WikiDer > Распространение неопределенности

В статистика, распространение неопределенности (или же распространение ошибки) является эффектом переменные' неопределенности (или же ошибки, более конкретно случайные ошибки) от неопределенности функция на их основе. Когда переменные являются значениями экспериментальных измерений, они имеют неопределенности из-за ограничений измерения (например, инструмент точность), которые распространяются из-за комбинации переменных в функции.

Неопределенность ты можно выразить разными способами. абсолютная ошибка ΔИкс. Неопределенности также могут быть определены относительная ошибка (ΔИкс)/Икс, который обычно записывается в процентах. Чаще всего неопределенность величины количественно выражается с помощью стандартное отклонение, σ, который является положительным квадратным корнем из отклонение. Тогда значение количества и его ошибка выражаются в виде интервала Икс ± ты. Если статистический распределение вероятностей переменной известно или можно предположить, можно вывести пределы уверенности для описания области, в которой может быть найдено истинное значение переменной. Например, 68% доверительный интервал для одномерной переменной, принадлежащей нормальное распределение примерно ± одно стандартное отклонение σ от центрального значения Икс, что означает, что регион Икс ± σ покрывает истинную стоимость примерно в 68% случаев.

Если неопределенности коррелированный тогда ковариация необходимо учитывать. Корреляция может возникать из двух разных источников. Во-первых, погрешности измерения могут быть коррелированы. Во-вторых, когда базовые значения коррелируют по всей совокупности, неопределенности в средних по группе будут соотнесены.^[1]

Линейные комбинации

Позволять ${ displaystyle {f_ {k} (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n}) }}$ быть набором м функции, которые представляют собой линейные комбинации ${ displaystyle n}$ переменные ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n}}$ с комбинационными коэффициентами ${ Displaystyle A_ {k1}, A_ {k2}, dots, A_ {kn}, (k = 1, dots, m)}$:

${ displaystyle f_ {k} = sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {ki} x_ {i},}$

или в матричной записи,

${ displaystyle mathbf {f} = mathbf {Ax}.}$

Также позвольте матрица дисперсии-ковариации из Икс = (Икс₁, ..., Икс_п) обозначим через ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} ^ {x}}$:

${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} ^ {x} = { begin {pmatrix} sigma _ {1} ^ {2} & sigma _ {12} & sigma _ {13} & cdots sigma _ {12} & sigma _ {2} ^ {2} & sigma _ {23} & cdots sigma _ {13} & sigma _ {23} & sigma _ {3} ^ {2} & cdots vdots & vdots & vdots & ddots end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} { Sigma} _ {11} ^ {x} & { Sigma} _ {12} ^ {x} & { Sigma} _ {13} ^ {x} & cdots { Sigma} _ {12} ^ {x} & { Sigma} _ {22} ^ {x } & { Sigma} _ {23} ^ {x} & cdots { Sigma} _ {13} ^ {x} & { Sigma} _ {23} ^ {x} & { Sigma} _ {33} ^ {x} & cdots vdots & vdots & vdots & ddots end {pmatrix}}.}.$

Тогда матрица дисперсии-ковариации ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} ^ {f}}$ из ж дан кем-то

${ displaystyle Sigma _ {ij} ^ {f} = sum _ {k} ^ {n} sum _ {l} ^ {n} A_ {ik} { Sigma} _ {kl} ^ {x} A_ {jl},}$

или в матричной записи,

${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} ^ {f} = mathbf {A} { boldsymbol { Sigma}} ^ {x} mathbf {A} ^ { mathrm {T}}.}$

Это наиболее общее выражение для распространения ошибки от одного набора переменных к другому. Когда ошибки на Икс некоррелированы, общее выражение упрощается до

${ displaystyle Sigma _ {ij} ^ {f} = sum _ {k} ^ {n} A_ {ik} Sigma _ {k} ^ {x} A_ {jk},}$

куда ${ Displaystyle Sigma _ {k} ^ {x} = sigma _ {x_ {k}} ^ {2}}$ это дисперсия k-й элемент Икс vector. Обратите внимание, что даже если ошибки на Икс могут быть некоррелированными, ошибки на ж в целом коррелированы; другими словами, даже если ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} ^ {x}}$ - диагональная матрица, ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} ^ {f}}$ это вообще полная матрица.

Общие выражения для скалярной функции ж немного проще (здесь а вектор-строка):

${ displaystyle f = sum _ {i} ^ {n} a_ {i} x_ {i} = mathbf {ax},}$

${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} = sum _ {i} ^ {n} sum _ {j} ^ {n} a_ {i} Sigma _ {ij} ^ {x} a_ { j} = mathbf {a} { boldsymbol { Sigma}} ^ {x} mathbf {a} ^ { mathrm {T}}.}$

Каждый член ковариации ${ displaystyle sigma _ {ij}}$ можно выразить через коэффициент корреляции ${ displaystyle rho _ {ij}}$ к ${ displaystyle sigma _ {ij} = rho _ {ij} sigma _ {i} sigma _ {j}}$, так что альтернативное выражение для дисперсии ж является

${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} = sum _ {i} ^ {n} a_ {i} ^ {2} sigma _ {i} ^ {2} + sum _ {i} ^ {n} sum _ {j (j neq i)} ^ {n} a_ {i} a_ {j} rho _ {ij} sigma _ {i} sigma _ {j}.}$

В случае, если переменные в Икс некоррелированы, это упрощает дальнейшее

${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} = sum _ {i} ^ {n} a_ {i} ^ {2} sigma _ {i} ^ {2}.}$

В простейшем случае одинаковых коэффициентов и дисперсий находим

${ displaystyle sigma _ {f} = { sqrt {n}} , | a | sigma.}$

Нелинейные комбинации

Когда ж представляет собой набор нелинейных комбинаций переменных Икс, интервальное распространение может выполняться для вычисления интервалов, содержащих все согласованные значения переменных. В вероятностном подходе функция ж обычно необходимо линеаризовать приближением к первому порядку Серия Тейлор разложения, хотя в некоторых случаях могут быть получены точные формулы, которые не зависят от разложения, как в случае точной дисперсии продуктов.^[2] Расширение Тейлора будет:

${ displaystyle f_ {k} приблизительно f_ {k} ^ {0} + sum _ {i} ^ {n} { frac { partial f_ {k}} { partial {x_ {i}}}} x_ {i}}$

куда ${ displaystyle partial f_ {k} / partial x_ {i}}$ обозначает частная производная из ж_k с уважением к я-я переменная, вычисляемая по среднему значению всех компонентов вектора Икс. Или в матричная запись,

${ displaystyle mathrm {f} приблизительно mathrm {f} ^ {0} + mathrm {J} mathrm {x} ,}$

где J - Матрица якобиана. Поскольку f⁰ является константой, она не вносит вклад в ошибку f. Следовательно, распространение ошибки следует линейному случаю, описанному выше, но с заменой линейных коэффициентов, А_ки и А_кДж частными производными, ${ displaystyle { frac { partial f_ {k}} { partial x_ {i}}}}$ и ${ displaystyle { frac { partial f_ {k}} { partial x_ {j}}}}$. В матричных обозначениях^[3]

${ displaystyle mathrm { Sigma} ^ { mathrm {f}} = mathrm {J} mathrm { Sigma} ^ { mathrm {x}} mathrm {J} ^ { top}.}$

То есть, якобиан функции используется для преобразования строк и столбцов ковариационно-дисперсионной матрицы аргумента. Обратите внимание, что это эквивалентно матричному выражению для линейного случая с ${ Displaystyle mathrm {J = A}}$.

Упрощение

Пренебрежение корреляциями или допущение независимых переменных приводит к общей формуле для инженеров и ученых-экспериментаторов для расчета распространения ошибок, формуле дисперсии:^[4]

${ displaystyle s_ {f} = { sqrt { left ({ frac { partial f} { partial x}} right) ^ {2} s_ {x} ^ {2} + left ({ frac { partial f} { partial y}} right) ^ {2} s_ {y} ^ {2} + left ({ frac { partial f} { partial z}} right) ^ { 2} s_ {z} ^ {2} + cdots}}}$

куда ${ displaystyle s_ {f}}$ представляет собой стандартное отклонение функции ${ displaystyle f}$, ${ displaystyle s_ {x}}$ представляет собой стандартное отклонение ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle s_ {y}}$ представляет собой стандартное отклонение ${ displaystyle y}$, и так далее.

Важно отметить, что эта формула основана на линейных характеристиках градиента ${ displaystyle f}$ и поэтому это хорошая оценка стандартного отклонения ${ displaystyle f}$ так долго как ${ Displaystyle s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}, ldots}$ достаточно малы. В частности, линейная аппроксимация ${ displaystyle f}$ должно быть близко к ${ displaystyle f}$ внутри окрестности радиуса ${ Displaystyle s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}, ldots}$.^[5]

Пример

Любая нелинейная дифференцируемая функция, ${ displaystyle f (a, b)}$, двух переменных, ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$, может быть расширен как

${ displaystyle f приблизительно f ^ {0} + { frac { partial f} { partial a}} a + { frac { partial f} { partial b}} b}$

следовательно:

${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} приблизительно left | { frac { partial f} { partial a}} right | ^ {2} sigma _ {a} ^ {2} + left | { frac { partial f} { partial b}} right | ^ {2} sigma _ {b} ^ {2} +2 { frac { partial f} { partial a}} { frac { partial f} { partial b}} sigma _ {ab}}$

куда ${ displaystyle sigma _ {f}}$ стандартное отклонение функции ${ displaystyle f}$, ${ displaystyle sigma _ {a}}$ стандартное отклонение ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle sigma _ {b}}$ стандартное отклонение ${ displaystyle b}$ и ${ displaystyle sigma _ {ab} = sigma _ {a} sigma _ {b} rho _ {ab}}$ ковариация между ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$.

В частном случае, когда ${ displaystyle f = ab}$, ${ displaystyle { frac { partial f} { partial a}} = b, { frac { partial f} { partial b}} = a}$. потом

${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} приблизительно b ^ {2} sigma _ {a} ^ {2} + a ^ {2} sigma _ {b} ^ {2} + 2ab , sigma _ {ab}}$

или же

${ displaystyle left ({ frac { sigma _ {f}} {f}} right) ^ {2} приблизительно left ({ frac { sigma _ {a}} {a}} right ) ^ {2} + left ({ frac { sigma _ {b}} {b}} right) ^ {2} +2 left ({ frac { sigma _ {a}} {a} } right) left ({ frac { sigma _ {b}} {b}} right) rho _ {ab}}$

куда ${ displaystyle rho _ {ab}}$ корреляция между ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$.

Когда переменные ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ некоррелированы, ${ displaystyle rho _ {ab} = 0}$. потом

${ displaystyle left ({ frac { sigma _ {f}} {f}} right) ^ {2} приблизительно left ({ frac { sigma _ {a}} {a}} right ) ^ {2} + left ({ frac { sigma _ {b}} {b}} right) ^ {2}.}$

Предостережения и предупреждения

Оценки ошибок для нелинейных функций: пристрастный за счет использования расширения усеченного ряда. Степень этого смещения зависит от характера функции. Например, смещение ошибки, вычисленное для log (1+Икс) увеличивается как Икс увеличивается, так как расширение до Икс хорошее приближение только тогда, когда Икс близок к нулю.

Для сильно нелинейных функций существует пять категорий вероятностных подходов для распространения неопределенности;^[6] видеть Количественная оценка неопределенности # Методики прямого распространения неопределенности для подробностей.

Взаимный и сдвинутый взаимный

В частном случае обратного или обратного ${ displaystyle 1 / B}$, куда ${ Displaystyle B = N (0,1)}$ следует за стандартное нормальное распределение, результирующее распределение является обратным стандартным нормальным распределением, и нет определяемой дисперсии.^[7]

Однако в несколько более общем случае сдвинутой обратной функции ${ Displaystyle 1 / (п-В)}$ за ${ Displaystyle В = N ( му, sigma)}$ следуя общему нормальному распределению, статистика среднего и дисперсии действительно существует в основная стоимость смысл, если разница между полюсом ${ displaystyle p}$ и среднее ${ displaystyle mu}$ имеет реальную ценность.^[8]

Соотношения

Соотношения также проблематичны; нормальные приближения существуют при определенных условиях.

Примеры формул

В этой таблице показаны дисперсии и стандартные отклонения простых функций действительных переменных. ${ Displaystyle А, В !}$, со стандартными отклонениями ${ Displaystyle sigma _ {A}, sigma _ {B}, ,}$ ковариация ${ displaystyle sigma _ {AB}}$ и точно известные (детерминированные) действительные константы ${ displaystyle a, b ,}$ (т.е. ${ displaystyle sigma _ {a} = sigma _ {b} = 0}$). В столбцах «Дисперсия» и «Стандартное отклонение» ${ Displaystyle А, В !}$ следует понимать как ожидаемые значения (то есть значения, вокруг которых мы оцениваем неопределенность), и ${ displaystyle f}$ следует понимать значение функции, вычисленное при математическом ожидании ${ Displaystyle А, В !}$.

Функция	Дисперсия	Стандартное отклонение
${ displaystyle f = aA ,}$	${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} = a ^ {2} sigma _ {A} ^ {2}}$	${ displaystyle sigma _ {f} = | a | sigma _ {A}}$
${ displaystyle f = aA + bB ,}$	${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} = a ^ {2} sigma _ {A} ^ {2} + b ^ {2} sigma _ {B} ^ {2} + 2ab , сигма _ {AB}}$	${ displaystyle sigma _ {f} = { sqrt {a ^ {2} sigma _ {A} ^ {2} + b ^ {2} sigma _ {B} ^ {2} + 2ab , сигма _ {AB}}}}$
${ displaystyle f = aA-bB ,}$	${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} = a ^ {2} sigma _ {A} ^ {2} + b ^ {2} sigma _ {B} ^ {2} -2ab , сигма _ {AB}}$	${ displaystyle sigma _ {f} = { sqrt {a ^ {2} sigma _ {A} ^ {2} + b ^ {2} sigma _ {B} ^ {2} -2ab , сигма _ {AB}}}}$
${ displaystyle f = AB ,}$	${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} приблизительно f ^ {2} left [ left ({ frac { sigma _ {A}} {A}} right) ^ {2} + left ({ frac { sigma _ {B}} {B}} right) ^ {2} +2 { frac { sigma _ {AB}} {AB}} right]}$[9][10]	${ displaystyle sigma _ {f} приблизительно left | f right | { sqrt { left ({ frac { sigma _ {A}} {A}} right) ^ {2} + left ({ frac { sigma _ {B}} {B}} right) ^ {2} +2 { frac { sigma _ {AB}} {AB}}}}}$
${ displaystyle f = { frac {A} {B}} ,}$	${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} приблизительно f ^ {2} left [ left ({ frac { sigma _ {A}} {A}} right) ^ {2} + left ({ frac { sigma _ {B}} {B}} right) ^ {2} -2 { frac { sigma _ {AB}} {AB}} right]}$[11]	${ displaystyle sigma _ {f} приблизительно left | f right | { sqrt { left ({ frac { sigma _ {A}} {A}} right) ^ {2} + left ({ frac { sigma _ {B}} {B}} right) ^ {2} -2 { frac { sigma _ {AB}} {AB}}}}}$
${ displaystyle f = aA ^ {b} ,}$	${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} приблизительно left ({a} {b} {A} ^ {b-1} { sigma _ {A}} right) ^ {2} = слева ({ frac {{f} {b} { sigma _ {A}}} {A}} right) ^ {2}}$	${ displaystyle sigma _ {f} приблизительно left | {a} {b} {A} ^ {b-1} { sigma _ {A}} right | = left | { frac {{f } {b} { sigma _ {A}}} {A}} right |}$
${ Displaystyle е = а пер (бА) ,}$	${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} приблизительно left (a { frac { sigma _ {A}} {A}} right) ^ {2}}$[12]	${ displaystyle sigma _ {f} приблизительно left | a { frac { sigma _ {A}} {A}} right |}$
${ Displaystyle е = а журнал _ {10} (бА) ,}$	${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} приблизительно left (a { frac { sigma _ {A}} {A ln (10)}} right) ^ {2}}$[12]	${ displaystyle sigma _ {f} приблизительно left | a { frac { sigma _ {A}} {A ln (10)}} right |}$
${ displaystyle f = ae ^ {bA} ,}$	${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} приблизительно f ^ {2} left (b sigma _ {A} right) ^ {2}}$[13]	${ displaystyle sigma _ {f} приблизительно left | f right | left | left (b sigma _ {A} right) right |}$
${ displaystyle f = a ^ {bA} ,}$	${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} приблизительно f ^ {2} (b ln (a) sigma _ {A}) ^ {2}}$	${ Displaystyle сигма _ {е} приблизительно влево | е вправо | влево | (б пер (а) сигма _ {A}) вправо |}$
${ Displaystyle е = а грех (бА) ,}$	${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} приблизительно left [ab cos (bA) sigma _ {A} right] ^ {2}}$	${ displaystyle sigma _ {f} приблизительно left | ab cos (bA) sigma _ {A} right |}$
${ Displaystyle е = а соз влево (бА вправо) ,}$	${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} приблизительно left [ab sin (bA) sigma _ {A} right] ^ {2}}$	${ displaystyle sigma _ {f} приблизительно left | ab sin (bA) sigma _ {A} right |}$
${ Displaystyle е = а загар влево (бА право) ,}$	${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} приблизительно left [ab sec ^ {2} (bA) sigma _ {A} right] ^ {2}}$	${ displaystyle sigma _ {f} приблизительно left | ab sec ^ {2} (bA) sigma _ {A} right |}$
${ Displaystyle е = А ^ {В} ,}$	${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} приблизительно f ^ {2} left [ left ({ frac {B} {A}} sigma _ {A} right) ^ {2} + left ( ln (A) sigma _ {B} right) ^ {2} +2 { frac {B ln (A)} {A}} sigma _ {AB} right]}$	${ displaystyle sigma _ {f} приблизительно left | f right | { sqrt { left ({ frac {B} {A}} sigma _ {A} right) ^ {2} + left ( ln (A) sigma _ {B} right) ^ {2} +2 { frac {B ln (A)} {A}} sigma _ {AB}}}}$
${ displaystyle f = { sqrt {aA ^ {2} pm bB ^ {2}}} ,}$	${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} приблизительно left ({ frac {A} {f}} right) ^ {2} a ^ {2} sigma _ {A} ^ {2} + left ({ frac {B} {f}} right) ^ {2} b ^ {2} sigma _ {B} ^ {2} pm 2ab { frac {AB} {f ^ {2 }}} , sigma _ {AB}}$	${ displaystyle sigma _ {f} приблизительно { sqrt { left ({ frac {A} {f}} right) ^ {2} a ^ {2} sigma _ {A} ^ {2} + left ({ frac {B} {f}} right) ^ {2} b ^ {2} sigma _ {B} ^ {2} pm 2ab { frac {AB} {f ^ {2 }}} , sigma _ {AB}}}}$

Для некоррелированных переменных (${ displaystyle rho _ {AB} = 0}$) члены ковариации также равны нулю, так как ${ Displaystyle sigma _ {AB} = rho _ {AB} sigma _ {A} sigma _ {B} ,}$.

В этом случае выражения для более сложных функций могут быть получены путем объединения более простых функций. Например, повторное умножение при отсутствии корреляции дает

${ displaystyle f = ABC; qquad left ({ frac { sigma _ {f}} {f}} right) ^ {2} приблизительно left ({ frac { sigma _ {A}} {A}} right) ^ {2} + left ({ frac { sigma _ {B}} {B}} right) ^ {2} + left ({ frac { sigma _ {C }} {C}} right) ^ {2}.}$

По делу ${ displaystyle f = AB}$ у нас также есть выражение Гудмана^[2] для точной дисперсии: для некоррелированного случая это

${ Displaystyle V (XY) = E (X) ^ {2} V (Y) + E (Y) ^ {2} V (X) + E ((XE (X)) ^ {2} (YE (Y )) ^ {2})}$

и поэтому имеем:

${ displaystyle sigma _ {f} ^ {2} = A ^ {2} sigma _ {B} ^ {2} + B ^ {2} sigma _ {A} ^ {2} + sigma _ { A} ^ {2} sigma _ {B} ^ {2}}$

Примеры расчетов

Функция обратной тангенса

Мы можем рассчитать распространение неопределенности для функции обратной касательной в качестве примера использования частных производных для распространения ошибки.

Определять

${ Displaystyle е (х) = arctan (х),}$

куда ${ displaystyle Delta _ {x}}$ абсолютная неопределенность нашего измерения Икс. Производная от ж(Икс) относительно Икс является

${ displaystyle { frac {df} {dx}} = { frac {1} {1 + x ^ {2}}}.}.$

Следовательно, наша распространенная неопределенность равна

${ displaystyle Delta _ {f} приблизительно { frac { Delta _ {x}} {1 + x ^ {2}}},}$

куда ${ displaystyle Delta _ {f}}$ - распространенная абсолютная неопределенность.

Измерение сопротивления

Практическое применение - это эксперимент в котором измеряется Текущий, я, и Напряжение, V, на резистор чтобы определить сопротивление, р, с помощью Закон Ома, р = V / я.

Учитывая измеренные переменные с погрешностями, я ± σ_я и V ± σ_V, и пренебрегая их возможной корреляцией, неопределенность в вычисленной величине, σ_р, является:

${ displaystyle sigma _ {R} приблизительно { sqrt { sigma _ {V} ^ {2} left ({ frac {1} {I}} right) ^ {2} + sigma _ { I} ^ {2} left ({ frac {-V} {I ^ {2}}} right) ^ {2}}} = R { sqrt { left ({ frac { sigma _ { V}} {V}} right) ^ {2} + left ({ frac { sigma _ {I}} {I}} right) ^ {2}}}.}$

Смотрите также

• Тщательность и точность
• Автоматическая дифференциация
• Дельта-метод
• Ошибки и неточности в статистике
• Анализ экспериментальной неопределенности
• Интервальный конечный элемент
• Погрешность измерения
• Анализ вероятностных границ
• Значимость арифметики
• Количественная оценка неопределенности
• Случайно-нечеткая переменная

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Бевингтон, Филип Р .; Робинсон, Д. Кейт (2002), Обработка данных и анализ ошибок для физических наук (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-119926-1
• Форнасини, Паоло (2008), Неопределенность физических измерений: введение в анализ данных в физической лаборатории, Springer, стр. 161, ISBN 978-0-387-78649-0
• Мейер, Стюарт Л. (1975), Анализ данных для ученых и инженеров, Wiley, ISBN 978-0-471-59995-1
• Перальта, М. (2012), Распространение ошибок: как математически предсказать ошибки измерения, CreateSpace
• Руо, М. (2013), Вероятность, статистика и оценка: распространение неопределенностей в экспериментальных измерениях (PDF) (короткое изд.)
• Тейлор, Дж. Р. (1997), Введение в анализ ошибок: исследование неопределенностей в физических измерениях (2-е изд.), University Science Books
• Ван, К. М.; Айер, Хари К. (2005-09-07). «О поправках высшего порядка для распространения неопределенностей». Метрология. 42 (5): 406–410. Дои:10.1088/0026-1394/42/5/011. ISSN 0026-1394.

внешняя ссылка

• Подробное обсуждение измерений и распространения неопределенности объяснение преимуществ использования формул распространения ошибок и моделирования Монте-Карло вместо простых арифметика значений
• КАМЕДЬ, Руководство по выражению неопределенности в измерениях
• EPFL Введение в распространение ошибок, Вывод, значение и примеры Cy = Fx Cx Fx '
• пакет неопределенностей, программа / библиотека для прозрачного выполнения расчетов с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
• пакет soerp, программа / библиотека на Python для прозрачного выполнения вычислений * второго порядка * с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
• Объединенный комитет руководств по метрологии (2011 г.). JCGM 102: Оценка данных измерений - Дополнение 2 к «Руководству по выражению неопределенности в измерениях» - Расширение на любое количество выходных величин (PDF) (Технический отчет). JCGM. Получено 13 февраля 2013.
• Калькулятор неопределенности Распространение неопределенности для любого выражения