WikiDer > Фазовая плоскость

Phase plane

В Прикладная математика, в частности в контексте нелинейный системный анализ, а фазовая плоскость является визуальным отображением определенных характеристик определенных видов дифференциальные уравнения; координатная плоскость с осями, являющимися значениями двух переменных состояния, скажем (Икс, у), или же (q, п) и т. д. (любая пара переменных). Это двумерный случай генерала п-размерный фазовое пространство.

В метод фазовой плоскости относится к графическому определению существования предельные циклы в решениях дифференциального уравнения.

Решения дифференциального уравнения представляют собой семейство функции. Графически это можно изобразить на фазовой плоскости как двумерный векторное поле. Векторы, представляющие производные точек относительно параметра (скажем, времени т), то есть (dx/dt, dy/dt), в репрезентативных точках. При наличии достаточного количества этих стрелок поведение системы в анализируемых областях может быть визуализировано и предельные циклы можно легко идентифицировать.

Все поле - это фазовый портрет, конкретный путь, взятый вдоль линии потока (т. е. путь, всегда касающийся векторов), является фазовый путь. Потоки в векторном поле указывают на временную эволюцию системы, описываемой дифференциальным уравнением.

Таким образом, фазовые плоскости полезны для визуализации поведения физические системы; в частности, колебательных систем типа модели хищник-жертва (видеть Уравнения Лотки – Вольтерра). В этих моделях фазовые траектории могут «закручиваться» по направлению к нулю, «по спирали» к бесконечности или достигать нейтрально устойчивых ситуаций, называемых центрами, где траектория может быть либо круговой, эллиптической, либо овальной, либо каким-либо его вариантом. Это полезно для определения того, стабильна динамика или нет.[1]

Другими примерами колебательных систем являются определенные химические реакции с несколькими стадиями, некоторые из которых включают динамическое равновесие, а не реакции, которые идут до завершения. В таких случаях можно смоделировать рост и падение концентрации реагента и продукта (или массы, или количества вещества) с помощью правильных дифференциальных уравнений и хорошего понимания химическая кинетика.[2]

Пример линейной системы

Двумерная система линейные дифференциальные уравнения можно записать в виде:[1]

который можно организовать в матрица уравнение:

куда А это 2 × 2 матрица коэффициентов выше, и Икс = (Икс, у) это вектор координат из двух независимые переменные.

Такие системы могут быть решены аналитически, в этом случае путем интегрирования:[3]

хотя решения неявные функции в Икс и у, и их трудно интерпретировать.[1]

Решение с использованием собственных значений

Чаще они решаются с помощью коэффициентов правой части, записанных в матричной форме с использованием собственные значения λ, задаваемое детерминант:

и собственные векторы:

Собственные значения представляют собой степени экспоненциальных компонентов, а собственные векторы являются коэффициентами. Если решения записаны в алгебраической форме, они выражают основной мультипликативный множитель экспоненциального члена. Из-за неединственности собственных векторов каждое полученное таким образом решение имеет неопределенные константы c1, c2, ... cп.

Общее решение:

где λ1 и λ2 - собственные значения, а (k1, k2), (k3, k4) - основные собственные векторы. Константы c1 и c2 учитывают неединственность собственных векторов и не разрешимы, если для системы не задано начальное условие.

Указанный выше определитель приводит к характеристический многочлен:

что просто квадратное уровненеие формы:

куда;

(«тр» означает след) и

Явное решение собственных значений тогда дается квадратичная формула:

куда

Собственные векторы и узлы

Собственные векторы и узлы определяют профиль фазовых путей, обеспечивая наглядную интерпретацию решения динамической системы, как показано ниже.

Классификация точек равновесия линейный автономная система.[1] Эти профили возникают и для нелинейных автономных систем в линеаризованных приближениях.

Затем сначала настраивается фазовая плоскость путем рисования прямых линий, представляющих два собственных вектора (которые представляют устойчивые ситуации, когда система либо сходится к этим линиям, либо расходится от них). Затем фазовая плоскость строится с использованием сплошных линий вместо штрихов поля направлений. Знаки собственных значений указывают на поведение фазовой плоскости:

  • Если знаки противоположные, то пересечение собственных векторов есть точка перевала.
  • Если оба знака положительные, собственные векторы представляют устойчивые ситуации, от которых система расходится, и пересечение является неустойчивый узел.
  • Если оба знака отрицательны, собственные векторы представляют устойчивые ситуации, к которым система сходится, и пересечение является стабильный узел.

Сказанное выше можно визуализировать, вспомнив поведение экспоненциальных членов в решениях дифференциальных уравнений.

Повторяющиеся собственные значения

В этом примере рассматривается только случай реальных отдельных собственных значений. Действительные повторяющиеся собственные значения требуют решения матрицы коэффициентов с неизвестным вектором и первым собственным вектором для генерации второго решения системы два на два. Однако, если матрица симметрична, можно использовать ортогональный собственный вектор для генерации второго решения.

Комплексные собственные значения

Комплексные собственные значения и собственные векторы порождают решения в виде синусы и косинусы а также экспоненты. Одна из простостей этой ситуации заключается в том, что для генерации полного набора решений для системы необходимы только одно из собственных значений и один из собственных векторов.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c d Д.В. Иордания; П. Смит (2007). Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения: введение для ученых и инженеров (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-920825-8.
  2. ^ К.Т. Аллигуд; Т.Д. Зауэр; J.A. Йорк (1996). Хаос: введение в динамические системы. Springer. ISBN 978-0-38794-677-1.
  3. ^ МЫ. Бойс; R.C. Диприма (1986). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи. (4-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-83824-1.

внешняя ссылка