WikiDer > Гипергеометрическая функция

В математика, гауссовский или обычный гипергеометрическая функция ₂F₁(а,б;c;z) это специальная функция представлен гипергеометрический ряд, который включает в себя множество других специальных функций, таких как специфический или предельные случаи. Это решение второго порядка линейный обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE). Каждое линейное ОДУ второго порядка с тремя регулярные особые точки можно преобразовать в это уравнение.

Для систематических списков некоторых из многих тысяч опубликованных идентичности с гипергеометрической функцией, см. справочные работы автора Erdélyi et al. (1953) и Старый Даалхуис (2010) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFOlde_Daalhuis2010 (Помогите). Не существует известной системы для организации всех идентичностей; действительно, не существует известного алгоритма, который может генерировать все идентичности; известен ряд различных алгоритмов, которые генерируют разные серии идентификаторов. Теория алгоритмического открытия идентичностей остается активной темой исследований.

История

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джон Уоллис в его книге 1655 года Arithmetica Infinitorum.

Гипергеометрические ряды изучались Леонард Эйлер, но первое полное систематическое лечение было проведено Карл Фридрих Гаусс (1813).

Исследования девятнадцатого века включали исследования Эрнст Куммер (1836), а фундаментальная характеристика Бернхард Риманн (1857) гипергеометрической функции с помощью дифференциального уравнения, которому она удовлетворяет.

Риман показал, что дифференциальное уравнение второго порядка для ₂F₁(z), рассматриваемые в комплексной плоскости, могут быть охарактеризованы (на Сфера Римана) его тремя регулярные особенности.

Случаи, когда решения алгебраические функции были найдены Герман Шварц (Список Шварца).

Гипергеометрический ряд

Гипергеометрическая функция определена для |z| < 1 посредством степенной ряд

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {n} (b) _ {n}} {(c) _ {n}}} { frac {z ^ {n}} {n!}}.}$

Не определено (или бесконечно), если c равно неположительному целому числу. Здесь (q)_п это (поднимается) Символ Поххаммера, который определяется:

${ displaystyle (q) _ {n} = { begin {cases} 1 & n = 0 q (q + 1) cdots (q + n-1) & n> 0 end {cases}}}$

Серия завершается, если а или б является неположительным целым числом, и в этом случае функция сводится к полиному:

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (- m, b; c; z) = sum _ {n = 0} ^ {m} (- 1) ^ {n} { binom {m} {n}} { frac {(b) _ {n}} {(c) _ {n}}} z ^ {n}.}$

Для сложных аргументов z с |z| ≥ 1 это может быть аналитически продолжение по любому пути в комплексной плоскости, который избегает точек ветвления 1 и бесконечности.

В качестве c → −м, где м является целым неотрицательным числом, ₂F₁(z) → ∞, но если разделить на Γ (c), у нас есть предел:

${ displaystyle lim _ {c to -m} { frac {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z)} { Gamma (c)}} = { frac { (a) _ {m + 1} (b) _ {m + 1}} {(m + 1)!}} z ^ {m + 1} {} _ {2} F_ {1} (a + m + 1, b + m + 1; m + 2; z)}$

₂F₁(z) самый обычный вид обобщенный гипергеометрический ряд _пF_q, и часто обозначается просто F(z).

Формулы дифференцирования

Используя личность ${ Displaystyle (а) _ {п + 1} = а (а + 1) _ {п}}$, показано, что

${ displaystyle { frac {d} {dz}} {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = { frac {ab} {c}} {} _ {2 } F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z)}$

и в более общем плане

${ displaystyle { frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = { frac {(a) _ {n} (b) _ {n}} {(c) _ {n}}} {} _ {2} F_ {1} (a + n, b + n; c + n; z)}$

В частном случае, когда ${ displaystyle c = a + 1}$, у нас есть

${ displaystyle { frac {d} {dz}} {} _ {2} F_ {1} (a, b; a + 1; z) = { frac {d} {dz}} {} _ {2} F_ {1} (b, a; a + 1; z) = { frac {a ((1-z) ^ {- b} - {} _ {2} F_ {1} (a, b ; 1 + a; z))} {z}}}$

Особые случаи

Многие из общих математических функций могут быть выражены в терминах гипергеометрической функции или как ее предельные случаи. Вот некоторые типичные примеры:

${ displaystyle { begin {align} _ {2} F_ {1} left (1,1; 2; -z right) & = { frac { ln (1 + z)} {z}} _ {2} F_ {1} (a, b; b; z) & = (1-z) ^ {- a}, quad ( forall b) _ {2} F_ {1} left ({ frac {1} {2}}, { frac {1} {2}}; { frac {3} {2}}; z ^ {2} right) & = { frac { arcsin (z)} {z}} , _ {2} F_ {1} left ({ frac {1} {3}}, { frac {2} {3}}; { frac {3 } {2}}; - { frac {27x ^ {2}} {4}} right) & = { frac {{ sqrt [{3}] { frac {3x { sqrt {3}}) + { sqrt {27x ^ {2} +4}}} {2}}} - { sqrt [{3}] { frac {2} {3x { sqrt {3}} + { sqrt {27x) ^ {2} +4}}}}}} {x { sqrt {3}}}} конец {выровнено}}}$

В конфлюэнтная гипергеометрическая функция (или функция Куммера) может быть задана как предел гипергеометрической функции

${ Displaystyle M (a, c, z) = lim _ {b to infty} {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; b ^ {- 1} z)}$

поэтому все функции, которые являются его частными случаями, например Функции Бесселя, можно выразить как пределы гипергеометрических функций. К ним относятся большинство часто используемых функций математической физики.

Функции Лежандра являются решениями дифференциального уравнения второго порядка с 3 регулярными особыми точками, поэтому их можно выразить через гипергеометрическую функцию многими способами, например

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, 1-a; c; z) = Gamma (c) z ^ { tfrac {1-c} {2}} (1-z) ^ { tfrac {c-1} {2}} P _ {- a} ^ {1-c} (1-2z)}$

Несколько ортогональных многочленов, в том числе Многочлены Якоби п^{(α, β)}
_п и их частные случаи Полиномы Лежандра, Полиномы Чебышева, Полиномы Гегенбауэра можно записать в терминах гипергеометрических функций, используя

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (- n, alpha +1+ beta + n; alpha +1; x) = { frac {n!} {( alpha +1) _ {n}}} P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (1-2x)}$

Другие полиномы, которые являются частными случаями, включают Полиномы Кравчука, Полиномы Мейкснера, Многочлены Мейкснера – Поллачека.

Эллиптические модульные функции иногда можно выразить как функции, обратные отношениям гипергеометрических функций, аргументы которых а, б, c равны 1, 1/2, 1/3, ... или 0. Например, если

${ displaystyle tau = { rm {i}} { frac {{} _ {2} F_ {1} { bigl (} { frac {1} {2}}, { frac {1} { 2}}; 1; 1-z { bigr)}} {{} _ {2} F_ {1} { bigl (} { frac {1} {2}}, { frac {1} {2 }}; 1; z { bigr)}}}}$

тогда

${ Displaystyle г = каппа ^ {2} ( тау) = { гидроразрыва { тета _ {2} ( тау) ^ {4}} { тета _ {3} ( тау) ^ {4} }}}$

является эллиптической модулярной функцией от τ.

Неполные бета-функции B_Икс(п,q) связаны

${ Displaystyle B_ {x} (p, q) = { tfrac {x ^ {p}} {p}} {} _ {2} F_ {1} (p, 1-q; p + 1; x) }$

В полные эллиптические интегралы K и E даны

${ Displaystyle К (к) = { tfrac { pi} {2}} , _ {2} F_ {1} left ({ tfrac {1} {2}}, { tfrac {1} { 2}}; 1; k ^ {2} right)}$

${ displaystyle E (k) = { tfrac { pi} {2}} , _ {2} F_ {1} left (- { tfrac {1} {2}}, { tfrac {1}) {2}}; 1; k ^ {2} right)}$

Гипергеометрическое дифференциальное уравнение

Гипергеометрическая функция является решением гипергеометрического дифференциального уравнения Эйлера

${ Displaystyle z (1-z) { гидроразрыва {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + left [c- (a + b + 1) z right] { frac {dw } {dz}} - ab , w = 0.}$

который имеет три регулярные особые точки: 0,1 и ∞. Обобщение этого уравнения на три произвольных регулярных особых точки дается формулой Дифференциальное уравнение Римана. Любое дифференциальное уравнение второго порядка с тремя регулярными особыми точками можно преобразовать в гипергеометрическое дифференциальное уравнение заменой переменных.

Решения в особых точках

Решения гипергеометрического дифференциального уравнения строятся из гипергеометрического ряда ₂F₁(а,б;c;z). Уравнение имеет два линейно независимый решения. В каждой из трех особых точек 0, 1, ∞ обычно есть два специальных решения вида Икс^s раз голоморфная функция Икс, где s является одним из двух корней указательного уравнения и Икс - локальная переменная, обращающаяся в нуль в регулярной особой точке. Это дает 3 × 2 = 6 специальных решений, как показано ниже.

Вокруг точки z = 0, два независимых решения есть, если c не является целым неположительным числом,

${ displaystyle , _ {2} F_ {1} (a, b; c; z)}$

и при условии, что c не целое число,

${ displaystyle z ^ {1-c} , _ {2} F_ {1} (1 + a-c, 1 + b-c; 2-c; z)}$

Если c - целое неположительное число 1−м, то первого из этих решений не существует и его необходимо заменить на ${ displaystyle z ^ {m} F (a + m, b + m; 1 + m; z).}$ Второго решения не существует, когда c является целым числом больше 1 и равно первому решению или его замене, когда c любое другое целое число. Так когда c является целым числом, для второго решения необходимо использовать более сложное выражение, равное умножению первого решения на ln (z), плюс еще ряд в степенях zс участием функция дигаммы. Видеть Старый Даалхуис (2010) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFOlde_Daalhuis2010 (Помогите) для подробностей.

Около z = 1, если c − а − б не является целым числом, есть два независимых решения

${ displaystyle , _ {2} F_ {1} (a, b; 1 + a + b-c; 1-z)}$

и

${ Displaystyle (1-z) ^ {c-a-b} ; _ {2} F_ {1} (c-a, c-b; 1 + c-a-b; 1-z)}$

Около z = ∞, если а − б не является целым числом, есть два независимых решения

${ displaystyle z ^ {- a} , _ {2} F_ {1} left (a, 1 + a-c; 1 + a-b; z ^ {- 1} right)}$

и

${ displaystyle z ^ {- b} , _ {2} F_ {1} left (b, 1 + b-c; 1 + b-a; z ^ {- 1} right).}$

Опять же, когда не выполняются условия нецелостности, существуют другие более сложные решения.

Любые 3 из 6 вышеупомянутых решений удовлетворяют линейной зависимости, поскольку пространство решений двумерно, что дает (⁶
₃) = 20 линейных отношений между ними, называемых формулы подключения.

24 решения Куммера

Второй заказ Фуксово уравнение с п Особые точки имеют группу симметрий, действующих (проективно) на ее решениях, изоморфных Группа Кокстера D_п порядка п!2^п−1. Для гипергеометрического уравнения п= 3, поэтому группа имеет порядок 24 и изоморфна симметрической группе в 4 точках и была впервые описана формулойКуммер. Изоморфизм с симметрической группой является случайным и не имеет аналога для более чем трех особых точек, и иногда лучше думать о группе как о расширении симметрической группы на трех точках (действующей как перестановки трех особых точек) посредством а Кляйн 4-группа (элементы которого меняют знаки разности показателей в четном числе особых точек). Группа Куммера из 24 преобразований порождается тремя преобразованиями, принимающими решение F(а,б;c;z) одному из

${ displaystyle (1-z) ^ {- a} F left (a, c-b; c; { tfrac {z} {z-1}} right)}$

${ Displaystyle F (a, b; 1 + a + b-c; 1-z)}$

${ displaystyle (1-z) ^ {- b} F left (c-a, b; c; { tfrac {z} {z-1}} right)}$

которые соответствуют транспозициям (12), (23) и (34) при изоморфизме с симметрической группой в 4 точках 1, 2, 3, 4. (Первая и третья из них фактически равны F(а,б;c;z), тогда как второй является независимым решением дифференциального уравнения.)

Применение преобразований Куммера 24 = 6 × 4 к гипергеометрической функции дает приведенные выше решения 6 = 2 × 3, соответствующие каждому из 2 возможных показателей в каждой из 3 особых точек, каждая из которых появляется 4 раза из-за тождеств

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {cab} , {} _ {2} F_ {1} (ca, cb; c ; z) { text {преобразование Эйлера}}}$

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {- a} , {} _ {2} F_ {1} (a, cb; c; { tfrac {z} {z-1}}) { text {преобразование Пфаффа}}}$

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {- b} , {} _ {2} F_ {1} (ca, b; c; { tfrac {z} {z-1}}) { text {преобразование Пфаффа}}}$

Q-форма

Гипергеометрическое дифференциальное уравнение можно привести к Q-форме

${ displaystyle { frac {d ^ {2} u} {dz ^ {2}}} + Q (z) u (z) = 0}$

сделав замену ш = УФ и исключая член первой производной. Считается, что

${ displaystyle Q = { frac {z ^ {2} [1- (ab) ^ {2}] + z [2c (a + b-1) -4ab] + c (2-c)} {4z ^ {2} (1-z) ^ {2}}}}$

и v дается решением

${ displaystyle { frac {d} {dz}} log v (z) = - { frac {cz (a + b + 1)} {2z (1-z)}} = - { frac {c } {2z}} - { frac {1 + a + bc} {2 (z-1)}}}$

который

${ Displaystyle v (z) = z ^ {- c / 2} (1-z) ^ {(c-a-b-1) / 2}.}$

Q-форма важна по отношению к Производная Шварца (Хилле 1976С. 307–401).

Карты треугольника Шварца

В Карты треугольника Шварца или Шварц s-функции - отношения пар решений.

${ displaystyle s_ {k} (z) = { frac { phi _ {k} ^ {(1)} (z)} { phi _ {k} ^ {(0)} (z)}}}$

где k является одной из точек 0, 1, ∞. Обозначение

${ Displaystyle D_ {к} ( лямбда, му, Nu; z) = s_ {k} (z)}$

также иногда используется. Обратите внимание, что коэффициенты связи становятся Преобразования Мебиуса на треугольных картах.

Обратите внимание, что каждая карта треугольника обычный в z ∈ {0, 1, ∞} соответственно, причем

${ displaystyle s_ {0} (z) = z ^ { lambda} (1 + { mathcal {O}} (z))}$

${ Displaystyle s_ {1} (z) = (1-z) ^ { mu} (1 + { mathcal {O}} (1-z))}$

и

${ displaystyle s _ { infty} (z) = z ^ { nu} (1 + { mathcal {O}} ({ tfrac {1} {z}})).}$

В частном случае вещественных λ, μ и ν, где 0 ≤ λ, μ, ν <1, s-отображения конформные карты из верхняя полуплоскость ЧАС к треугольникам на Сфера Римана, ограниченный дугами окружности. Это отображение обобщение из Отображение Шварца – Кристоффеля в треугольники с дугами окружности. Особые точки 0,1 и ∞ отправлены в вершины треугольника. Углы треугольника равны πλ, πμ и πν соответственно.

Кроме того, в случае λ = 1 /п, μ = 1 /q и ν = 1 /р для целых чисел п, q, р, то треугольник покрывает сферу, комплексную плоскость или верхнюю полуплоскость в зависимости от того, является ли λ + μ + ν - 1 положительным, нулевым или отрицательным; а s-отображения являются обратными функциями автоморфные функции для группа треугольников 〈п, q, р〉 = Δ (п, q, р).

Группа монодромии

Монодромия гипергеометрического уравнения описывает, как фундаментальные решения меняются при аналитическом продолжении по путям в z плоскости, которые возвращаются в ту же точку, то есть когда путь петляет вокруг сингулярности ₂F₁, значение решений в конечной точке будет отличаться от начальной.

Два фундаментальных решения гипергеометрического уравнения связаны друг с другом линейным преобразованием; таким образом, монодромия - это отображение (гомоморфизм групп):

${ displaystyle pi _ {1} ( mathbf {C} setminus {0,1 }, z_ {0}) to { text {GL}} (2, mathbf {C})}$

где π₁ это фундаментальная группа. Другими словами, монодромия - это двумерное линейное представление фундаментальной группы. В группа монодромии уравнения является образом этой карты, т. е. группой, порожденной матрицами монодромии. Представление монодромии фундаментальной группы можно явно вычислить в терминах показателей в особых точках.^[1] Если (α, α '), (β, β') и (γ, γ ') - показатели в точках 0, 1 и ∞, то, взяв z₀ вблизи 0 петли вокруг 0 ​​и 1 имеют матрицы монодромии

${ displaystyle g_ {0} = { begin {pmatrix} e ^ {2 pi i alpha} & 0 0 & e ^ {2 pi i alpha ^ { prime}} end {pmatrix}} , , ,}$ и ${ displaystyle , , , g_ {1} = { begin {pmatrix} { mu e ^ {2 pi i beta} -e ^ {2 pi i beta ^ { prime}} над mu -1} & { mu (e ^ {2 pi i beta} -e ^ {2 pi i beta ^ { prime}}) over ( mu -1) ^ {2} } e ^ {2 pi i beta ^ { prime}} - e ^ {2 pi i beta} & { mu e ^ {2 pi i beta ^ { prime}} - e ^ {2 pi i beta} over mu -1} end {pmatrix}},}$

где

${ Displaystyle му = { грех пи ( альфа + бета ^ { простое} + гамма ^ { простое}) грех пи ( альфа ^ { простое} + бета + гамма ^ { prime}) over sin pi ( alpha ^ { prime} + beta ^ { prime} + gamma ^ { prime}) sin pi ( alpha + beta + gamma ^ {основной })}.}$

Если 1-а, c-а-б, а-б - нецелые рациональные числа со знаминателями k,л,м то группа монодромии конечна тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle 1 / к + 1 / l + 1 / м> 1}$, увидеть Список Шварца или Алгоритм Ковачича.

Интегральные формулы

Тип Эйлера

Если B это бета-функция тогда

${ Displaystyle mathrm {B} (b, cb) , _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = int _ {0} ^ {1} x ^ {b-1} (1-x) ^ {cb-1} (1-zx) ^ {- a} , dx qquad Re (c)> Re (b)> 0,}$

при условии, что z не является действительным числом, так что оно больше или равно 1. и может быть доказано путем разложения (1 -zx)^−а используя биномиальную теорему и затем почленно интегрировав z с абсолютным значением меньше 1 и аналитическим продолжением в другом месте. Когда z является действительным числом, большим или равным 1, необходимо использовать аналитическое продолжение, потому что (1 -zx) равен нулю в некоторой точке носителя интеграла, поэтому значение интеграла может быть некорректно определено. Это было дано Эйлером в 1748 году и подразумевает гипергеометрические преобразования Эйлера и Пфаффа.

Другие представления, соответствующие другим ветви, задаются тем же подынтегральным выражением, но путем интегрирования замыкается Цикл Поххаммера включение особенностей в различном порядке. Такие пути соответствуют монодромия действие.

Интеграл Барнса

Барнс использовал теорию остатки оценить Интеграл Барнса

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} int _ {- i infty} ^ {i infty} { frac { Gamma (a + s) Gamma (b + s) Гамма (-s)} { Gamma (c + s)}} (- z) ^ {s} , ds}$

так как

${ displaystyle { frac { Gamma (a) Gamma (b)} { Gamma (c)}} , _ {2} F_ {1} (a, b; c; z),}$

где проведен контур для отделения полюсов 0, 1, 2 ... от полюсов -а, −а − 1, ..., −б, −б - 1, .... Это справедливо до тех пор, пока z не является неотрицательным действительным числом.

Джон трансформация

Гипергеометрическую функцию Гаусса можно записать как Джон трансформация (Гельфанд, Гиндикин и Граев 2003, 2.1.2).

Смежные отношения Гаусса

Шесть функций

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a pm 1, b; c; z), quad {} _ {2} F_ {1} (a, b pm 1; c; z) , quad {} _ {2} F_ {1} (a, b; c pm 1; z)}$

называются смежными с ₂F₁(а, б; c; z). Гаусс показал, что ₂F₁(а, б; c; z) может быть записана как линейная комбинация любых двух смежных функций с рациональными коэффициентами в терминах а, б, c, и z. Это дает

${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 2 end {pmatrix}} = 15}$

отношения, заданные путем определения любых двух строк в правой части

${ displaystyle { begin {align} z { frac {dF} {dz}} & = z { frac {ab} {c}} F (a +, b +, c +) & = a (F (a + ) -F) & = b (F (b +) - F) & = (c-1) (F (c -) - F) & = { frac {(ca) F (a- ) + (a-c + bz) F} {1-z}} & = { frac {(cb) F (b -) + (b-c + az) F} {1-z}} & = z { frac {(ca) (cb) F (c +) + c (a + bc) F} {c (1-z)}} end {выровнено}}}$

где F = ₂F₁(а, б; c; z), F(а+) = ₂F₁(а + 1, б; c; z), и так далее. Повторное применение этих соотношений дает линейную зависимость над C(z) между любыми тремя функциями формы

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a + m, b + n; c + l; z),}$

где м, п, и л целые числа.

Непрерывная дробь Гаусса

Гаусс использовал отношения смежности, чтобы дать несколько способов записать частное двух гипергеометрических функций в виде непрерывной дроби, например:

${ displaystyle { frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z )}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {{ frac {(ac) b} {c (c + 1)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {(bc -1) (a + 1)} {(c + 1) (c + 2)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {(bc-2) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}} z} {1 + {} ddots}}}}}}}}}}}$

Формулы преобразования

Формулы преобразования связывают две гипергеометрические функции при разных значениях аргумента z.

Дробно-линейные преобразования

Преобразование Эйлера есть

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {cab} {} _ {2} F_ {1} (ca, cb; c; z ).}$

Отсюда следует объединение двух преобразований Пфаффа

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {- b} {} _ {2} F_ {1} left (b, ca; c; { tfrac {z} {z-1}} right)}$

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {- a} {} _ {2} F_ {1} left (a, cb; c; { tfrac {z} {z-1}} right)}$

которые, в свою очередь, следуют из интегрального представления Эйлера. О расширении первого и второго преобразований Эйлера см. Рати и Пэрис (2007) и Ракха и Рати (2011).Его также можно записать как линейную комбинацию

${ Displaystyle { begin {align} {} _ {2} F_ {1} (a, b; c, z) = {} & { frac { Gamma (c) Gamma (cab)} { Gamma (ca) Gamma (cb)}} {} _ {2} F_ {1} (a, b; a + b + 1-c; 1-z) [6pt] & {} + { frac { Gamma (c) Gamma (a + bc)} { Gamma (a) Gamma (b)}} (1-z) ^ {cab} {} _ {2} F_ {1} (ca, cb; 1 + cab; 1-z). End {align}}}$

Квадратичные преобразования

Если два числа 1 -c, c − 1, а − б, б − а, а + б − c, c − а − б равны или одно из них 1/2, то есть квадратичное преобразование гипергеометрической функции, связав ее с другим значением z связаны квадратным уравнением. Первые примеры были приведены Куммер (1836), а полный список дал Гурса (1881). Типичный пример:

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; 2b; z) = (1-z) ^ {- { frac {a} {2}}} {} _ {2} F_ { 1} left ({ tfrac {1} {2}} a, b - { tfrac {1} {2}} a; b + { tfrac {1} {2}}; { frac {z ^ { 2}} {4z-4}} right)}$

Преобразования высшего порядка

Если 1−c, а−б, а+б−c различаются знаками, или два из них равны 1/3 или −1/3, то есть кубическое преобразование гипергеометрической функции, связав ее с другим значением z связаны кубическим уравнением. Первые примеры были приведены Гурса (1881). Типичный пример:

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} left ({ tfrac {3} {2}} a, { tfrac {1} {2}} (3a-1); a + { tfrac {1 } {2}}; - { tfrac {z ^ {2}} {3}} right) = (1 + z) ^ {1-3a} , {} _ {2} F_ {1} left (a - { tfrac {1} {3}}, a; 2a; 2z (3 + z ^ {2}) (1 + z) ^ {- 3} right)}$

Есть также некоторые преобразования степени 4 и 6. Преобразования других степеней существуют только в том случае, если а, б, и c некоторые рациональные числа (Видунас 2005). Например,

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} left ({ tfrac {1} {4}}, { tfrac {3} {8}}; { tfrac {7} {8}}; z right) (z ^ {4} -60z ^ {3} + 134z ^ {2} -60z + 1) ^ {1/16} = {} _ {2} F_ {1} left ({ tfrac { 1} {48}}, { tfrac {17} {48}}; { tfrac {7} {8}}; { tfrac {-432z (z-1) ^ {2} (z + 1) ^ {8}} {(z ^ {4} -60z ^ {3} + 134z ^ {2} -60z + 1) ^ {3}}} right).}$

Ценности в особых точках z

Видеть Слейтер (1966, Приложение III) для списка формул суммирования в особых точках, большинство из которых также фигурируют в Бейли (1935). Гессель и Стэнтон (1982) дает дальнейшие оценки по большему количеству точек. Кёпф (1995) показывает, как большинство этих личностей можно проверить с помощью компьютерных алгоритмов.

Особые ценности в z = 1

Теорема суммирования Гаусса, названная в честь Карл Фридрих Гаусс, это тождество

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; 1) = { frac { Gamma (c) Gamma (cab)} { Gamma (ca) Gamma (cb)} }, qquad Re (c)> Re (a + b)}$

что следует из интегральной формулы Эйлера, если положить z = 1. Он включает Личность Вандермонда как частный случай.

Для особого случая, когда ${ displaystyle a = -m}$,

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (- m, b; c; 1) = { frac {(c-b) _ {m}} {(c) _ {m}}}}$

Формула Дугалла обобщает это на двусторонний гипергеометрический ряд в z = 1.

Теорема Куммера (z = −1)

Во многих случаях гипергеометрические функции могут быть оценены на z = −1, используя квадратичное преобразование для изменения z = −1 до z = 1, а затем используя теорему Гаусса для оценки результата. Типичный пример - теорема Куммера, названная в честь Эрнст Куммер:

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; 1 + ab; -1) = { frac { Gamma (1 + ab) Gamma (1 + { tfrac {1} {2) }} а)} { Gamma (1 + a) Gamma (1 + { tfrac {1} {2}} ab)}}}$

которое следует из квадратичных преобразований Куммера

${ displaystyle { begin {align} _ {2} F_ {1} (a, b; 1 + ab; z) & = (1-z) ^ {- a} ; _ {2} F_ {1} left ({ frac {a} {2}}, { frac {1 + a} {2}} - b; 1 + ab; - { frac {4z} {(1-z) ^ {2}) }} right) & = (1 + z) ^ {- a} , _ {2} F_ {1} left ({ frac {a} {2}}, { frac {a + 1 } {2}}; 1 + ab; { frac {4z} {(1 + z) ^ {2}}} right) end {align}}}$

и теорему Гаусса, положив z = −1 в первом тождестве. Обобщение суммирования Куммера см. Лавуа, Грондин и Рати (1996).

Ценности на z = 1/2

Вторая теорема Гаусса о суммировании:

${ displaystyle _ {2} F_ {1} left (a, b; { tfrac {1} {2}} left (1 + a + b right); { tfrac {1} {2}} right) = { frac { Gamma ({ tfrac {1} {2}}) Gamma ({ tfrac {1} {2}} left (1 + a + b right))} { Гамма ({ tfrac {1} {2}} left (1 + a) right) Gamma ({ tfrac {1} {2}} left (1 + b right))}}.}.$

Теорема Бейли

${ displaystyle _ {2} F_ {1} left (a, 1-a; c; { tfrac {1} {2}} right) = { frac { Gamma ({ tfrac {1} { 2}} c) Gamma ({ tfrac {1} {2}} left (1 + c right))} { Gamma ({ tfrac {1} {2}} left (c + a right)) Gamma ({ tfrac {1} {2}} left (1 + ca right))}}.}$

Об обобщениях второй теоремы суммирования Гаусса и теоремы суммирования Бейли см. Лавуа, Грондин и Рати (1996).

Прочие моменты

Есть много других формул, дающих гипергеометрическую функцию как алгебраическое число при специальных рациональных значениях параметров, некоторые из которых перечислены в Гессель и Стэнтон (1982) и Кёпф (1995). Некоторые типичные примеры приведены

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} left (a, -a; { tfrac {1} {2}}; { tfrac {x ^ {2}} {4 (x-1)} } right) = { frac {(1-x) ^ {a} + (1-x) ^ {- a}} {2}},}$

который можно переформулировать как

${ displaystyle T_ {a} ( cos x) = {} _ {2} F_ {1} left (a, -a; { tfrac {1} {2}}; { tfrac {1} {2 }} (1- cos x) right) = cos (ax)}$

всякий раз, когда −π < Икс <π и Т является (обобщенным) Полином Чебышева.

Смотрите также

• Серия Appell, 2-переменное обобщение гипергеометрического ряда
• Базовый гипергеометрический ряд где соотношение членов является периодической функцией индекса
• Двусторонний гипергеометрический ряд _пЧАС_п похожи на обобщенные гипергеометрические ряды, но суммируются по всем целым числам
• Биномиальный ряд ₁F₀
• Конфлюэнтный гипергеометрический ряд ₁F₁(а;c;z)
• Эллиптический гипергеометрический ряд где отношение членов является эллиптической функцией индекса
• Гипергеометрический интеграл Эйлера, интегральное представление ₂F₁
• Фокс H-функция, расширение G-функции Мейера
• Функция Фокса – Райта, обобщение обобщенная гипергеометрическая функция
• Решение Фробениуса гипергеометрического уравнения
• Общая гипергеометрическая функция представлен И. М. Гельфанд.
• Обобщенный гипергеометрический ряд _пF_q где соотношение членов является рациональной функцией индекса
• Геометрическая серия, где соотношение слагаемых - постоянная
• Функция Гойна, решения ОДУ второго порядка с четырьмя регулярными особыми точками
• Функция рожка, 34 различных сходящихся гипергеометрических ряда от двух переменных
• Серия Гумберта 7 гипергеометрических функций от 2-х переменных
• Гипергеометрическое распределение, дискретное распределение вероятностей
• Гипергеометрическая функция матричного аргумента, многомерное обобщение гипергеометрического ряда
• Функция Кампе де Ферие, гипергеометрический ряд двух переменных
• Лауричелла гипергеометрический ряд, гипергеометрический ряд трех переменных
• МакРоберт E-функция, расширение обобщенного гипергеометрического ряда _пF_q к делу п>q+1.
• G-функция Мейера, расширение обобщенного гипергеометрического ряда _пF_q к делу п>q+1.
• Модульный гипергеометрический ряд, конечная форма эллиптического гипергеометрического ряда
• Тета-гипергеометрический ряд- особый вид эллиптических гипергеометрических рядов.
• Конформные блоки Вирасоро, специальные функции в двумерная конформная теория поля которые в некоторых случаях сводятся к гипергеометрическим функциям.

Рекомендации

• Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард и Рой, Ранджан (1999). Специальные функции. Энциклопедия математики и ее приложений. 71. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-62321-6. Г-Н 1688958.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Бейли, W.N. (1935). Обобщенный гипергеометрический ряд (PDF). Издательство Кембриджского университета. Архивировано из оригинал (PDF) на 2017-06-24. Получено 2016-07-23.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Beukers, Frits (2002), Гипергеометрическая функция Гаусса. (конспекты лекций с обзором основ, а также карты треугольников и монодромия)
• Olde Daalhuis, Адри Б. (2010), «Гипергеометрическая функция», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, Г-Н 2723248
• Эрдели, Артур; Магнус, Вильгельм; Оберхеттингер, Фриц и Трикоми, Франческо Г. (1953). Высшие трансцендентные функции (PDF). Vol. I. Нью-Йорк - Торонто - Лондон: McGraw – Hill Book Company, Inc. ISBN 978-0-89874-206-0. Г-Н 0058756.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Гаспер, Джордж и Рахман, Мизан (2004). Базовая гипергеометрическая серия, 2-е издание, Энциклопедия математики и ее приложений, 96, Cambridge University Press, Кембридж. ISBN 0-521-83357-4.
• Гаусс, Карл Фридрих (1813). "Общие исследования серии бесконечных" ${ displaystyle 1 + { tfrac { alpha beta} {1 cdot gamma}} ~ х + { tfrac { alpha ( alpha +1) beta ( beta +1)} {1 cdot 2 cdot gamma ( gamma +1)}} ~ x ~ x + { mbox {и т. д.}}}$". Комментарии societatis regiae scientificarum Gottingensis Recentiores (на латыни). Гёттинген. 2.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Гельфанд, И. М .; Гиндикин С.Г., Граев М.И. (2003) [2000]. Избранные темы интегральной геометрии. Переводы математических монографий. 220. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2932-5. Г-Н 2000133.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Гессель, Ира и Стэнтон, Деннис (1982). «Странные оценки гипергеометрических рядов». Журнал SIAM по математическому анализу. 13 (2): 295–308. Дои:10.1137/0513021. ISSN 0036-1410. Г-Н 0647127.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Гурса, Эдуард (1881). "Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique". Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure) (На французском). 10: 3–142. Получено 2008-10-16.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Хекман, Геррит и Шлихткрулл, Хенрик (1994). Гармонический анализ и специальные функции на симметричных пространствах. Сан-Диего: Academic Press. ISBN 0-12-336170-2.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) (часть 1 посвящена гипергеометрическим функциям на группах Ли)
• Хилле, Эйнар (1976). Обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной области. Дувр. ISBN 0-486-69620-0.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Инс, Э. (1944). Обыкновенные дифференциальные уравнения.. Dover Publications.
• Кляйн, Феликс (1981). Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на немецком языке). 39. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10455-1. Г-Н 0668700.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Кёпф, Вольфрам (1995). «Алгоритмы m-кратного гипергеометрического суммирования». Журнал символических вычислений. 20 (4): 399–417. Дои:10.1006 / jsco.1995.1056. ISSN 0747-7171. Г-Н 1384455.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Куммер, Эрнст Эдуард (1836). "Über die hypergeometrische Reihe${ displaystyle 1 + { tfrac { alpha cdot beta} {1 cdot gamma}} ~ x + { tfrac { alpha ( alpha +1) beta ( beta +1)} {1 cdot 2 cdot gamma ( gamma +1)}} x ^ {2} + { tfrac { alpha ( alpha +1) ( alpha +2) beta ( beta +1) ( beta + 2)} {1 cdot 2 cdot 3 cdot gamma ( gamma +1) ( gamma +2)}} x ^ {3} + { mbox {и т. Д.}}}$". Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на немецком). 15: 39–83, 127–172. ISSN 0075-4102.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Lavoie, J. L .; Grondin, F .; Рати, А. (1996). "Обобщения теоремы Уиппла о сумме ₃F₂". J. Comput. Appl. Математика. 72: 293–300.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Press, W.H .; Теукольский, С.А .; Веттерлинг, W.T. и Flannery, B.P. (2007). «Раздел 6.13. Гипергеометрические функции». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Rakha, M.A .; Рати, Арджун К. (2011). «Расширения преобразования Эйлера типа II и теоремы Заальшуца». Бык. Корейская математика. Soc. 48 (1): 151–156.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Рати, Арджун К .; Париж, РБ (2007). «Расширение преобразования типа Эйлера для ряда 3F2». Дальний Восток J. Math. Наука. 27 (1): 43–48.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Риман, Бернхард (1857). "Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F (α, β, γ, x) дарстеллбарен Функционен ". Abhandlungen der Mathematischen Classe der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (на немецком). Геттинген: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung. 7: 3–22.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) (перепечатку этой статьи можно найти в «Все публикации Римана» (PDF).)
• Слейтер, Люси Джоан (1960). Конфлюэнтные гипергеометрические функции. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. Г-Н 0107026.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-06483-X. Г-Н 0201688.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN 978-0-521-09061-2)
• Видунас, Раймундас (2005). «Преобразования некоторых гипергеометрических функций Гаусса». Журнал символических вычислений. 178: 473–487. arXiv:математика / 0310436. Дои:10.1016 / j.cam.2004.09.053.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Wall, H.S. (1948). Аналитическая теория непрерывных дробей. D. Van Nostrand Company, Inc.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Уиттакер, E.T. & Уотсон, Г. (1927). Курс современного анализа. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Ёсида, Масааки (1997). Гипергеометрические функции, моя любовь: модульные интерпретации конфигурационных пространств. Брауншвейг - Висбаден: Фридр. Vieweg & Sohn. ISBN 3-528-06925-2. Г-Н 1453580.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)

внешняя ссылка

• «Гипергеометрическая функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Джон Пирсон, Вычисление гипергеометрических функций. (Оксфордский университет, Кандидатская диссертация)
• Марко Петковсек, Герберт Вильф и Дорон Цайльбергер, Книга "А = Б" (загружается бесплатно)
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипергеометрическая функция». MathWorld.