WikiDer > Билинейное преобразование

Bilinear transform

В билинейное преобразование (также известен как Тастинметод) используется в цифровая обработка сигналов и дискретное время теория управления для преобразования системного представления с непрерывным временем в дискретное время и наоборот.

Билинейное преобразование - это частный случай конформное отображение (а именно Преобразование Мёбиуса), часто используемый для преобразования функция передачи из линейный, неизменный во времени (LTI) фильтр в непрерывный-time домен (часто называемый аналоговый фильтр) к передаточной функции линейного, инвариантного к сдвигу фильтра в дискретный-time домен (часто называемый цифровой фильтр хотя есть аналоговые фильтры, построенные с переключаемые конденсаторы которые являются фильтрами с дискретным временем). Он отображает позиции на ось, , в s-plane к единичный круг, , в z-плоскость. Другие билинейные преобразования могут использоваться для деформации частотный отклик любой линейной системы с дискретным временем (например, для аппроксимации нелинейного частотного разрешения слуховой системы человека) и могут быть реализованы в дискретной области путем замены единичных задержек системы с первым порядком всепроходные фильтры.

Преобразование сохраняет стабильность и отображает каждую точку частотный отклик непрерывного фильтра, в соответствующую точку на частотной характеристике фильтра дискретного времени, хотя на несколько иную частоту, как показано на Искажение частоты раздел ниже. Это означает, что для каждой особенности, которую можно увидеть в частотной характеристике аналогового фильтра, существует соответствующая функция с одинаковым усилением и фазовым сдвигом в частотной характеристике цифрового фильтра, но, возможно, на несколько другой частоте. Это едва заметно на низких частотах, но хорошо заметно на частотах, близких к Частота Найквиста.

Дискретное приближение времени

Билинейное преобразование - это приближение первого порядка функции натурального логарифма, которое является точным отображением z-самолет в s-самолет. Когда Преобразование Лапласа выполняется по сигналу с дискретным временем (с каждым элементом последовательности с дискретным временем, присоединенным к соответственно задержанному единичный импульс) результатом будет именно Z преобразование дискретной временной последовательности с заменой

куда это численное интегрирование размер шага трапеция используется при выводе билинейного преобразования;[1] или, другими словами, период выборки. Вышеупомянутое билинейное приближение может быть решено для или аналогичное приближение для может быть выполнено.

Обратное к этому отображению (и его билинейному первому порядку приближение) является

Билинейное преобразование по существу использует это приближение первого порядка и заменяет передаточную функцию непрерывного времени,

То есть

Сохраняются стабильность и свойство минимальной фазы

Причинный фильтр непрерывного времени стабильный если полюса передаточной функции попадают в левую половину сложный s-plane. Причинный фильтр с дискретным временем устойчив, если полюса его передаточной функции попадают внутрь единичный круг в комплексная z-плоскость. Билинейное преобразование отображает левую половину комплексной s-плоскости во внутреннюю часть единичной окружности в z-плоскости. Таким образом, фильтры, разработанные в области непрерывного времени, которые являются стабильными, преобразуются в фильтры в области дискретного времени, которые сохраняют эту стабильность.

Аналогично, фильтр непрерывного времени минимальная фаза если нули его передаточной функции попадают в левую половину комплексной s-плоскости. Фильтр с дискретным временем является минимально-фазовым, если нули его передаточной функции попадают внутрь единичной окружности в комплексной z-плоскости. Затем то же свойство отображения гарантирует, что фильтры непрерывного времени с минимальной фазой преобразуются в фильтры с дискретным временем, которые сохраняют это свойство минимальной фазы.


Общее преобразование БИХ-фильтра с непрерывным временем

Рассмотрим БИХ-фильтр с непрерывным временем порядка

куда и - полюсы и нули передаточной функции в s-плоскости. (или при использовании искажения частоты, как описано ниже, позвольте ).

Билинейное преобразование фильтра получается заменой :

куда , являются полюсом z-плоскости и нулевыми точками дискретизированного фильтра,


Пример

В качестве примера возьмем простой НЧ RC фильтр. Этот фильтр непрерывного времени имеет передаточную функцию

Если мы хотим реализовать этот фильтр как цифровой фильтр, мы можем применить билинейное преобразование, заменив формула выше; после некоторой доработки мы получаем следующее представление фильтра:

Коэффициенты знаменателя - это коэффициенты обратной связи, а коэффициенты числителя - коэффициенты прямой связи, используемые для реализации в реальном времени. цифровой фильтр.


Преобразование непрерывного фильтра первого порядка

Можно связать коэффициенты аналогового фильтра с непрерывным временем с коэффициентами аналогичного цифрового фильтра с дискретным временем, созданного в процессе билинейного преобразования. Преобразование общего непрерывного фильтра первого порядка с заданной передаточной функцией

использование билинейного преобразования (без предварительного искажения спецификации частоты) требует замены

куда

.

Однако, если компенсация искажения частоты, как описано ниже, используется в билинейном преобразовании, так что усиление и фаза аналогового и цифрового фильтра совпадают на частоте , тогда

.

В результате получается цифровой фильтр с дискретным временем, коэффициенты которого выражаются через коэффициенты исходного фильтра с непрерывным временем:

Обычно постоянный член в знаменателе должен быть нормализован до 1 до получения соответствующего разностное уравнение. Это приводит к

Разностное уравнение (с использованием Прямая форма I) является

Преобразование биквада второго порядка.

Аналогичный процесс можно использовать для общего фильтра второго порядка с заданной передаточной функцией

Это приводит к дискретному времени цифровой биквадратный фильтр с коэффициентами, выраженными через коэффициенты исходного фильтра непрерывного времени:

Опять же, постоянный член в знаменателе обычно нормализуется до 1 перед получением соответствующего разностное уравнение. Это приводит к

Разностное уравнение (с использованием Прямая форма I) является

Искажение частоты

Чтобы определить частотную характеристику фильтра непрерывного времени, функция передачи оценивается в который находится на ось. Аналогичным образом, чтобы определить частотную характеристику дискретного фильтра, передаточная функция оценивается в который находится на единичной окружности, . Билинейное преобразование отображает ось s-плоскость (из которых область ) к единичной окружности z-самолет, (что является областью ), но это нет такое же отображение который также отображает ось к единичной окружности. Когда фактическая частота вводится в фильтр дискретного времени, разработанный с использованием билинейного преобразования, тогда желательно знать, на какой частоте , для фильтра с непрерывным временем, что это сопоставлен.

Это показывает, что каждая точка на единичной окружности в z-плоскости фильтра дискретного времени, сопоставляется с точкой на ось на s-плоскости фильтра непрерывного времени, . То есть преобразование частоты дискретного времени в непрерывное время билинейного преобразования равно

и обратное отображение

Фильтр дискретного времени работает на частоте так же, как фильтр непрерывного времени ведет себя на частоте . В частности, коэффициент усиления и фазовый сдвиг, которые имеет фильтр дискретного времени на частоте такое же усиление и фазовый сдвиг, что и у фильтра непрерывного времени на частоте . Это означает, что каждая особенность, каждая «выпуклость», которая видна в частотной характеристике фильтра непрерывного времени, также видна в фильтре дискретного времени, но с другой частотой. Для низких частот (то есть когда или же ), то объекты отображаются в немного разная частота; .

Видно, что весь непрерывный частотный диапазон

отображается на основной частотный интервал

Частота непрерывного фильтра соответствует частоте дискретного времени фильтра и частота фильтра непрерывного времени соответствуют частоте дискретного времени фильтра

Также видно, что существует нелинейная связь между и Этот эффект билинейного преобразования называется искажение частоты. Фильтр непрерывного времени может быть разработан для компенсации этого искажения частоты путем установки для каждой частотной спецификации, которую контролирует разработчик (например, угловой частоты или центральной частоты). Это называется предварительная деформация конструкция фильтра.

Однако можно компенсировать искажение частоты путем предварительного преобразования спецификации частоты. (обычно резонансная частота или частота наиболее важной характеристики частотной характеристики) системы непрерывного времени. Эти предварительно деформированные спецификации могут затем использоваться в билинейном преобразовании для получения желаемой системы с дискретным временем. При проектировании цифрового фильтра как приближения фильтра непрерывного времени, частотная характеристика (как амплитуда, так и фаза) цифрового фильтра может быть сделана в соответствии с частотной характеристикой непрерывного фильтра на заданной частоте. , а также согласование на DC, если следующее преобразование подставляется в передаточную функцию непрерывного фильтра.[2] Это модифицированная версия преобразования Тастина, показанного выше.

Однако обратите внимание, что это преобразование становится исходным преобразованием

в качестве .

Основным преимуществом явления перекоса является отсутствие искажения частотной характеристики наложения спектров, которое наблюдается при Импульсная инвариантность.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Оппенгейм, Алан (2010). Обработка сигналов в дискретном времени Третье издание. Аппер-Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Pearson Higher Education, Inc. стр. 504. ISBN 978-0-13-198842-2.
  2. ^ Астром, Карл Дж. (1990). Системы с компьютерным управлением, теория и дизайн (Второе изд.). Прентис-Холл. п. 212. ISBN 0-13-168600-3.

внешняя ссылка