WikiDer > Многочлены Цернике

Zernike polynomials

Первые 21 многочлен Цернике, упорядоченные по вертикали по радиальному градусу и по горизонтали по азимутальному градусу

В математика, то Многочлены Цернике площадь последовательность из многочлены которые ортогональный на единичный диск. Назван в честь физика-оптика Фриц Зернике, победитель 1953 г. Нобелевская премия по физике и изобретатель фазово-контрастная микроскопия, они играют важную роль в различных областях оптики, таких как луч оптика и изображения.[1][2]

Определения

Есть четный и нечетный Полиномы Цернике. Четные многочлены Цернике определяются как

(даже функция по азимутальному углу ), а нечетные полиномы Цернике определяются как

(нечетная функция по азимутальному углу ) где м и п неотрицательны целые числа с участием п ≥ м ≥ 0 (т = 0 только для четного варианта), это азимутальный угол, ρ это радиальное расстояние , и - радиальные многочлены, определенные ниже. Многочлены Цернике имеют свойство ограничиваться диапазоном от -1 до +1, т. Е. . Радиальные многочлены определены как

для четного числа пм, а для нечетного числа пм. Особая ценность

Другие представления

Переписывая отношения факториалов в радиальной части как произведения биномы показывает, что коэффициенты являются целыми числами:

.

Обозначение как завершающееся Гауссовские гипергеометрические функции полезно для выявления рецидивов, чтобы продемонстрировать, что они являются частными случаями Многочлены Якоби, записать дифференциальные уравнения и т. д .:

для пм даже.

Фактор в радиальном полиноме может быть расширен в Базис Бернштейна из даже для или раз в зависимости от для нечетных В диапазоне . Следовательно, радиальный многочлен может быть выражен конечным числом многочленов Бернштейна с рациональными коэффициентами:

Последовательные индексы Нолля

Приложения часто включают линейную алгебру, где интегралы по произведениям многочленов Цернике и некоторого другого фактора составляют матричные элементы. Для перечисления строк и столбцов этих матриц одним индексом используется обычное отображение двух индексов. п и м ' к единому индексу j был представлен Ноллом.[3] Таблица этой ассоциации начинается следующим образом (последовательность A176988 в OEIS).

п, м '0,01,11,−12,02,−22,23,−13,13,−33,3
j12345678910
п, м '4,04,24,−24,44,−45,15,−15,35,−35,5
j11121314151617181920

Правило следующее.

  • Четные многочлены Цернике Z (с четными азимутальными частями , где так как положительное число) получить четные индексы j.
  • Странный Z получает (с нечетными азимутальными частями , где так как отрицательное число) нечетные индексы j.
  • В рамках данного п, меньшие значения |м| получить более низкийj.

Стандартные индексы OSA / ANSI

OSA[4] и ANSI одноиндексные полиномы Цернике с использованием:

п, м '0,01,-11,12,-22,02,23,-33,-13,13,3
j0123456789
п, м '4,-44,-24,04,24,45,-55,-35,-15,15,3
j10111213141516171819

Индексы Fringe / Университета Аризоны

Схема индексации Fringe используется в коммерческом программном обеспечении для проектирования оптики и оптических испытаниях.[5][6]

где это знак или сигнум функция. Первые 20 дополнительных номеров перечислены ниже.

п, м '0,01,11,−12,02,22,-23,13,-14,03,3
j12345678910
п, м '3,-34,24,−25,15,−16,04,44,-45,35,-3
j11121314151617181920

Индексы Вайанта

Джеймс С. Вайант использует схему индексации «Fringe», за исключением того, что она начинается с 0 вместо 1 (вычитание 1).[7] Этот метод обычно используется, включая программное обеспечение для анализа интерферограмм в интерферометрах Zygo и программное обеспечение с открытым исходным кодом DFTFringe.

Свойства

Ортогональность

Ортогональность в радиальной части составляет[8]

или

Ортогональность в угловой части представлена элементарный

где (иногда называют Фактор Неймана поскольку он часто появляется вместе с функциями Бесселя) определяется как 2 если и 1 если . Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по отношению к обоим индексам при интегрировании по единичному кругу,

где это Якобиан круговой системы координат, и где и оба четные.

Преобразование Зернике

Любое достаточно гладкое вещественное фазовое поле над единичным кругом могут быть представлены через его коэффициенты Цернике (нечетные и четные), точно так же, как периодические функции находят ортогональное представление с Ряд Фурье. У нас есть

где коэффициенты можно вычислить с помощью внутренние продукты. На пространстве функций на единичном диске, существует внутренний продукт, определяемый

Тогда коэффициенты Цернике можно выразить следующим образом:

В качестве альтернативы можно использовать известные значения фазовой функции г на круговой сетке, чтобы сформировать систему уравнений. Фазовая функция извлекается с помощью взвешенного произведения с неизвестными коэффициентами с (известными значениями) полинома Цернике по единичной сетке. Следовательно, коэффициенты также могут быть найдены путем решения линейной системы, например, путем обращения матрицы. В быстрых алгоритмах вычисления прямого и обратного преобразования Цернике используются свойства симметрии тригонометрический функции, разделимость радиальной и азимутальной частей полиномов Цернике и их вращательные симметрии.

Симметрии

Четность относительно отражения вдоль Икс ось

Четность относительно отражения точки в центре координат равна

где также можно было бы написать потому что является четным для соответствующих ненулевых значений. Радиальные многочлены также могут быть четными или нечетными, в зависимости от порядка п или м:

Периодичность тригонометрических функций подразумевает инвариантность при повороте на кратные радиан вокруг центра:

Отношения рецидива

Многочлены Цернике удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, которое не зависит ни от степени, ни от азимутального порядка радиальных многочленов:[9]

Из определения видно, что и . Следующее трехчленное рекуррентное соотношение[10] затем позволяет вычислить все остальные :

Вышеупомянутое соотношение особенно полезно, поскольку производная от можно вычислить из двух радиальных многочленов Цернике смежной степени:[10]

Примеры

Радиальные многочлены

Первые несколько радиальных многочленов:

Полиномы Цернике

Первые несколько режимов Зернике с OSA / ANSI и Нолл одиночные индексы, показаны ниже. Они нормализованы так, что: .

 OSA / ANSI
показатель
()
Нолл
показатель
()
Wyant
показатель
()
Бахрома / UA
показатель
()
Радиальный
степень
()
Азимутальный
степень
()
Классическое название
00010001000Поршень (увидеть, Распределение полукруга Вигнера)
010302031−1Наклон (Y-наклон, вертикальный наклон)
020201021+1Подсказка (X-Tilt, горизонтальный наклон)
030505062−2Косой астигматизм
04040304200Расфокусировать (продольное положение)
050604052+2Вертикальный астигматизм
060910113−3Вертикальный трилистник
070707083−1Вертикальная кома
080806073+1Горизонтальная кома
091009103+3Косой трилистник
101517184−4Наклонный четырехлистник
111312134−2Косой вторичный астигматизм
12110809400Первичная сферическая
131211124+2Вертикальный вторичный астигматизм
141416174+4Вертикальный четырехлистник

Приложения

Функции являются основой определяется по области круговой поддержки, обычно в плоскости зрачка классической оптической визуализации при видимых и инфракрасных диапазонах длин волн через систему линз и зеркала конечного диаметра. Их преимущества - это простые аналитические свойства, унаследованные от простоты радиальных функций и факторизации радиальных и азимутальных функций; это приводит, например, к выражениям в замкнутой форме двумерных преобразование Фурье в терминах функций Бесселя.[11][12] Их недостаток, особенно если высокий п участвуют, является неравномерным распределением узловых линий по единичному диску, что вносит эффекты звона вблизи периметра , что часто приводит к попыткам определить другие ортогональные функции над круговым диском.[13][14][15]

В прецизионном оптическом производстве полиномы Цернике используются для характеристики ошибок более высокого порядка, наблюдаемых при интерферометрическом анализе. В датчиках наклона волнового фронта, таких как Шак-ХартманнКоэффициенты Цернике волнового фронта могут быть получены путем подгонки измеренных наклонов с помощью полиномиальных производных Цернике, усредненных по субапертурам выборки.[16] В оптометрия и офтальмология, Полиномы Цернике используются для описания аберрации волнового фронта из роговица или линза от идеальной сферической формы, в результате чего ошибки рефракции. Они также обычно используются в адаптивная оптика, где они могут быть использованы для характеристики атмосферное искажение. Очевидными приложениями для этого являются инфракрасная или визуальная астрономия и спутниковые снимки.

Другое применение полиномов Цернике можно найти в расширенной теории Нейбура – ​​Цернике. дифракция и аберрации.

Многочлены Цернике широко используются как базисные функции имиджевые моменты. Поскольку многочлены Цернике равны ортогональный по отношению друг к другу моменты Зернике могут представлять свойства изображения без избыточности или перекрытия информации между моментами. Хотя моменты Зернике существенно зависят от масштабирование и перевод объекта в регион интереса (ROI), их величины не зависят от угла поворота объекта.[17] Таким образом, их можно использовать для извлечения Особенности из изображений, описывающих характеристики формы объекта. Например, моменты Зернике используются в качестве дескрипторов формы для классификации доброкачественных и злокачественных груди[18] или поверхность вибрирующих дисков.[19] Моменты Зернике также использовались для количественной оценки формы линий раковых клеток остеосаркомы на уровне отдельных клеток.[20]

Высшие измерения

Концепция транслируется в более высокие измерения D если многочлены в декартовых координатах преобразуются в гиперсферические координаты, , умноженный на произведение многочленов Якоби от угловых переменных. В размеры, угловые переменные сферические гармоники, Например. Линейные сочетания сил определить ортогональный базис удовлетворение

.

(Обратите внимание, что фактор поглощен определением р здесь, тогда как в нормализация выбрана несколько иначе. Это в значительной степени дело вкуса, в зависимости от того, желаете ли вы сохранить целочисленный набор коэффициентов или предпочитаете более точные формулы, если задействована ортогонализация.) Явное представление

даже для , остальное равно нулю.

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ Зернике, Ф. (1934). "Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode". Physica. 1 (8): 689–704. Bibcode:1934Phy ..... 1..689Z. Дои:10.1016 / S0031-8914 (34) 80259-5.
  2. ^ Родился, Макс & Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (7-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 986. ISBN 9780521642224.
  3. ^ Нолл, Р. Дж. (1976). «Полиномы Цернике и атмосферная турбулентность» (PDF). J. Opt. Soc. Am. 66 (3): 207. Bibcode:1976JOSA ... 66..207N. Дои:10.1364 / JOSA.66.000207.
  4. ^ Thibos, L.N .; Applegate, R.A .; Schwiegerling, J. T .; Уэбб Р. (2002). «Стандарты отчетности об оптических аберрациях глаз» (PDF). Журнал рефракционной хирургии. 18 (5): S652-60. PMID 12361175.
  5. ^ Лумис, Дж., "Компьютерная программа для анализа интерферометрических данных", Оптические интерферограммы, сокращение и интерпретация, ASTM STP 666, AH Guenther и DH Liebenberg, Eds., Американское общество испытаний и материалов, 1978, стр. 71–86 .
  6. ^ Генберг, В. Л .; Michels, G.J .; Дойл, К. Б. (2002). «Ортогональность многочленов Цернике». Оптомеханическое проектирование и инжиниринг 2002 г.. Proc SPIE. 4771. С. 276–286. Дои:10.1117/12.482169.
  7. ^ Эрик П. Гудвин; Джеймс С. Вайант (2006). Полевое руководство по интерферометрическому оптическому тестированию. п. 25. ISBN 0-8194-6510-0.
  8. ^ Lakshminarayanan, V .; Флек, Андре (2011). «Многочлены Цернике: руководство». J. Mod. Opt. 58 (7): 545–561. Bibcode:2011JMOp ... 58..545л. Дои:10.1080/09500340.2011.554896. S2CID 120905947.
  9. ^ Хонарвар Шакибаи, Бармак (2013). «Рекурсивная формула для вычисления радиальных многочленов Цернике». Опт. Латыш. 38 (14): 2487–2489. Дои:10.1364 / OL.38.002487. PMID 23939089.
  10. ^ а б Кинтнер, Э. К. (1976). «О математических свойствах полиномов Цернике». Опт. Acta. 23 (8): 679–680. Bibcode:1976AcOpt..23..679K. Дои:10.1080/713819334.
  11. ^ Татулли, Э. (2013). «Преобразование коэффициентов Цернике: метод на основе Фурье для масштабированных, сдвинутых и повернутых апертур волнового фронта». J. Opt. Soc. Am. А. 30 (4): 726–32. arXiv:1302.7106. Bibcode:2013JOSAA..30..726T. Дои:10.1364 / JOSAA.30.000726. PMID 23595334. S2CID 23491106.
  12. ^ Янссен, А. Дж. Э. М. (2011). «Новые аналитические результаты для полиномов окружности Цернике из основного результата теории дифракции Нейбора-Цернике». Журнал Европейского оптического общества: быстрые публикации. 6: 11028. Bibcode:2011JEOS .... 6E1028J. Дои:10.2971 / jeos.2011.11028.
  13. ^ Баракат, Ричард (1980). "Оптимальные сбалансированные аберрации волнового фронта для радиально-симметричных распределений амплитуды: Обобщения полиномов Цернике". J. Opt. Soc. Am. 70 (6): 739–742. Bibcode:1980JOSA ... 70..739B. Дои:10.1364 / JOSA.70.000739.
  14. ^ Янссен, А. Дж. Э. М. (2011). «Обобщение полиномов круга Цернике для прямых и обратных задач теории дифракции». arXiv:1110.2369 [математика].
  15. ^ Матар, Р. Дж. (2018). «Ортогональная базисная функция над единичной окружностью с минимаксным свойством». arXiv:1802.09518 [math.NA].
  16. ^ Аконди, Вьяс; Дубра, Альфредо (22 июня 2020 г.). «Средний градиент полиномов Цернике по многоугольникам». Оптика Экспресс. 28 (13): 18876–18886. Дои:10.1364 / OE.393223. ISSN 1094-4087. PMID 32672177.
  17. ^ Тахмасби, А. (2010). Эффективная система диагностики массы груди с использованием моментов Цернике. 17-я Иранская конф. по биомедицинской инженерии (ICBME'2010). Исфахан, Иран: IEEE. С. 1–4. Дои:10.1109 / ICBME.2010.5704941.
  18. ^ Тахмасби, А .; Саки, Ф .; Шокухи, С. (2011). «Классификация доброкачественных и злокачественных образований на основе моментов Зернике». Компьютеры в биологии и медицине. 41 (8): 726–735. Дои:10.1016 / j.compbiomed.2011.06.009. PMID 21722886.
  19. ^ Рдзанек, В. П. (2018). «Звуковое излучение колеблющейся круглой пластины с упругой опорой, встроенной в плоский экран, пересмотренное с использованием круговых полиномов Цернике». J. Sound Vibr. 434: 91–125. Bibcode:2018JSV ... 434 ... 92R. Дои:10.1016 / j.jsv.2018.07.035.
  20. ^ Ализаде, Элахе; Lyons, Samanthe M; Замок, Иордания M; Прасад, Ашок (2016). «Измерение систематических изменений в форме инвазивных раковых клеток с использованием моментов Зернике». Интегративная биология. 8 (11): 1183–1193. Дои:10.1039 / C6IB00100A. PMID 27735002.

внешние ссылки