WikiDer > Теорема Понселе – Штейнера

Poncelet–Steiner theorem
Чтобы провести параллель (h) диаметру g через любую заданную точку P. Выберите вспомогательную точку C в любом месте на прямой, проходящей через B и P, за пределами BP. (Штайнер)

В Евклидова геометрия, то Теорема Понселе – Штейнера это один из нескольких результатов, касающихся компас и линейка конструкции с дополнительными ограничениями. Этот результат утверждает, что все, что может быть построено прямой край и компас вместе могут быть построены только линейкой при условии, что один круг и его центр даны.

История

В X веке персидский математик Абу аль-Вафа Бузджани (940−998) рассматривали геометрические построения с помощью линейки и циркуля с фиксированным отверстием, так называемого ржавый компас. Конструкции этого типа имели практическое значение, поскольку использовались художниками. Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер в Европе в конце пятнадцатого века. Новая точка зрения возникла в середине шестнадцатого века, когда размер проема считался фиксированным, но произвольным, и вопрос о том, сколько построек Евклида можно было получить, был первостепенным.[1]

эпоха Возрождения математик Лодовико Феррари, студент Джероламо Кардано в "математическом испытании" против Никколо Фонтана Тарталья смог показать, что «весь Евклид» (то есть конструкции линейки и компаса в первых шести книгах Элементы Евклида) можно было сделать с помощью линейки и ржавого компаса. В течение десяти лет дополнительные наборы решений были получены Кардано, Тарталья и учеником Тартальи Бенедетти. В течение следующего столетия об этих решениях обычно забывали, пока в 1673 г. Георг Мор опубликовано (анонимно и на голландском языке) Евклид Куриози содержащие его собственные решения. Мор только слышал о существовании более ранних результатов, и это побудило его работать над проблемой.[2]

Демонстрация того, что «весь Евклид» может быть выполнен с помощью линейки и ржавого компаса, - не то же самое, что доказывать, что все Строить линейку и компас можно с помощью линейки и просто ржавого компаса. Такое доказательство потребует формализации того, что могут построить линейка и циркуль. Эту основу предоставили Жан Виктор Понселе в 1822 году. Он также предположил и предложил возможное доказательство того, что линейка и ржавый компас будут эквивалентны линейке и компасу, и, более того, ржавый компас нужно использовать только один раз. Результат, что линейка и одиночный круг с заданным центром эквивалентны линейке и циркулем, был доказан Якоб Штайнер в 1833 г.[3][1]

Другие виды ограниченного строительства

Теорема Понселе – Штейнера следует противопоставить Теорема Мора – Маскерони, в котором говорится, что любое построение компаса и линейки может быть выполнено только с помощью компаса.

Невозможно построить все, что можно построить с помощью линейки, и циркуль, используя только линейку. Если центр единственного данного круга не указан, его нельзя получить с помощью одной линейки. Многие конструкции невозможны только с помощью линейки. Требуется нечто большее, и достаточно круга с обозначенным центром.

Требование наличия одного круга с центром было с тех пор обобщено, чтобы включить альтернативные, но в равной степени ограничительные условия. В одном из таких вариантов весь круг не требуется вообще. В 1904 г. Франческо Севери Доказано, что достаточно любой маленькой дуги вместе с центром.[4]

В двух других вариантах, приписываемых Д. Кауэру,[согласно кому?] центр может быть полностью опущен при условии, что даны либо две концентрические окружности, либо две различных пересекающихся окружности, из которых есть два случая: две точки пересечения и одна точка пересечения (касательные окружности). Сам тангенциальный случай имеет два случая: конгруэнтные и неконгруэнтные окружности. На основе любого из этих сценариев можно построить центры, сведя сценарий к исходной гипотезе.

Существуют и другие варианты. Достаточно иметь две непересекающиеся окружности (без их центров), если указана точка центральной линии, две непересекающиеся окружности (без центров), если указана одна точка на радиальной оси, или просто иметь три непересекающихся окружности. .[5]

Заметки

  1. ^ а б Канун 1963 г., стр.205
  2. ^ Рец и Кейн 1989, стр.195
  3. ^ Якоб Штайнер (1833). Die geometrischen Konstructionen, ausgeführt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises, als Lehrgegenstand auf höheren Unterrichts-Anstalten und zur praktischen Benutzung (на немецком). Берлин: Фердинанд Дюмлер. Получено 2 апреля 2013.
  4. ^ Рец и Кейн 1989, п. 196
  5. ^ Математический мир Вольфрама

использованная литература

  • Евс, Ховард (1963), Обзор геометрии / Том первый, Аллин и Бэкон
  • Рец, Мерлин; Кейн, Мета Дарлин (1989), «Конструкции компаса и линейки», Исторические темы для математического класса, Национальный совет учителей математики (NCTM), стр. 192–196, ISBN 9780873532815

дальнейшее чтение

внешние ссылки