2}} {a_ {0} K ^ {2} + a_ { 1} K + a_ {2}}} cdot y [n-2].}$

Искажение частоты

Чтобы определить частотную характеристику фильтра непрерывного времени, функция передачи ${displaystyle H_ {a} (s)}$ оценивается в ${displaystyle s = jomega _ {a}}$ который находится на ${displaystyle jomega}$ ось. Аналогичным образом, чтобы определить частотную характеристику дискретного фильтра, передаточная функция ${displaystyle H_ {d} (z)}$ оценивается в ${displaystyle z = e ^ {jomega _ {d} T}}$ который находится на единичной окружности, ${displaystyle | z | = 1}$. Билинейное преобразование отображает ${displaystyle jomega}$ ось s-плоскость (из которых область ${displaystyle H_ {a} (s)}$) к единичной окружности z-самолет, ${displaystyle | z | = 1}$ (что является областью ${displaystyle H_ {d} (z)}$), но это нет такое же отображение ${displaystyle z = e ^ {sT}}$ который также отображает ${displaystyle jomega}$ ось к единичной окружности. Когда фактическая частота ${displaystyle omega _ {d}}$ вводится в фильтр дискретного времени, разработанный с использованием билинейного преобразования, тогда желательно знать, на какой частоте ${displaystyle omega _ {a}}$, для фильтра с непрерывным временем, что это ${displaystyle omega _ {d}}$ сопоставлен.

${displaystyle H_ {d} (z) = H_ {a} left ({frac {2} {T}} {frac {z-1} {z + 1}} ight)}$

${displaystyle H_ {d} (e ^ {jomega _ {d} T})}$	${displaystyle = H_ {a} left ({frac {2} {T}} {frac {e ^ {jomega _ {d} T} -1} {e ^ {jomega _ {d} T} +1}} ight )}$
	${displaystyle = H_ {a} left ({frac {2} {T}} cdot {frac {e ^ {jomega _ {d} T / 2} left) (e ^ {jomega _ {d} T / 2} -e ^ {- jomega _ {d} T / 2} ight)} {e ^ {jomega _ {d} T / 2} left (e ^ {jomega _ {d} T / 2} + e ^ {- jomega _ { d} T / 2} ight)}} ight)}$
	${displaystyle = H_ {a} left ({frac {2} {T}} cdot {frac {left (e ^ {jomega _ {d} T / 2} -e ^ {- jomega _ {d} T / 2}) ight)} {left (e ^ {jomega _ {d} T / 2} + e ^ {- jomega _ {d} T / 2} ight)}} ight)}$
	${displaystyle = H_ {a} left (j {frac {2} {T}} cdot {frac {left (e ^ {jomega _ {d} T / 2} -e ^ {- jomega _ {d} T / 2) } ight) / (2j)} {left (e ^ {jomega _ {d} T / 2} + e ^ {- jomega _ {d} T / 2} ight) / 2}} ight)}$
	${displaystyle = H_ {a} left (j {frac {2} {T}} cdot {frac {sin (omega _ {d} T / 2)} {cos (omega _ {d} T / 2)}} ight )}$
	${displaystyle = H_ {a} left (j {frac {2} {T}} cdot an left (omega _ {d} T / 2ight) ight)}$

Это показывает, что каждая точка на единичной окружности в z-плоскости фильтра дискретного времени, ${displaystyle z = e ^ {jomega _ {d} T}}$ сопоставляется с точкой на ${displaystyle jomega}$ ось на s-плоскости фильтра непрерывного времени, ${displaystyle s = jomega _ {a}}$. То есть преобразование частоты дискретного времени в непрерывное время билинейного преобразования равно

${displaystyle omega _ {a} = {frac {2} {T}} левый (omega _ {d} {frac {T} {2}} ight)}$

и обратное отображение

${displaystyle omega _ {d} = {frac {2} {T}} arctan left (omega _ {a} {frac {T} {2}} ight).}$

Фильтр дискретного времени работает на частоте ${displaystyle omega _ {d}}$ так же, как фильтр непрерывного времени ведет себя на частоте ${displaystyle (2 / T) an (omega _ {d} T / 2)}$. В частности, коэффициент усиления и фазовый сдвиг, которые имеет фильтр дискретного времени на частоте ${displaystyle omega _ {d}}$ такое же усиление и фазовый сдвиг, что и у фильтра непрерывного времени на частоте ${displaystyle (2 / T) an (omega _ {d} T / 2)}$. Это означает, что каждая особенность, каждая «выпуклость», которая видна в частотной характеристике фильтра непрерывного времени, также видна в фильтре дискретного времени, но с другой частотой. Для низких частот (то есть когда ${displaystyle omega _ {d} ll 2 / T}$ или же ${displaystyle omega _ {a} ll 2 / T}$), то объекты отображаются в немного разная частота; ${displaystyle omega _ {d} около omega _ {a}}$.

Видно, что весь непрерывный частотный диапазон

${displaystyle -infty$

отображается на основной частотный интервал

${displaystyle - {frac {pi} {T}}$

Частота непрерывного фильтра ${displaystyle omega _ {a} = 0}$ соответствует частоте дискретного времени фильтра ${displaystyle omega _ {d} = 0}$ и частота фильтра непрерывного времени ${displaystyle omega _ {a} = pm infty}$ соответствуют частоте дискретного времени фильтра ${displaystyle omega _ {d} = pm pi / T.}$

Также видно, что существует нелинейная связь между ${displaystyle omega _ {a}}$ и ${displaystyle omega _ {d}.}$ Этот эффект билинейного преобразования называется искажение частоты. Фильтр непрерывного времени может быть разработан для компенсации этого искажения частоты путем установки ${displaystyle omega _ {a} = {frac {2} {T}} левое (omega _ {d} {frac {T} {2}} ight)}$ для каждой частотной спецификации, которую контролирует разработчик (например, угловой частоты или центральной частоты). Это называется предварительная деформация конструкция фильтра.

Однако можно компенсировать искажение частоты путем предварительного преобразования спецификации частоты. ${displaystyle omega _ {0}}$ (обычно резонансная частота или частота наиболее важной характеристики частотной характеристики) системы непрерывного времени. Эти предварительно деформированные спецификации могут затем использоваться в билинейном преобразовании для получения желаемой системы с дискретным временем. При проектировании цифрового фильтра как приближения фильтра непрерывного времени, частотная характеристика (как амплитуда, так и фаза) цифрового фильтра может быть сделана в соответствии с частотной характеристикой непрерывного фильтра на заданной частоте. ${displaystyle omega _ {0}}$, а также согласование на DC, если следующее преобразование подставляется в передаточную функцию непрерывного фильтра.^[2] Это модифицированная версия преобразования Тастина, показанного выше.

${displaystyle sleftarrow {frac {omega _ {0}} {левый ({frac {omega _ {0} T} {2}} ight)}} {frac {z-1} {z + 1}}.}$

Однако обратите внимание, что это преобразование становится исходным преобразованием

${displaystyle sleftarrow {frac {2} {T}} {frac {z-1} {z + 1}}}$

в качестве ${displaystyle omega _ {0} o 0}$.

Основным преимуществом явления перекоса является отсутствие искажения частотной характеристики наложения спектров, которое наблюдается при Импульсная инвариантность.

Смотрите также

• Импульсная инвариантность
• Метод согласованного Z-преобразования

Рекомендации

внешняя ссылка

• Обработка сигналов MIT OpenCourseWare: проектирование непрерывных и дискретных фильтров
• Конспект лекций по дискретным эквивалентам
• Искусство дизайна фильтров VA