WikiDer > Дифференциальное уравнение Римана - Википедия

В математика, Дифференциальное уравнение Римана, названный в честь Бернхард Риманн, является обобщением гипергеометрическое дифференциальное уравнение, позволяя регулярные особые точки (RSP) произойти в любом месте Сфера Римана, а не просто 0, 1 и ${ displaystyle infty}$. Уравнение также известно как Уравнение Папперица.^[1]

В гипергеометрическое дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, которое имеет три регулярные особые точки: 0, 1 и ${ displaystyle infty}$. Это уравнение допускает два линейно независимых решения; около особенности ${ displaystyle z_ {s}}$, решения принимают вид ${ Displaystyle х ^ {s} е (х)}$, куда ${ displaystyle x = z-z_ {s}}$ - локальная переменная, а ${ displaystyle f}$ локально голоморфен ${ displaystyle f (0) neq 0}$. Настоящее число ${ displaystyle s}$ называется показателем решения при ${ displaystyle z_ {s}}$. Позволять α, β и γ - показатели одного решения в точках 0, 1 и ${ displaystyle infty}$ соответственно; и разреши α ', β ' и γ ' быть таковыми из другого. потом

${ displaystyle alpha + alpha '+ beta + beta' + gamma + gamma '= 1.}$

Применяя подходящие изменения переменной, можно преобразовать гипергеометрическое уравнение: Применяя Преобразования Мебиуса будет регулировать позиции RSP, в то время как другие преобразования (см. ниже) могут изменять показатели в RSP, при условии, что показатели в сумме будут равны 1.

Определение

Дифференциальное уравнение имеет вид

${ displaystyle { frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + left [{ frac {1- alpha - alpha '} {za}} + { frac {1- beta - beta '} {zb}} + { frac {1- gamma - gamma'} {zc}} right] { frac {dw} {dz}}}$

${ displaystyle + left [{ frac { alpha alpha '(ab) (ac)} {za}} + { frac { beta beta' (bc) (ba)} {zb}} + { frac { gamma gamma '(ca) (cb)} {zc}} right] { frac {w} {(za) (zb) (zc)}} = 0.}$

Регулярные особые точки: а, б, и c. Показатели решений на этих RSP соответственно равны α; α ′, β; β ′, и γ; γ ′. Как и прежде, показатели степени подчиняются условию

${ displaystyle alpha + alpha '+ beta + beta' + gamma + gamma '= 1.}$

Решения и связь с гипергеометрической функцией

Решения обозначены P-символ Римана (также известный как Символ Папперица)

${ displaystyle w (z) = P left {{ begin {matrix} a & b & c & ; alpha & beta & gamma & z alpha '& beta' & gamma '& ; конец {матрица}} right }}$

Стандарт гипергеометрическая функция может быть выражено как

${ displaystyle ; _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = P left {{ begin {matrix} 0 & infty & 1 & ; 0 & a & 0 & z 1-c & b & c-a -b & ; end {matrix}} right }}$

P-функции подчиняются ряду тождеств; один из них позволяет выразить общую P-функцию через гипергеометрическую функцию. это

${ displaystyle P left {{ begin {matrix} a & b & c & ; alpha & beta & gamma & z alpha '& beta' & gamma '& ; end {matrix}} right } = left ({ frac {za} {zb}} right) ^ { alpha} left ({ frac {zc} {zb}} right) ^ { gamma} P left {{ begin {matrix} 0 & infty & 1 & ; 0 & alpha + beta + gamma & 0 & ; { frac {(za) (cb)} {(zb) (ca)}} alpha '- alpha & alpha + beta' + gamma & gamma '- gamma & ; end {matrix}} right }}$

Другими словами, можно записать решения в терминах гипергеометрической функции как

${ displaystyle w (z) = left ({ frac {za} {zb}} right) ^ { alpha} left ({ frac {zc} {zb}} right) ^ { gamma} ; _ {2} F_ {1} left ( alpha + beta + gamma, alpha + beta '+ gamma; 1+ alpha - alpha'; { frac {(za) (cb )} {(zb) (ca)}} right)}$

Полный комплект Куммер24 решения могут быть получены таким образом; посмотреть статью гипергеометрическое дифференциальное уравнение для лечения растворов Куммера.

Дробно-линейные преобразования

P-функция обладает простой симметрией под действием дробно-линейные преобразования известный как Преобразования Мебиуса (это конформные переназначения сферы Римана) или, что то же самое, под действием группы GL(2, C). Учитывая произвольный сложные числа А, B, C, D такой, что ОБЪЯВЛЕНИЕ − до н.э ≠ 0, определите количества

${ displaystyle u = { frac {Az + B} {Cz + D}} quad { text {and}} quad eta = { frac {Aa + B} {Ca + D}}}$

и

${ displaystyle zeta = { frac {Ab + B} {Cb + D}} quad { text {and}} quad theta = { frac {Ac + B} {Cc + D}}}$

то имеет место простое соотношение

${ displaystyle P left {{ begin {matrix} a & b & c & ; alpha & beta & gamma & z alpha '& beta' & gamma '& ; end {matrix}} right } = P left {{ begin {matrix} eta & zeta & theta & ; alpha & beta & gamma & u alpha '& beta' & gamma '& ; end {matrix}} right }}$

выражая симметрию.

Смотрите также

• Комплексное дифференциальное уравнение
• Метод Фробениуса
• Монодромия

Примечания

Рекомендации

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред., Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (Довер: Нью-Йорк, 1972 г.)
  • Глава 15 Гипергеометрические функции
    • Раздел 15.6 Дифференциальное уравнение Римана.