В математике Серия Гумберта набор из семи гипергеометрический ряд Φ1 , Φ2 , Φ3 , Ψ1 , Ψ2 , Ξ1 , Ξ2 из двух переменные которые обобщают Конфлюэнтный гипергеометрический ряд Куммера 1 F 1 одной переменной и конфлюэнтная гипергеометрическая предельная функция 0 F 1 одной переменной. Первая из этих двойных серий была представлена Пьер Эмбер (1920 ).
Определения
Ряд Гумберта Φ1 определено для |Икс | <1 двойной серией:
Φ 1 ( а , б , c ; Икс , у ) = F 1 ( а , б , − , c ; Икс , у ) = ∑ м , п = 0 ∞ ( а ) м + п ( б ) м ( c ) м + п м ! п ! Икс м у п , { Displaystyle Phi _ {1} (a, b, c; x, y) = F_ {1} (a, b, -, c; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {m + n} (b) _ {m}} {(c) _ {m + n} , m! , n!}} , x ^ { m} y ^ {n} ~,} где Символ Поххаммера (q )п
( q ) п = q ( q + 1 ) ⋯ ( q + п − 1 ) = Γ ( q + п ) Γ ( q ) , { displaystyle (q) _ {n} = q , (q + 1) cdots (q + n-1) = { frac { Gamma (q + n)} { Gamma (q)}} ~ ,} где второе равенство верно для всех сложных q { displaystyle q} q = 0 , − 1 , − 2 , … { Displaystyle д = 0, -1, -2, ldots}
Для других значений Икс функция Φ1 можно определить как аналитическое продолжение .
Ряд Гумберта Φ1 также можно записать в виде одномерного Эйлер -тип интеграл :
Φ 1 ( а , б , c ; Икс , у ) = Γ ( c ) Γ ( а ) Γ ( c − а ) ∫ 0 1 т а − 1 ( 1 − т ) c − а − 1 ( 1 − Икс т ) − б е у т d т , ℜ c > ℜ а > 0 . { Displaystyle Phi _ {1} (a, b, c; x, y) = { frac { Gamma (c)} { Gamma (a) Gamma (ca)}} int _ {0} ^ {1} t ^ {a-1} (1-t) ^ {ca-1} (1-xt) ^ {- b} e ^ {yt} , mathrm {d} t, quad Re , c> Re , a> 0 ~.} Это представление можно проверить с помощью Расширение Тейлора подынтегрального выражения с последующим почленным интегрированием.
Аналогично функция Φ2 определено для всех Икс , у по сериалу:
Φ 2 ( б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) = F 1 ( − , б 1 , б 2 , c ; Икс , у ) = ∑ м , п = 0 ∞ ( б 1 ) м ( б 2 ) п ( c ) м + п м ! п ! Икс м у п , { Displaystyle Phi _ {2} (b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) = F_ {1} (-, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(b_ {1}) _ {m} (b_ {2}) _ {n}} {(c) _ {m + n } , m! , n!}} , x ^ {m} y ^ {n} ~,} функция Φ3 для всех Икс , у по сериалу:
Φ 3 ( б , c ; Икс , у ) = Φ 2 ( б , − , c ; Икс , у ) = F 1 ( − , б , − , c ; Икс , у ) = ∑ м , п = 0 ∞ ( б ) м ( c ) м + п м ! п ! Икс м у п , { Displaystyle Phi _ {3} (b, c; x, y) = Phi _ {2} (b, -, c; x, y) = F_ {1} (-, b, -, c; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(b) _ {m}} {(c) _ {m + n} , m! , n! }} , x ^ {m} y ^ {n} ~,} функция Ψ1 для |Икс | <1 по серии:
Ψ 1 ( а , б , c 1 , c 2 ; Икс , у ) = F 2 ( а , б , − , c 1 , c 2 ; Икс , у ) = ∑ м , п = 0 ∞ ( а ) м + п ( б ) м ( c 1 ) м ( c 2 ) п м ! п ! Икс м у п , { displaystyle Psi _ {1} (a, b, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = F_ {2} (a, b, -, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {m + n} (b) _ {m}} {(c_ {1}) _ { m} (c_ {2}) _ {n} , m! , n!}} , x ^ {m} y ^ {n} ~,} функция Ψ2 для всех Икс , у по сериалу:
Ψ 2 ( а , c 1 , c 2 ; Икс , у ) = Ψ 1 ( а , − , c 1 , c 2 ; Икс , у ) = F 2 ( а , − , − , c 1 , c 2 ; Икс , у ) = F 4 ( а , − , c 1 , c 2 ; Икс , у ) = ∑ м , п = 0 ∞ ( а ) м + п ( c 1 ) м ( c 2 ) п м ! п ! Икс м у п , { displaystyle Psi _ {2} (a, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = Psi _ {1} (a, -, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = F_ {2} (a, -, -, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = F_ {4} (a, -, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {m + n}} {(c_ {1}) _ {m} (c_ {2}) _ {n} , m! , n!}} , x ^ {m} y ^ {n} ~,} функция Ξ1 для |Икс | <1 по серии:
Ξ 1 ( а 1 , а 2 , б , c ; Икс , у ) = F 3 ( а 1 , а 2 , б , − , c ; Икс , у ) = ∑ м , п = 0 ∞ ( а 1 ) м ( а 2 ) п ( б ) м ( c ) м + п м ! п ! Икс м у п , { displaystyle Xi _ {1} (a_ {1}, a_ {2}, b, c; x, y) = F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b, -, c; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(a_ {1}) _ {m} (a_ {2}) _ {n} (b) _ {m }} {(c) _ {m + n} , m! , n!}} , x ^ {m} y ^ {n} ~,} а функция Ξ2 для |Икс | <1 по серии:
Ξ 2 ( а , б , c ; Икс , у ) = Ξ 1 ( а , − , б , c ; Икс , у ) = F 3 ( а , − , б , − , c ; Икс , у ) = ∑ м , п = 0 ∞ ( а ) м ( б ) м ( c ) м + п м ! п ! Икс м у п . { Displaystyle Xi _ {2} (a, b, c; x, y) = Xi _ {1} (a, -, b, c; x, y) = F_ {3} (a, -, b, -, c; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {m} (b) _ {m}} {(c) _ {m + n} , m! , n!}} , x ^ {m} y ^ {n} ~.} Связанные серии
Есть четыре связанных ряда двух переменных, F 1 , F 2 , F 3 , и F 4 , которые обобщают Гипергеометрический ряд Гаусса 2 F 1 одной переменной аналогичным образом и которые были введены Поль Эмиль Аппель в 1880 г. Рекомендации
Аппель, Пол ; Кампе де Фериет, Жозеф (1926). Fonctions hypergéométriques et hypersphériques; Polynômes d'Hermite (На французском). Париж: Готье-Виллар. JFM 52.0361.13 .CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт ) (см. стр. 126)Бейтман, Х. ; Эрдейи, А. (1953). Высшие трансцендентные функции, Vol. я (PDF) . Нью-Йорк: Макгроу – Хилл.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт ) Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Геронимус Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. «9.26.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5 LCCN 2014010276 .CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт ) Гумберт, Пьер (1920). "Sur les fonctions hypercylindriques". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (На французском). 171 : 490–492. JFM 47.0348.01 .CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт ) 
