WikiDer > Псевдо-полиномы Цернике

В математика, псевдо-полиномы Цернике хорошо известны и широко используются при анализе оптический системы. Они также широко используются в анализ изображений в качестве дескрипторы формы.

Определение

Они ортогональный набор из сложный-значен многочленыопределяется как

${displaystyle V_ {nm} (x, y) = R_ {nm} (x, y) e ^ {jmarctan ({frac {y} {x}})},}$

куда ${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} leq 1, ngeq 0, | m | leq n}$ и ортогональность на единичный диск дается как

${displaystyle int _ {0} ^ {2pi} int _ {0} ^ {1} r [V_ {nl} (rcos heta, rsin heta)] ^ {*} imes V_ {mk} (rcos heta, rsin heta) , dr, d heta = {frac {pi} {n + 1}} delta _ {mn} delta _ {kl},}$

где звездочка означает комплексное сопряжение, а${displaystyle r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}$, ${displaystyle x = rcos heta}$, ${displaystyle y = rsin heta}$являются стандартными преобразованиями между полярными и декартовыми координатами.

Радиальные многочлены ${displaystyle R_ {nm}}$ определены как^[1]

${displaystyle R_ {nm} (x, y) = сумма _ {s = 0} ^ {n- | m |} D_ {n, | m |, s} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {(нс) / 2}}$

с целыми коэффициентами

${displaystyle D_ {n, m, s} = (- 1) ^ {s} {frac {(2n + 1-s)!} {s! (nms)! (n + m-s + 1)!}} .}$

Примеры

Примеры:

${displaystyle R_ {0,0} = 1}$

${displaystyle R_ {1,0} = - 2 + 3r}$

${displaystyle R_ {1,1} = r}$

${displaystyle R_ {2,0} = 3 + 10r ^ {2} -12r}$

${displaystyle R_ {2,1} = 5r ^ {2} -4r}$

${displaystyle R_ {2,2} = r ^ {2}}$

${displaystyle R_ {3,0} = - 4 + 35r ^ {3} -60r ^ {2} + 30r}$

${displaystyle R_ {3,1} = 21r ^ {3} -30r ^ {2} + 10r}$

${displaystyle R_ {3,2} = 7r ^ {3} -6r ^ {2}}$

${displaystyle R_ {3,3} = r ^ {3}}$

${displaystyle R_ {4,0} = 5 + 126r ^ {4} -280r ^ {3} + 210r ^ {2} -60r}$

${displaystyle R_ {4,1} = 84r ^ {4} -168r ^ {3} + 105r ^ {2} -20r}$

${displaystyle R_ {4,2} = 36r ^ {4} -56r ^ {3} + 21r ^ {2}}$

${displaystyle R_ {4,3} = 9r ^ {4} -8r ^ {3}}$

${displaystyle R_ {4,4} = r ^ {4}}$

${displaystyle R_ {5,0} = - 6 + 462r ^ {5} -1260r ^ {4} + 1260r ^ {3} -560r ^ {2} + 105r}$

${displaystyle R_ {5,1} = 330r ^ {5} -840r ^ {4} + 756r ^ {3} -280r ^ {2} + 35r}$

${displaystyle R_ {5,2} = 165r ^ {5} -360r ^ {4} + 252r ^ {3} -56r ^ {2}}$

${displaystyle R_ {5,3} = 55r ^ {5} -90r ^ {4} + 36r ^ {3}}$

${displaystyle R_ {5,4} = 11r ^ {5} -10r ^ {4}}$

${displaystyle R_ {5,5} = r ^ {5}}$

Моменты

Псевдо-Зернике Моменты порядка (PZM) ${displaystyle n}$ и повторение ${displaystyle l}$ определены как

${displaystyle A_ {nl} = {frac {n + 1} {pi}} int _ {0} ^ {2pi} int _ {0} ^ {1} [V_ {nl} (rcos heta, rsin heta)] ^ {*} f (rcos heta, rsin heta) r, dr, d heta,}$

куда ${displaystyle n = 0, ldots infty}$, и ${displaystyle l}$ берет на себя положительные и отрицательные целое числоценности при условии ${displaystyle | l | leq n}$.

Функция изображения может быть восстановлена ​​путем разложения коэффициентов псевдо-Цернике на единичном диске как

${displaystyle f (x, y) = sum _ {n = 0} ^ {infty} sum _ {l = -n} ^ {+ n} A_ {nl} V_ {nl} (x, y).}$

Моменты псевдо-Цернике происходят из общепринятых Моменты Зернике и показать, чтобы быть более надежным и менее чувствительным к изображению шум чем моменты Зернике.^[1]

Смотрите также

• Полиномы Цернике
• Момент изображения

Рекомендации

• Белкасим, С .; Ahmadi, M .; Шридхар, М. (1996). «Эффективный алгоритм для быстрого вычисления моментов Зернике». Журнал Института Франклина. 333 (4): 577–581. Дои:10.1016/0016-0032(96)00017-8.
• Haddadnia, J .; Ahmadi, M .; Фаэз, К. (2003). «Эффективный метод извлечения признаков с псевдо-нулевым моментом в системе распознавания человеческих лиц на основе нейронной сети RF». Журнал EURASIP по прикладной обработке сигналов. 2003 (9): 890–901. Bibcode:2003EJASP2003..146H. Дои:10.1155 / S1110865703305128.
• Т.-В. Линь; Ю.-Ф. Чжоу (2003). Сравнительное исследование моментов Зернике. Материалы Международной конференции IEEE / WIC по веб-аналитике. С. 516–519. Дои:10.1109 / WI.2003.1241255. ISBN 0-7695-1932-6.
• Chong, C.-W .; Raveendran, P .; Мукундан, Р. (2003). «Масштабные инварианты псевдо-моментов Зернике» (PDF). Pattern Anal. Приложение. 6 (3): 176–184. Дои:10.1007 / s10044-002-0183-5.
• Чонг, Чи-Вэй; Mukundan, R .; Равендран, П. (2003). «Эффективный алгоритм для быстрого вычисления моментов псевдо-Цернике» (PDF). Int. J. Распознавание образов. Артиф. Int. 17 (6): 1011–1023. Дои:10.1142 / S0218001403002769. HDL:10092/448.
• Шатлер, Джейми (1992). "Сложные моменты Зернике".