WikiDer > Многочлены Цернике

Первые 21 многочлен Цернике, упорядоченные по вертикали по радиальному градусу и по горизонтали по азимутальному градусу

В математика, то Многочлены Цернике площадь последовательность из многочлены которые ортогональный на единичный диск. Назван в честь физика-оптика Фриц Зернике, победитель 1953 г. Нобелевская премия по физике и изобретатель фазово-контрастная микроскопия, они играют важную роль в различных областях оптики, таких как луч оптика и изображения.^[1][2]

Определения

Есть четный и нечетный Полиномы Цернике. Четные многочлены Цернике определяются как

${ Displaystyle Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi) = R_ {n} ^ {m} ( rho) , cos (m , varphi) !}$

(даже функция по азимутальному углу ${ displaystyle varphi}$), а нечетные полиномы Цернике определяются как

${ Displaystyle Z_ {n} ^ {- m} ( rho, varphi) = R_ {n} ^ {m} ( rho) , sin (m , varphi), !}$

(нечетная функция по азимутальному углу ${ displaystyle varphi}$) где м и п неотрицательны целые числа с участием п ≥ м ≥ 0 (т = 0 только для четного варианта), ${ displaystyle varphi}$ это азимутальный угол, ρ это радиальное расстояние ${ Displaystyle 0 Leq Rho Leq 1}$, и ${ displaystyle R_ {n} ^ {m}}$ - радиальные многочлены, определенные ниже. Многочлены Цернике имеют свойство ограничиваться диапазоном от -1 до +1, т. Е. ${ Displaystyle | Z_ {п} ^ {m} ( rho, varphi) | leq 1}$. Радиальные многочлены ${ displaystyle R_ {n} ^ {m}}$ определены как

${ displaystyle R_ {n} ^ {m} ( rho) = sum _ {k = 0} ^ { tfrac {nm} {2}} { frac {(-1) ^ {k} , ( nk)!} {k! left ({ tfrac {n + m} {2}} - k right)! left ({ tfrac {nm} {2}} - k right)!}} ; rho ^ {n-2k}}$

для четного числа п − м, а для нечетного числа п − м. Особая ценность

${ Displaystyle R_ {n} ^ {m} (1) = 1.}$

Другие представления

Переписывая отношения факториалов в радиальной части как произведения биномы показывает, что коэффициенты являются целыми числами:

${ Displaystyle R_ {n} ^ {m} ( rho) = sum _ {k = 0} ^ { tfrac {nm} {2}} (- 1) ^ {k} { binom {nk} { k}} { binom {n-2k} {{ tfrac {nm} {2}} - k}} rho ^ {n-2k}}$.

Обозначение как завершающееся Гауссовские гипергеометрические функции полезно для выявления рецидивов, чтобы продемонстрировать, что они являются частными случаями Многочлены Якоби, записать дифференциальные уравнения и т. д .:

${ Displaystyle { begin {align} R_ {n} ^ {m} ( rho) & = { binom {n} { tfrac {n + m} {2}}} rho ^ {n} { } _ {2} F_ {1} left (- { tfrac {n + m} {2}}, - { tfrac {nm} {2}}; - n; rho ^ {- 2} right ) & = (- 1) ^ { tfrac {nm} {2}} { binom { tfrac {n + m} {2}} {m}} rho ^ {m} {} _ { 2} F_ {1} left (1 + { tfrac {n + m} {2}}, - { tfrac {nm} {2}}; 1 + m; rho ^ {2} right) конец {выровнен}}}$

для п − м даже.

Фактор ${ displaystyle rho ^ {n-2k}}$ в радиальном полиноме ${ Displaystyle R_ {п} ^ {m} ( rho)}$ может быть расширен в Базис Бернштейна из ${ displaystyle b_ {s, n / 2} ( rho ^ {2})}$ даже для ${ displaystyle n}$ или ${ displaystyle rho}$ раз в зависимости от ${ displaystyle b_ {s, (n-1) / 2} ( rho ^ {2})}$ для нечетных ${ displaystyle n}$ В диапазоне ${ Displaystyle lfloor п / 2 rfloor -k leq s leq lfloor n / 2 rfloor}$. Следовательно, радиальный многочлен может быть выражен конечным числом многочленов Бернштейна с рациональными коэффициентами:

${ Displaystyle R_ {n} ^ {m} ( rho) = { frac {1} { binom { lfloor n / 2 rfloor} { lfloor m / 2 rfloor}}} rho ^ {n mod 2} sum _ {s = lfloor m / 2 rfloor} ^ { lfloor n / 2 rfloor} (- 1) ^ { lfloor n / 2 rfloor -s} { binom {s} { lfloor m / 2 rfloor}} { binom {(n + m) / 2} {s + lceil m / 2 rceil}} b_ {s, lfloor n / 2 rfloor} ( rho ^ { 2}).}$

Последовательные индексы Нолля

Приложения часто включают линейную алгебру, где интегралы по произведениям многочленов Цернике и некоторого другого фактора составляют матричные элементы. Для перечисления строк и столбцов этих матриц одним индексом используется обычное отображение двух индексов. п и м ' к единому индексу j был представлен Ноллом.^[3] Таблица этой ассоциации ${ displaystyle Z_ {n} ^ {m '} rightarrow Z_ {j}}$ начинается следующим образом (последовательность A176988 в OEIS).${ displaystyle j = { frac {n (n + 1)} {2}} + | {m '} | + left {{ begin {array} {ll} 0, & {m'}> 0 земля п эквив {0,1 } { pmod {4}}; 0, & {m '} <0 земля п экв {2,3 } { pmod {4}} ; 1, & {m '} geq 0 land n Equiv {2,3 } { pmod {4}}; 1, & {m'} leq 0 land n Equiv {0,1 } { pmod {4}}. End {array}} right.}$

Правило следующее.

• Четные многочлены Цернике Z (с четными азимутальными частями ${ Displaystyle соз (м varphi)}$, где ${ displaystyle m = m '}$ так как ${ displaystyle m '}$ положительное число) получить четные индексы j.
• Странный Z получает (с нечетными азимутальными частями ${ Displaystyle грех (м varphi)}$, где ${ Displaystyle м = влево верт {м '} вправо верт}$ так как ${ displaystyle m '}$ отрицательное число) нечетные индексы j.
• В рамках данного п, меньшие значения |м| получить более низкийj.

Стандартные индексы OSA / ANSI

OSA^[4] и ANSI одноиндексные полиномы Цернике с использованием:

${ Displaystyle J = { гидроразрыва {п (п + 2) + {м '}} {2}}}$

Индексы Fringe / Университета Аризоны

Схема индексации Fringe используется в коммерческом программном обеспечении для проектирования оптики и оптических испытаниях.^[5][6]

${ displaystyle j = left (1 + { frac {n + | {m '} |} {2}} right) ^ {2} -2 | {m'} | + { frac {1- operatorname {sgn} {m '}} {2}}}$

где ${ displaystyle operatorname {sgn} m}$ это знак или сигнум функция. Первые 20 дополнительных номеров перечислены ниже.

Индексы Вайанта

Джеймс С. Вайант использует схему индексации «Fringe», за исключением того, что она начинается с 0 вместо 1 (вычитание 1).^[7] Этот метод обычно используется, включая программное обеспечение для анализа интерферограмм в интерферометрах Zygo и программное обеспечение с открытым исходным кодом DFTFringe.

Свойства

Ортогональность

Ортогональность в радиальной части составляет^[8]

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { sqrt {2n + 2}} R_ {n} ^ {m} ( rho) , { sqrt {2n '+ 2}} R_ {n' } ^ {m} ( rho) , rho d rho = delta _ {n, n '}}$

или

${ displaystyle { underset {0} { overset {1} { mathop { int}}}} , R_ {n} ^ {m} ( rho) R _ {{n} '} ^ {m} ( rho) rho d rho = { frac {{ delta} _ {n, {n} '}} {2n + 2}}.}.$

Ортогональность в угловой части представлена элементарный

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} cos (m varphi) cos (m ' varphi) , d varphi = epsilon _ {m} pi delta _ {m, m '},}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} sin (m varphi) sin (m ' varphi) , d varphi = pi delta _ {m, m'}; quad m neq 0,}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} cos (m varphi) sin (m ' varphi) , d varphi = 0,}$

где ${ displaystyle epsilon _ {m}}$ (иногда называют Фактор Неймана поскольку он часто появляется вместе с функциями Бесселя) определяется как 2 если ${ displaystyle m = 0}$ и 1 если ${ displaystyle m neq 0}$. Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по отношению к обоим индексам при интегрировании по единичному кругу,

${ displaystyle int Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi) Z_ {n '} ^ {m'} ( rho, varphi) , d ^ {2} r = { frac { epsilon _ {m} pi} {2n + 2}} delta _ {n, n '} delta _ {m, m'},}$

где ${ Displaystyle д ^ {2} р = ро , д ро , д varphi}$ это Якобиан круговой системы координат, и где ${ displaystyle n-m}$ и ${ displaystyle n'-m '}$ оба четные.

Преобразование Зернике

Любое достаточно гладкое вещественное фазовое поле над единичным кругом ${ Displaystyle G ( rho, varphi)}$ могут быть представлены через его коэффициенты Цернике (нечетные и четные), точно так же, как периодические функции находят ортогональное представление с Ряд Фурье. У нас есть

${ Displaystyle G ( rho, varphi) = sum _ {m, n} left [a_ {m, n} Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi) + b_ {m, n } Z_ {n} ^ {- m} ( rho, varphi) right],}$

где коэффициенты можно вычислить с помощью внутренние продукты. На пространстве ${ displaystyle L ^ {2}}$ функций на единичном диске, существует внутренний продукт, определяемый

${ Displaystyle langle F, G rangle: = int F ( rho, varphi) G ( rho, varphi) rho d rho d varphi.}$

Тогда коэффициенты Цернике можно выразить следующим образом:

${ displaystyle { begin {align} a_ {m, n} & = { frac {2n + 2} { epsilon _ {m} pi}} left langle G ( rho, varphi), Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi) right rangle, b_ {m, n} & = { frac {2n + 2} { epsilon _ {m} pi}} left langle G ( rho, varphi), Z_ {n} ^ {- m} ( rho, varphi) right rangle. end {align}}}$

В качестве альтернативы можно использовать известные значения фазовой функции г на круговой сетке, чтобы сформировать систему уравнений. Фазовая функция извлекается с помощью взвешенного произведения с неизвестными коэффициентами с (известными значениями) полинома Цернике по единичной сетке. Следовательно, коэффициенты также могут быть найдены путем решения линейной системы, например, путем обращения матрицы. В быстрых алгоритмах вычисления прямого и обратного преобразования Цернике используются свойства симметрии тригонометрический функции, разделимость радиальной и азимутальной частей полиномов Цернике и их вращательные симметрии.

Симметрии

Четность относительно отражения вдоль Икс ось

${ displaystyle Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi) = (- 1) ^ {m} Z_ {n} ^ {m} ( rho, - varphi).}$

Четность относительно отражения точки в центре координат равна

${ Displaystyle Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi) = (- 1) ^ {m} Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi + pi),}$

где ${ displaystyle (-1) ^ {m}}$ также можно было бы написать ${ Displaystyle (-1) ^ {п}}$ потому что ${ displaystyle n-m}$ является четным для соответствующих ненулевых значений. Радиальные многочлены также могут быть четными или нечетными, в зависимости от порядка п или м:

${ Displaystyle R_ {n} ^ {m} ( rho) = (- 1) ^ {n} R_ {n} ^ {m} (- rho) = (- 1) ^ {m} R_ {n} ^ {m} (- rho).}$

Периодичность тригонометрических функций подразумевает инвариантность при повороте на кратные ${ displaystyle 2 pi / m}$ радиан вокруг центра:

${ displaystyle Z_ {n} ^ {m} left ( rho, varphi + { tfrac {2 pi k} {m}} right) = Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi), qquad k = 0, pm 1, pm 2, cdots.}$

Отношения рецидива

Многочлены Цернике удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, которое не зависит ни от степени, ни от азимутального порядка радиальных многочленов:^[9]

${ Displaystyle { begin {align} R_ {n} ^ {m} ( rho) + R_ {n-2} ^ {m} ( rho) = rho left [R_ {n-1} ^ { left | m-1 right |} ( rho) + R_ {n-1} ^ {m + 1} ( rho) right] { text {.}} end {выровнено}}}$

Из определения ${ displaystyle R_ {n} ^ {m}}$ видно, что ${ Displaystyle R_ {m} ^ {m} ( rho) = rho ^ {m}}$ и ${ Displaystyle R_ {м + 2} ^ {m} ( rho) = ((m + 2) rho ^ {2} - (m + 1)) rho ^ {m}}$. Следующее трехчленное рекуррентное соотношение^[10] затем позволяет вычислить все остальные ${ Displaystyle R_ {п} ^ {m} ( rho)}$:

${ Displaystyle R_ {n} ^ {m} ( rho) = { frac {2 (n-1) (2n (n-2) rho ^ {2} -m ^ {2} -n (n- 2)) R_ {n-2} ^ {m} ( rho) -n (n + m-2) (nm-2) R_ {n-4} ^ {m} ( rho)} {(n + m) (нм) (n-2)}} { text {.}}}$

Вышеупомянутое соотношение особенно полезно, поскольку производная от ${ displaystyle R_ {n} ^ {m}}$ можно вычислить из двух радиальных многочленов Цернике смежной степени:^[10]

${ displaystyle { frac { operatorname {d}} { operatorname {d} ! rho}} R_ {n} ^ {m} ( rho) = { frac {(2nm ( rho ^ {2 } -1) + (нм) (m + n (2 rho ^ {2} -1))) R_ {n} ^ {m} ( rho) - (n + m) (нм) R_ {n- 2} ^ {m} ( rho)} {2n rho ( rho ^ {2} -1)}} { text {.}}}$

Примеры

Радиальные многочлены

Первые несколько радиальных многочленов:

${ Displaystyle R_ {0} ^ {0} ( rho) = 1 ,}$

${ Displaystyle R_ {1} ^ {1} ( rho) = rho ,}$

${ Displaystyle R_ {2} ^ {0} ( rho) = 2 rho ^ {2} -1 ,}$

${ Displaystyle R_ {2} ^ {2} ( rho) = rho ^ {2} ,}$

${ Displaystyle R_ {3} ^ {1} ( rho) = 3 rho ^ {3} -2 rho ,}$

${ Displaystyle R_ {3} ^ {3} ( rho) = rho ^ {3} ,}$

${ Displaystyle R_ {4} ^ {0} ( rho) = 6 rho ^ {4} -6 rho ^ {2} +1 ,}$

${ Displaystyle R_ {4} ^ {2} ( rho) = 4 rho ^ {4} -3 rho ^ {2} ,}$

${ Displaystyle R_ {4} ^ {4} ( rho) = rho ^ {4} ,}$

${ Displaystyle R_ {5} ^ {1} ( rho) = 10 rho ^ {5} -12 rho ^ {3} +3 rho ,}$

${ Displaystyle R_ {5} ^ {3} ( rho) = 5 rho ^ {5} -4 rho ^ {3} ,}$

${ Displaystyle R_ {5} ^ {5} ( rho) = rho ^ {5} ,}$

${ Displaystyle R_ {6} ^ {0} ( rho) = 20 rho ^ {6} -30 rho ^ {4} +12 rho ^ {2} -1 ,}$

${ Displaystyle R_ {6} ^ {2} ( rho) = 15 rho ^ {6} -20 rho ^ {4} +6 rho ^ {2} ,}$

${ Displaystyle R_ {6} ^ {4} ( rho) = 6 rho ^ {6} -5 rho ^ {4} ,}$

${ Displaystyle R_ {6} ^ {6} ( rho) = rho ^ {6}. ,}$

Полиномы Цернике

Первые несколько режимов Зернике с OSA / ANSI и Нолл одиночные индексы, показаны ниже. Они нормализованы так, что: ${ Displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ {1} Z ^ {2} cdot rho , d rho , d phi = pi}$.

	OSA / ANSI показатель (${ displaystyle j}$)	Нолл показатель (${ displaystyle j}$)	Wyant показатель (${ displaystyle j}$)	Бахрома / UA показатель (${ displaystyle j}$)	Радиальный степень (${ displaystyle n}$)	Азимутальный степень (${ displaystyle m}$)	${ displaystyle Z_ {j}}$	Классическое название
${ displaystyle Z_ {0} ^ {0}}$	00	01	00	01	0	00	${ displaystyle 1}$	Поршень (увидеть, Распределение полукруга Вигнера)
${ displaystyle Z_ {1} ^ {- 1}}$	01	03	02	03	1	−1	${ Displaystyle 2 ро грех фи}$	Наклон (Y-наклон, вертикальный наклон)
${ Displaystyle Z_ {1} ^ {1}}$	02	02	01	02	1	+1	${ Displaystyle 2 ро соз фи}$	Подсказка (X-Tilt, горизонтальный наклон)
${ displaystyle Z_ {2} ^ {- 2}}$	03	05	05	06	2	−2	${ displaystyle { sqrt {6}} rho ^ {2} sin 2 phi}$	Косой астигматизм
${ displaystyle Z_ {2} ^ {0}}$	04	04	03	04	2	00	${ displaystyle { sqrt {3}} (2 rho ^ {2} -1)}$	Расфокусировать (продольное положение)
${ Displaystyle Z_ {2} ^ {2}}$	05	06	04	05	2	+2	${ displaystyle { sqrt {6}} rho ^ {2} cos 2 phi}$	Вертикальный астигматизм
${ displaystyle Z_ {3} ^ {- 3}}$	06	09	10	11	3	−3	${ displaystyle { sqrt {8}} rho ^ {3} sin 3 phi}$	Вертикальный трилистник
${ displaystyle Z_ {3} ^ {- 1}}$	07	07	07	08	3	−1	${ displaystyle { sqrt {8}} (3 rho ^ {3} -2 rho) sin phi}$	Вертикальная кома
${ displaystyle Z_ {3} ^ {1}}$	08	08	06	07	3	+1	${ displaystyle { sqrt {8}} (3 rho ^ {3} -2 rho) cos phi}$	Горизонтальная кома
${ displaystyle Z_ {3} ^ {3}}$	09	10	09	10	3	+3	${ displaystyle { sqrt {8}} rho ^ {3} cos 3 phi}$	Косой трилистник
${ displaystyle Z_ {4} ^ {- 4}}$	10	15	17	18	4	−4	${ displaystyle { sqrt {10}} rho ^ {4} sin 4 phi}$	Наклонный четырехлистник
${ displaystyle Z_ {4} ^ {- 2}}$	11	13	12	13	4	−2	${ displaystyle { sqrt {10}} (4 rho ^ {4} -3 rho ^ {2}) sin 2 phi}$	Косой вторичный астигматизм
${ displaystyle Z_ {4} ^ {0}}$	12	11	08	09	4	00	${ displaystyle { sqrt {5}} (6 rho ^ {4} -6 rho ^ {2} +1)}$	Первичная сферическая
${ displaystyle Z_ {4} ^ {2}}$	13	12	11	12	4	+2	${ displaystyle { sqrt {10}} (4 rho ^ {4} -3 rho ^ {2}) cos 2 phi}$	Вертикальный вторичный астигматизм
${ displaystyle Z_ {4} ^ {4}}$	14	14	16	17	4	+4	${ displaystyle { sqrt {10}} rho ^ {4} cos 4 phi}$	Вертикальный четырехлистник

Приложения

Функции являются основой определяется по области круговой поддержки, обычно в плоскости зрачка классической оптической визуализации при видимых и инфракрасных диапазонах длин волн через систему линз и зеркала конечного диаметра. Их преимущества - это простые аналитические свойства, унаследованные от простоты радиальных функций и факторизации радиальных и азимутальных функций; это приводит, например, к выражениям в замкнутой форме двумерных преобразование Фурье в терминах функций Бесселя.^[11][12] Их недостаток, особенно если высокий п участвуют, является неравномерным распределением узловых линий по единичному диску, что вносит эффекты звона вблизи периметра ${ displaystyle rho приблизительно 1}$, что часто приводит к попыткам определить другие ортогональные функции над круговым диском.^[13][14][15]

В прецизионном оптическом производстве полиномы Цернике используются для характеристики ошибок более высокого порядка, наблюдаемых при интерферометрическом анализе. В датчиках наклона волнового фронта, таких как Шак-ХартманнКоэффициенты Цернике волнового фронта могут быть получены путем подгонки измеренных наклонов с помощью полиномиальных производных Цернике, усредненных по субапертурам выборки.^[16] В оптометрия и офтальмология, Полиномы Цернике используются для описания аберрации волнового фронта из роговица или линза от идеальной сферической формы, в результате чего ошибки рефракции. Они также обычно используются в адаптивная оптика, где они могут быть использованы для характеристики атмосферное искажение. Очевидными приложениями для этого являются инфракрасная или визуальная астрономия и спутниковые снимки.

Другое применение полиномов Цернике можно найти в расширенной теории Нейбура – ​​Цернике. дифракция и аберрации.

Многочлены Цернике широко используются как базисные функции имиджевые моменты. Поскольку многочлены Цернике равны ортогональный по отношению друг к другу моменты Зернике могут представлять свойства изображения без избыточности или перекрытия информации между моментами. Хотя моменты Зернике существенно зависят от масштабирование и перевод объекта в регион интереса (ROI), их величины не зависят от угла поворота объекта.^[17] Таким образом, их можно использовать для извлечения Особенности из изображений, описывающих характеристики формы объекта. Например, моменты Зернике используются в качестве дескрипторов формы для классификации доброкачественных и злокачественных груди^[18] или поверхность вибрирующих дисков.^[19] Моменты Зернике также использовались для количественной оценки формы линий раковых клеток остеосаркомы на уровне отдельных клеток.^[20]

Высшие измерения

Концепция транслируется в более высокие измерения D если многочлены ${ displaystyle x_ {1} ^ {i} x_ {2} ^ {j} cdots x_ {D} ^ {k}}$ в декартовых координатах преобразуются в гиперсферические координаты, ${ displaystyle rho ^ {s}, s leq D}$, умноженный на произведение многочленов Якоби от угловых переменных. В ${ displaystyle D = 3}$ размеры, угловые переменные сферические гармоники, Например. Линейные сочетания сил ${ displaystyle rho ^ {s}}$ определить ортогональный базис ${ Displaystyle R_ {п} ^ {(л)} ( ро)}$ удовлетворение

${ Displaystyle int _ {0} ^ {1} rho ^ {D-1} R_ {n} ^ {(l)} ( rho) R_ {n '} ^ {(l)} ( rho) d rho = delta _ {n, n '}}$.

(Обратите внимание, что фактор ${ displaystyle { sqrt {2n + D}}}$ поглощен определением р здесь, тогда как в ${ displaystyle D = 2}$ нормализация выбрана несколько иначе. Это в значительной степени дело вкуса, в зависимости от того, желаете ли вы сохранить целочисленный набор коэффициентов или предпочитаете более точные формулы, если задействована ортогонализация.) Явное представление

${ Displaystyle { begin {align} R_ {n} ^ {(l)} ( rho) & = { sqrt {2n + D}} sum _ {s = 0} ^ { tfrac {nl} { 2}} (- 1) ^ {s} {{ tfrac {nl} {2}} choose s} {ns-1 + { tfrac {D} {2}} choose { tfrac {nl} { 2}}} rho ^ {n-2s} & = (- 1) ^ { tfrac {nl} {2}} { sqrt {2n + D}} sum _ {s = 0} ^ { tfrac {nl} {2}} (- 1) ^ {s} {{ tfrac {nl} {2}} choose s} {s-1 + { tfrac {n + l + D} {2} } choose { tfrac {nl} {2}}} rho ^ {2s + l} & = (- 1) ^ { tfrac {nl} {2}} { sqrt {2n + D}} {{ tfrac {n + l + D} {2}} - 1 choose { tfrac {nl} {2}}} rho ^ {l} {} _ {2} F_ {1} left ( - { tfrac {nl} {2}}, { tfrac {n + l + D} {2}}; l + { tfrac {D} {2}}; rho ^ {2} right) end {выровнено}}}$

даже для ${ Displaystyle п-л geq 0}$, остальное равно нулю.

Смотрите также

Викискладе есть медиафайлы по теме Полиномы Цернике.

• Многочлены Якоби
• Теория Нейбура – ​​Зернике
• Псевдо-полиномы Цернике

использованная литература

• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Цернике». MathWorld.
• Андерсен, Торбен Б. (2018). «Эффективные и надежные рекуррентные соотношения для многочленов окружности Цернике и их производных в декартовых координатах». Опт. Экспресс. 26 (15): 18878–18896. Bibcode:2018OExpr..2618878A. Дои:10.1364 / OE.26.018878. PMID 30114148.
• Bhatia, A.B .; Вольф, Э. (1952). «Многочлены круга Цернике, встречающиеся в теории дифракции». Proc. Phys. Soc. B. 65 (11): 909–910. Bibcode:1952ППСБ ... 65..909Б. Дои:10.1088/0370-1301/65/11/112.
• Callahan, P.G .; Де Грэф, М. (2012). «Подгонка и реконструкция формы преципитата с помощью функций 3D Цернике». Модель. Simul. Мат. Sci. Энгин. 20 (1): 015003. Bibcode:2012MSMSE..20a5003C. Дои:10.1088/0965-0393/20/1/015003.
• Кэмпбелл, К. Э. (2003). «Матричный метод для нахождения нового набора коэффициентов Цернике формирует исходный набор при изменении радиуса апертуры». J. Opt. Soc. Am. А. 20 (2): 209. Bibcode:2003JOSAA..20..209C. Дои:10.1364 / JOSAA.20.000209. PMID 12570287.
• Cerjan, C. (2007). «Представление Цернике-Бесселя и его приложение к преобразованиям Ганкеля». J. Opt. Soc. Am. А. 24 (6): 1609–16. Bibcode:2007JOSAA..24.1609C. Дои:10.1364 / JOSAA.24.001609. PMID 17491628.
• Комастри, С. А .; Perez, L. I .; Perez, G.D .; Martin, G .; Бастида Цержан, К. (2007). «Коэффициенты расширения Цернике: изменение масштаба и децентрализация для разных учеников и оценка аберраций роговицы». J. Opt. Soc. Am. А. 9 (3): 209–221. Bibcode:2007JOptA ... 9..209C. Дои:10.1088/1464-4258/9/3/001.
• Конфорти, Г. (1983). «Коэффициенты аберрации Цернике от Зейделя и коэффициенты степенного ряда более высокого порядка». Опт. Латыш. 8 (7): 407–408. Bibcode:1983 ОптЛ .... 8..407С. Дои:10.1364 / OL.8.000407. PMID 19718130.
• Дай, Г-м .; Махаджан, В. Н. (2007). «Кольцевые многочлены Цернике и атмосферная турбулентность». J. Opt. Soc. Am. А. 24 (1): 139. Bibcode:2007JOSAA..24..139D. Дои:10.1364 / JOSAA.24.000139. PMID 17164852.
• Дай, Г-м. (2006). «Масштабирование коэффициентов расширения Цернике к меньшим размерам зрачка: более простая формула». J. Opt. Soc. Am. А. 23 (3): 539. Bibcode:2006JOSAA..23..539D. Дои:10.1364 / JOSAA.23.000539. PMID 16539048.
• Díaz, J. A .; Fernández-Dorado, J .; Pizarro, C .; Араса, Дж. (2009). «Коэффициенты Цернике для концентрических, круговых, масштабных учеников: эквивалентное выражение». Журнал современной оптики. 56 (1): 149–155. Bibcode:2009JMOp ... 56..149D. Дои:10.1080/09500340802531224. S2CID 122620015.
• Díaz, J. A .; Фернандес-Дорадо, Х. «Коэффициенты Цернике для концентрических, круговых и масштабных зрачков». из Демонстрационного проекта Вольфрама.
• Фарохи, Саджад; Шамсуддин, Сити Мариям; Flusser, Ян; Sheikh, U.U .; Хансари, Мохаммад; Джафари-Хузани, Курош (2013). «Распознавание лиц в ближнем инфракрасном диапазоне с инвариантным вращением и шумом с помощью моментов Цернике и спектрального регрессионного дискриминантного анализа». Журнал электронного изображения. 22 (1): 013030. Bibcode:2013JEI .... 22a3030F. Дои:10.1117 / 1.JEI.22.1.013030. S2CID 16758261.
• Gu, J .; Shu, H. Z .; Toumoulin, C .; Луо, Л. М. (2002). «Новый алгоритм для быстрого вычисления моментов Зернике». Распознавание образов. 35 (12): 2905–2911. Дои:10.1016 / S0031-3203 (01) 00194-7.
• Херрманн, Дж. (1981). «Перекрестная связь и наложение спектров при оценке модального волнового фронта». J. Opt. Soc. Am. 71 (8): 989. Bibcode:1981JOSA ... 71..989H. Дои:10.1364 / JOSA.71.000989.
• Hu, P.H .; Stone, J .; Стэнли, Т. (1989). «Применение полиномов Цернике к задачам распространения в атмосфере». J. Opt. Soc. Am. А. 6 (10): 1595. Bibcode:1989JOSAA ... 6.1595H. Дои:10.1364 / JOSAA.6.001595.
• Кинтнер, Э. К. (1976). «О математических свойствах полиномов Цернике». Опт. Acta. 23 (8): 679–680. Bibcode:1976AcOpt..23..679K. Дои:10.1080/713819334.
• Лоуренс, Г. Н .; Чоу, В. В. (1984). "Томография волнового фронта методом разложения полиномов Цернике". Опт. Латыш. 9 (7): 267. Bibcode:1984OptL .... 9..267L. Дои:10.1364 / OL.9.000267. PMID 19721566.
• Лю, Хайгуан; Моррис, Ричард Дж .; Hexemer, A .; Грандисон, Скотт; Зварт, Питер Х. (2012). «Расчет профилей малоуглового рассеяния с трехмерными полиномами Цернике». Acta Crystallogr. А. 68 (2): 278–285. Дои:10.1107 / S010876731104788X. PMID 22338662.
• Lundström, L .; Унсбо, П. (2007). «Преобразование коэффициентов Цернике: масштабированные, сдвинутые и повернутые волновые фронты с круглыми и эллиптическими зрачками». J. Opt. Soc. Am. А. 24 (3): 569–77. Bibcode:2007JOSAA..24..569L. Дои:10.1364 / JOSAA.24.000569. PMID 17301846.
• Махаджан, В. Н. (1981). «Кольцевые многочлены Цернике для систем визуализации с кольцевыми зрачками». J. Opt. Soc. Am. 71: 75. Bibcode:1981JOSA ... 71 ... 75M. Дои:10.1364 / JOSA.71.000075.
• Матар, Р. Дж. (2007). "Метод Ньютона третьего порядка для полиномиальных нулей Цернике". arXiv:0705.1329 [math.NA].
• Матар, Р. Дж. (2009). «Основание Зернике декартовых преобразований». Сербский астрономический журнал. 179 (179): 107–120. arXiv:0809.2368. Bibcode:2009SerAJ.179..107M. Дои:10.2298 / SAJ0979107M. S2CID 115159231.
• Prata Jr, A .; Руш, В. В. Т. (1989). «Алгоритм вычисления коэффициентов разложения многочленов Цернике». Appl. Opt. 28 (4): 749–54. Bibcode:1989АпОпт..28..749P. Дои:10.1364 / AO.28.000749. PMID 20548554.
• Швигерлинг, Дж. (2002). «Масштабирование коэффициентов расширения Цернике для разных размеров зрачка». J. Opt. Soc. Am. А. 19 (10): 1937–45. Bibcode:2002JOSAA..19.1937S. Дои:10.1364 / JOSAA.19.001937. PMID 12365613.
• Шеппард, К. Дж. Р.; Кэмпбелл, S .; Хиршхорн, М. Д. (2004). «Разложение Цернике разделимых функций в декартовых координатах». Appl. Opt. 43 (20): 3963–6. Bibcode:2004ApOpt..43.3963S. Дои:10.1364 / AO.43.003963. PMID 15285082.
• Shu, H .; Luo, L .; Han, G .; Коатрие, Ж.-Л. (2006). «Общий метод получения взаимосвязи между двумя наборами коэффициентов Цернике, соответствующих разным размерам апертуры». J. Opt. Soc. Am. А. 23 (8): 1960–1966. Bibcode:2006JOSAA..23.1960S. Дои:10.1364 / JOSAA.23.001960. ЧВК 1961626. PMID 16835654.
• Swantner, W .; Чоу, В. В. (1994). «Ортогонализация по Граму-Шмидту полиномов Цернике для общей формы апертуры». Appl. Opt. 33 (10): 1832–7. Bibcode:1994ApOpt..33.1832S. Дои:10.1364 / AO.33.001832. PMID 20885515.
• Танго, В. Дж. (1977). «Круговые многочлены Зернике и их применение в оптике». Appl. Phys. А. 13 (4): 327–332. Bibcode:1977ApPhy..13..327T. Дои:10.1007 / BF00882606. S2CID 120469275.
• Тайсон, Р. К. (1982). «Преобразование коэффициентов аберрации Цернике в коэффициенты аберрации Зейделя и степенных рядов более высокого порядка». Опт. Латыш. 7 (6): 262. Bibcode:1982 ОптЛ .... 7..262Т. Дои:10.1364 / OL.7.000262. PMID 19710893.
• Wang, J. Y .; Сильва, Д. Э. (1980). «Интерпретация волнового фронта с помощью полиномов Цернике». Appl. Opt. 19 (9): 1510–8. Bibcode:1980ApOpt .. 19,15 · 10 Вт. Дои:10.1364 / AO.19.001510. PMID 20221066.
• Баракат, Р. (1980). "Оптимальные сбалансированные аберрации волнового фронта для радиально-симметричных распределений амплитуды: Обобщения полиномов Цернике". J. Opt. Soc. Am. 70 (6): 739. Bibcode:1980JOSA ... 70..739B. Дои:10.1364 / JOSA.70.000739.
• тен Браммелаар, Т. А. (1996). «Моделирование атмосферных волновых аберраций и астрономических приборов с использованием полиномов Зернике». Опт. Сообщество. 132 (3–4): 329–342. Bibcode:1996OptCo.132..329T. Дои:10.1016/0030-4018(96)00407-5.
• Новотни, М .; Кляйн, Р. (2003). 3D-дескрипторы Цернике для извлечения формы на основе содержимого (PDF). Материалы 8-го симпозиума ACM по твердотельному моделированию и приложениям. п. 216. CiteSeerX 10.1.1.14.4970. Дои:10.1145/781606.781639. ISBN 978-1581137064. S2CID 10514681.
• Новотни, М .; Кляйн, Р. (2004). «Получение формы с использованием трехмерных дескрипторов Цернике» (PDF). Системы автоматизированного проектирования. 36 (11): 1047–1062. CiteSeerX 10.1.1.71.8238. Дои:10.1016 / j.cad.2004.01.005.
• Фарохи, Саджад; Шамсуддин, Сити Мариям; Sheikh, U.U .; Флюссер, янв (2014). "Распознавание лиц в ближнем инфракрасном диапазоне: сравнение подходов на основе моментов". Конспект лекций по электротехнике. 291 (1): 129–135. Дои:10.1007/978-981-4585-42-2_15.
• Фарохи, Саджад; Шамсуддин, Сити Мариям; Flusser, Ян; Sheikh, U.U .; Хансари, Мохаммад; Джафари-Хузани, Курош (2014). «Распознавание лиц в ближнем инфракрасном диапазоне путем комбинирования моментов Зернике и недецимации дискретного вейвлет-преобразования». Цифровая обработка сигналов. 31 (1): 13–27. Дои:10.1016 / j.dsp.2014.04.008.

внешние ссылки

• Расширенный веб-сайт Ниджбоэр-Зернике
• Код MATLAB для быстрого вычисления моментов Цернике
• Библиотека Python / NumPy для вычисления полиномов Цернике
• Аберрации Цернике в Оптика телескопа
• Пример: использование WolframAlpha для построения полиномов Цернике
• orthopy, пакет Python, вычисляющий ортогональные многочлены (включая многочлены Цернике)