Полукруг Вигнера Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры р > 0 { Displaystyle R> 0 !} радиус (настоящий )Поддержка Икс ∈ [ − р ; + р ] { Displaystyle х в [-R; + R] !} PDF 2 π р 2 р 2 − Икс 2 { displaystyle { frac {2} { pi R ^ {2}}} , { sqrt {R ^ {2} -x ^ {2}}} !} CDF 1 2 + Икс р 2 − Икс 2 π р 2 + Arcsin ( Икс р ) π { displaystyle { frac {1} {2}} + { frac {x { sqrt {R ^ {2} -x ^ {2}}}} { pi R ^ {2}}} + { гидроразрыв { arcsin ! left ({ frac {x} {R}} right)} { pi}} !} − р ≤ Икс ≤ р { displaystyle -R leq x leq R} Значить 0 { displaystyle 0 ,} Медиана 0 { displaystyle 0 ,} Режим 0 { displaystyle 0 ,} Дисперсия р 2 4 { displaystyle { frac {R ^ {2}} {4}} !} Асимметрия 0 { displaystyle 0 ,} Ex. эксцесс − 1 { displaystyle -1 ,} Энтропия пер ( π р ) − 1 2 { Displaystyle ln ( pi R) - { гидроразрыва {1} {2}} ,} MGF 2 я 1 ( р т ) р т { Displaystyle 2 , { гидроразрыва {I_ {1} (R , t)} {R , t}}} CF 2 J 1 ( р т ) р т { Displaystyle 2 , { гидроразрыва {J_ {1} (R , t)} {R , t}}}
В Распределение полукруга Вигнера , названный в честь физика Юджин Вигнер , это распределение вероятностей поддерживается на интервале [-р , р ] график которого функция плотности вероятности ж - полукруг радиуса р с центром в (0, 0), а затем подходящим образом нормализованный (так что это действительно полуэллипс):
ж ( Икс ) = 2 π р 2 р 2 − Икс 2 { displaystyle f (x) = {2 over pi R ^ {2}} { sqrt {R ^ {2} -x ^ {2} ,}} ,} для -р ≤ Икс ≤ р , и ж (Икс ) = 0, если | x | > р .
Это распределение возникает как предельное распределение собственные значения из многих случайные симметричные матрицы поскольку размер матрицы приближается к бесконечности.
Это масштабный бета-распространение , точнее, если Y бета-распределен с параметрами α = β = 3/2, то Икс = 2RY – р имеет указанное выше распределение полукруга Вигнера.
Многомерное обобщение - это параболическое распределение в трехмерном пространстве, а именно предельная функция распределения сферического (параметрического) распределения.[1] [2] [3] [4] ж Икс , Y , Z ( Икс , у , z ) = 3 4 π , Икс 2 + у 2 + z 2 ≤ 1 , { displaystyle f_ {X, Y, Z} (x, y, z) = { frac {3} {4 pi}}, qquad qquad x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} leq 1,}
ж Икс ( Икс ) = ∫ − 1 − у 2 − Икс 2 + 1 − у 2 − Икс 2 ∫ − 1 − Икс 2 + 1 − Икс 2 3 d у 4 π = 3 ( 1 − Икс 2 ) / 4. { displaystyle f_ {X} (x) = int _ {- { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} int _ {- { sqrt {1-x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-x ^ {2}}}} { frac {3 mathrm {d} y} {4 pi}} = 3 (1-x ^ {2}) / 4.}
Обратите внимание, что R = 1.
В то время как распределение полукруга Вигнера относится к распределению собственных значений, Предположение Вигнера имеет дело с плотностью вероятности различий между последовательными собственными значениями.
Общие свойства
В Полиномы Чебышева второго рода ортогональные многочлены относительно распределения полукруга Вигнера.
Для положительных целых чисел п , 2п -го момент этого распределения
E ( Икс 2 п ) = ( р 2 ) 2 п C п { displaystyle E (X ^ {2n}) = left ({R over 2} right) ^ {2n} C_ {n} ,} где Икс - любая случайная величина с этим распределением и C п п th Каталонский номер
C п = 1 п + 1 ( 2 п п ) , { displaystyle C_ {n} = {1 over n + 1} {2n select n}, ,} так что моменты являются каталонскими числами, если р = 2. (Из-за симметрии все моменты нечетного порядка равны нулю.)
Делаем замену Икс = р потому что ( θ ) { Displaystyle х = р соз ( тета)} функция, производящая момент видно, что:
M ( т ) = 2 π ∫ 0 π е р т потому что ( θ ) грех 2 ( θ ) d θ { Displaystyle M (t) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi} e ^ {Rt cos ( theta)} sin ^ {2} ( theta ) , d theta} которое может быть решено (см. Abramowitz and Stegun §9.6.18) чтобы дать:
M ( т ) = 2 я 1 ( р т ) р т { Displaystyle M (t) = 2 , { frac {I_ {1} (Rt)} {Rt}}} где я 1 ( z ) { Displaystyle I_ {1} (г)} Функция Бесселя . Аналогичным образом характеристическая функция определяется выражением:[5] [6]
[7]
φ ( т ) = 2 J 1 ( р т ) р т { displaystyle varphi (t) = 2 , { frac {J_ {1} (Rt)} {Rt}}} где J 1 ( z ) { Displaystyle J_ {1} (г)} §9.1.20) , отмечая, что соответствующий интеграл с участием грех ( р т потому что ( θ ) ) { Displaystyle грех (Rt соз ( тета))}
В пределах р { displaystyle R} Дельта-функция Дирака .
Отношение к свободной вероятности
В свободная вероятность теории, роль полукруглого распределения Вигнера аналогична роли распределения нормальное распределение в классической теории вероятностей. А именно, в свободной теории вероятностей роль кумулянты заняты "свободными кумулянтами", отношение которых к обычным кумулянтам заключается в том, что роль множества всех разбиения конечного множества в теории обычных кумулянтов заменяется набором всех непересекающиеся перегородки конечного множества. Так же, как кумулянты степени более 2 распределение вероятностей все нулевые если и только если распределение нормальное, поэтому свободный кумулянты степени больше 2 в распределении вероятностей равны нулю тогда и только тогда, когда распределение является полукруглым распределением Вигнера.
Сферическое распределение PDF, (X, Y, Z)
Сферическое распределение характеристической функции
Характерные режимы сферических гармоник
Связанные дистрибутивы
Параболическое распределение Вигнера (сферическое) Вигнер параболический Параметры р > 0 { displaystyle R> 0 !} радиус (настоящий )Поддержка Икс ∈ [ − р ; + р ] { Displaystyle х в [-R; + R] !} PDF 3 4 р 3 ( р 2 − Икс 2 ) { displaystyle { frac {3} {4R ^ {3}}} , (R ^ {2} -x ^ {2})} CDF 1 4 р 3 ( 2 р − Икс ) ( р + Икс ) 2 { Displaystyle { гидроразрыва {1} {4R ^ {3}}} , (2R-x) , (R + x) ^ {2}} MGF 3 я 1 ( р т ) р т { Displaystyle 3 , { гидроразрыва {i_ {1} (R , t)} {R , t}}} CF 3 j 1 ( р т ) р т { Displaystyle 3 , { гидроразрыва {j_ {1} (R , t)} {R , t}}}
Параболический распределение вероятностей [нужна цитата поддерживается на интервале [-р , р ] радиуса р с центром в (0, 0):
ж ( Икс ) = 3 4 р 3 ( р 2 − Икс 2 ) { Displaystyle е (х) = {3 над 4R ^ {3}} {(R ^ {2} -x ^ {2})} ,}
для -р ≤ Икс ≤ р , и ж (Икс ) = 0, если | x | > р .
Пример. Совместное распределение
∫ 0 π ∫ 0 + 2 π ∫ 0 р ж Икс , Y , Z ( Икс , у , z ) р 2 d р грех ( θ ) d θ d ϕ = 1 ; { displaystyle int _ {0} ^ { pi} int _ {0} ^ {+ 2 pi} int _ {0} ^ {R} f_ {X, Y, Z} (x, y, z) R ^ {2} , dr sin ( theta) , d theta , d phi = 1;}
ж Икс , Y , Z ( Икс , у , z ) = 3 4 π { displaystyle f_ {X, Y, Z} (x, y, z) = { frac {3} {4 pi}}}
Следовательно, предельная PDF сферического (параметрического) распределения равна [1]
ж Икс ( Икс ) = ∫ − 1 − у 2 − Икс 2 + 1 − у 2 − Икс 2 ∫ − 1 − Икс 2 + 1 − Икс 2 ж Икс , Y , Z ( Икс , у , z ) d у d z ; { displaystyle f_ {X} (x) = int _ {- { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} int _ {- { sqrt {1-x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-x ^ {2}}}} f_ {X, Y , Z} (x, y, z) , dy , dz;}
ж Икс ( Икс ) = ∫ − 1 − Икс 2 + 1 − Икс 2 2 1 − у 2 − Икс 2 d у ; { displaystyle f_ {X} (x) = int _ {- { sqrt {1-x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-x ^ {2}}}} 2 { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}} , dy ,;}
ж Икс ( Икс ) = 3 4 ( 1 − Икс 2 ) ; { displaystyle f_ {X} (x) = {3 over 4} {(1-x ^ {2})} ,;}
Характеристической функцией сферического распределения становится шаблонное умножение ожидаемых значений распределений по X, Y и Z.
Параболическое распределение Вигнера также считается монопольным моментом водородоподобных атомных орбиталей.
Распределение Вигнера n-сфер
Нормализованный N-сфера Функция плотности вероятности поддерживается на интервале [−1, 1] радиуса 1 с центром (0, 0):
ж п ( Икс ; п ) = ( 1 − Икс 2 ) ( п − 1 ) / 2 Γ ( 1 + п / 2 ) π Γ ( ( п + 1 ) / 2 ) ( п >= − 1 ) { displaystyle f_ {n} (x; n) = {(1-x ^ {2}) ^ {(n-1) / 2} Gamma (1 + n / 2) over { sqrt { pi }} Gamma ((n + 1) / 2)} , (n> = - 1)}
для −1 ≤ Икс ≤ 1, и ж (Икс ) = 0, если | x | > 1.
Пример. Совместное распределение
∫ − 1 − у 2 − Икс 2 + 1 − у 2 − Икс 2 ∫ − 1 − Икс 2 + 1 − Икс 2 ∫ 0 1 ж Икс , Y , Z ( Икс , у , z ) 1 − Икс 2 − у 2 − z 2 ( п ) d Икс d у d z = 1 ; { displaystyle int _ {- { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-y ^ {2} -x ^ {2}}} } int _ {- { sqrt {1-x ^ {2}}}} ^ {+ { sqrt {1-x ^ {2}}}} int _ {0} ^ {1} f_ {X , Y, Z} (x, y, z) {{ sqrt {1-x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}}} ^ {(n)}} dxdydz = 1;}
ж Икс , Y , Z ( Икс , у , z ) = 3 4 π { displaystyle f_ {X, Y, Z} (x, y, z) = { frac {3} {4 pi}}}
Следовательно, маргинальное распределение PDF равно [1]
ж Икс ( Икс ; п ) = ( 1 − Икс 2 ) ( п − 1 ) / 2 ) Γ ( 1 + п / 2 ) π Γ ( ( п + 1 ) / 2 ) ; { displaystyle f_ {X} (x; n) = {(1-x ^ {2}) ^ {(n-1) / 2)} Gamma (1 + n / 2) over { sqrt { pi}} Gamma ((n + 1) / 2)} ,;}
Кумулятивная функция распределения (CDF) равна
F Икс ( Икс ) = 2 Икс Γ ( 1 + п / 2 ) 2 F 1 ( 1 / 2 , ( 1 − п ) / 2 ; 3 / 2 ; Икс 2 ) π Γ ( ( п + 1 ) / 2 ) ; { Displaystyle F_ {X} (x) = {2x Gamma (1 + n / 2) _ {2} F_ {1} (1/2, (1-n) / 2; 3/2; x ^ { 2}) over { sqrt { pi}} Gamma ((n + 1) / 2)} ,;}
Характеристическая функция (CF) PDF связана с бета-распространение как показано ниже
C F ( т ; п ) = 1 F 1 ( п / 2 , ; п ; j т / 2 ) ⌝ ( α = β = п / 2 ) ; { displaystyle CF (t; n) = {_ {1} F_ {1} (n / 2,; n; jt / 2)} , urcorner ( alpha = beta = n / 2);}
В терминах функций Бесселя это
C F ( т ; п ) = Γ ( п / 2 + 1 ) J п / 2 ( т ) / ( т / 2 ) ( п / 2 ) ⌝ ( п >= − 1 ) ; { displaystyle CF (t; n) = { Gamma (n / 2 + 1) J_ {n / 2} (t) / (t / 2) ^ {(n / 2)}} , urcorner (n > = - 1);}
Необработанные моменты PDF
μ N ′ ( п ) = ∫ − 1 + 1 Икс N ж Икс ( Икс ; п ) d Икс = ( 1 + ( − 1 ) N ) Γ ( 1 + п / 2 ) 2 π Γ ( ( 2 + п + N ) / 2 ) ; { displaystyle mu '_ {N} (n) = int _ {- 1} ^ {+ 1} x ^ {N} f_ {X} (x; n) dx = {(1 + (- 1) ^ {N}) Gamma (1 + n / 2) over {2 { sqrt { pi}}} Gamma ((2 + n + N) / 2)};}
Центральные моменты
μ 0 ( Икс ) = 1 { Displaystyle му _ {0} (х) = 1}
μ 1 ( п ) = μ 1 ′ ( п ) { Displaystyle му _ {1} (п) = му _ {1} '(п)}
μ 2 ( п ) = μ 2 ′ ( п ) − μ 1 ′ 2 ( п ) { Displaystyle му _ {2} (п) = му _ {2} '(п) - му _ {1}' ^ {2} (п)}
μ 3 ( п ) = 2 μ 1 ′ 3 ( п ) − 3 μ 1 ′ ( п ) μ 2 ′ ( п ) + μ 3 ′ ( п ) { Displaystyle му _ {3} (п) = 2 му _ {1} '^ {3} (п) -3 му _ {1}' (п) му _ {2} '(п) + mu _ {3} '(n)}
μ 4 ( п ) = − 3 μ 1 ′ 4 ( п ) + 6 μ 1 ′ 2 ( п ) μ 2 ′ ( п ) − 4 μ 1 ′ ( п ) μ 3 ′ ( п ) + μ 4 ′ ( п ) { displaystyle mu _ {4} (n) = - 3 mu _ {1} '^ {4} (n) +6 mu _ {1}' ^ {2} (n) mu _ {2 } '(n) -4 mu' _ {1} (n) mu '_ {3} (n) + mu' _ {4} (n)}
Соответствующие моменты вероятности (среднее значение, дисперсия, перекос, эксцесс и эксцесс) следующие:
μ ( Икс ) = μ 1 ′ ( Икс ) = 0 { Displaystyle му (х) = му _ {1} '(х) = 0}
σ 2 ( п ) = μ 2 ′ ( п ) − μ 2 ( п ) = 1 / ( 2 + п ) { Displaystyle sigma ^ {2} (п) = му _ {2} '(п) - му ^ {2} (п) = 1 / (2 + п)}
γ 1 ( п ) = μ 3 / μ 2 3 / 2 = 0 { Displaystyle гамма _ {1} (п) = му _ {3} / му _ {2} ^ {3/2} = 0}
β 2 ( п ) = μ 4 / μ 2 2 = 3 ( 2 + п ) / ( 4 + п ) { Displaystyle бета _ {2} (п) = му _ {4} / му _ {2} ^ {2} = 3 (2 + п) / (4 + п)}
γ 2 ( п ) = μ 4 / μ 2 2 − 3 = − 6 / ( 4 + п ) { Displaystyle гамма _ {2} (п) = му _ {4} / му _ {2} ^ {2} -3 = -6 / (4 + п)}
Исходные моменты характеристической функции:
μ N ′ ( п ) = μ N ; E ′ ( п ) + μ N ; О ′ ( п ) = ∫ − 1 + 1 c о s N ( Икс т ) ж Икс ( Икс ; п ) d Икс + ∫ − 1 + 1 s я п N ( Икс т ) ж Икс ( Икс ; п ) d Икс ; { displaystyle mu '_ {N} (n) = mu' _ {N; E} (n) + mu '_ {N; O} (n) = int _ {- 1} ^ {+ 1} cos ^ {N} (xt) f_ {X} (x; n) dx + int _ {- 1} ^ {+ 1} sin ^ {N} (xt) f_ {X} (x; n) dx ;}
Для равномерного распределения моменты
μ 1 ′ ( т ; п : E ) = C F ( т ; п ) { Displaystyle му _ {1} '(t; n: E) = CF (t; n)}
μ 1 ′ ( т ; п : О ) = 0 { displaystyle mu _ {1} '(t; n: O) = 0}
μ 1 ′ ( т ; п ) = C F ( т ; п ) { Displaystyle му _ {1} '(т; п) = CF (т; п)}
μ 2 ′ ( т ; п : E ) = 1 / 2 ( 1 + C F ( 2 т ; п ) ) { Displaystyle му _ {2} '(t; n: E) = 1/2 (1 + CF (2t; n))}
μ 2 ′ ( т ; п : О ) = 1 / 2 ( 1 − C F ( 2 т ; п ) ) { Displaystyle му _ {2} '(t; n: O) = 1/2 (1-CF (2t; n))}
μ 2 ′ ( т ; п ) = 1 { Displaystyle му '_ {2} (т; п) = 1}
μ 3 ′ ( т ; п : E ) = ( C F ( 3 т ) + 3 C F ( т ; п ) ) / 4 { displaystyle mu _ {3} '(t; n: E) = (CF (3t) + 3CF (t; n)) / 4}
μ 3 ′ ( т ; п : О ) = 0 { displaystyle mu _ {3} '(t; n: O) = 0}
μ 3 ′ ( т ; п ) = ( C F ( 3 т ; п ) + 3 C F ( т ; п ) ) / 4 { displaystyle mu _ {3} '(t; n) = (CF (3t; n) + 3CF (t; n)) / 4}
μ 4 ′ ( т ; п : E ) = ( 3 + 4 C F ( 2 т ; п ) + C F ( 4 т ; п ) ) / 8 { displaystyle mu _ {4} '(t; n: E) = (3 + 4CF (2t; n) + CF (4t; n)) / 8}
μ 4 ′ ( т ; п : О ) = ( 3 − 4 C F ( 2 т ; п ) + C F ( 4 т ; п ) ) / 8 { displaystyle mu _ {4} '(t; n: O) = (3-4CF (2t; n) + CF (4t; n)) / 8}
μ 4 ′ ( т ; п ) = ( 3 + C F ( 4 т ; п ) ) / 4 { Displaystyle му _ {4} '(т; п) = (3 + CF (4t; п)) / 4}
Следовательно, моменты КФ (при N = 1) равны
μ ( т ; п ) = μ 1 ′ ( т ) = C F ( т ; п ) = 0 F 1 ( 2 + п 2 , − т 2 4 ) { displaystyle mu (t; n) = mu _ {1} '(t) = CF (t; n) = _ {0} F_ {1} ({2 + n over 2}, - {t ^ {2} более 4})}
σ 2 ( т ; п ) = 1 − | C F ( т ; п ) | 2 = 1 − | 0 F 1 ( 2 + п 2 , − т 2 / 4 ) | 2 { Displaystyle sigma ^ {2} (t; n) = 1- | CF (t; n) | ^ {2} = 1- | _ {0} F_ {1} ({2 + n более 2} , -t ^ {2} / 4) | ^ {2}}
γ 1 ( п ) = μ 3 μ 2 3 / 2 = 0 F 1 ( 2 + п 2 , − 9 т 2 4 ) − 0 F 1 ( 2 + п 2 , − т 2 4 ) + 8 | 0 F 1 ( 2 + п 2 , − т 2 4 ) | 3 4 ( 1 − | 0 F 1 ( 2 + п 2 , − т 2 4 ) ) 2 | ( 3 / 2 ) { displaystyle gamma _ {1} (n) = { mu _ {3} over mu _ {2} ^ {3/2}} = {_ {0} F_ {1} ({2 + n over 2}, - 9 {t ^ {2} over 4}) -_ {0} F_ {1} ({2 + n over 2}, - {t ^ {2} over 4}) + 8 | _ {0} F_ {1} ({2 + n over 2}, - {t ^ {2} over 4}) | ^ {3} over 4 (1- | _ {0} F_ { 1} ({2 + n более 2}, - {t ^ {2} over 4})) ^ {2} | ^ {(3/2)}}}
β 2 ( п ) = μ 4 μ 2 2 = 3 + 0 F 1 ( 2 + п 2 , − 4 т 2 ) − ( 4 0 F 1 ( 2 + п 2 , − т 2 4 ) ( 0 F 1 ( 2 + п 2 , − 9 т 2 4 ) ) + 3 0 F 1 ( 2 + п 2 , − т 2 4 ) ( − 1 + | 0 F 1 ( 2 + п 2 , − т 2 4 | 2 ) ) 4 ( − 1 + | 0 F 1 ( 2 + п 2 , − т 2 4 ) ) 2 | 2 { displaystyle beta _ {2} (n) = { mu _ {4} over mu _ {2} ^ {2}} = {3 + _ {0} F_ {1} ({2 + n over 2}, - 4t ^ {2}) - (4_ {0} F_ {1} ({2 + n over 2}, - {t ^ {2} over 4}) (_ {0} F_ {1} ({2 + n over 2}, - 9 {t ^ {2} over 4})) + 3_ {0} F_ {1} ({2 + n over 2}, - {t ^ {2} over 4}) (- 1+ | _ {0} F_ {1} ({2 + n over 2}, - {t ^ {2} over 4} | ^ {2})) больше 4 (-1+ | _ {0} F_ {1} ({2 + n over 2}, - {t ^ {2} over 4})) ^ {2} | ^ {2}}}
γ 2 ( п ) = μ 4 / μ 2 2 − 3 = − 9 + 0 F 1 ( 2 + п 2 , − 4 т 2 ) − ( 4 0 F 1 ( 2 + п 2 , − т 2 / 4 ) ( 0 F 1 ( 2 + п 2 , − 9 т 2 4 ) ) − 9 0 F 1 ( 2 + п 2 , − т 2 4 ) + 6 | 0 F 1 ( 2 + п 2 , − т 2 4 | 3 ) 4 ( − 1 + | 0 F 1 ( 2 + п 2 , − т 2 4 ) ) 2 | 2 { displaystyle gamma _ {2} (n) = mu _ {4} / mu _ {2} ^ {2} -3 = {- 9 + _ {0} F_ {1} ({2 + n over 2}, - 4t ^ {2}) - (4_ {0} F_ {1} ({2 + n over 2}, - t ^ {2} / 4) (_ {0} F_ {1} ({2 + n более 2}, - 9 {t ^ {2} over 4})) - 9_ {0} F_ {1} ({2 + n over 2}, - {t ^ {2} over 4}) + 6 | _ {0} F_ {1} ({2 + n over 2}, - {t ^ {2} over 4} | ^ {3}) over 4 (-1+ | _ {0} F_ {1} ({2 + n более 2}, - {t ^ {2} over 4})) ^ {2} | ^ {2}}}
Искажение и эксцесс также можно упростить с помощью функций Бесселя.
Энтропия рассчитывается как
ЧАС N ( п ) = ∫ − 1 + 1 ж Икс ( Икс ; п ) пер ( ж Икс ( Икс ; п ) ) d Икс { displaystyle H_ {N} (n) = int _ {- 1} ^ {+ 1} f_ {X} (x; n) ln (f_ {X} (x; n)) dx}
Первые 5 моментов (n = от -1 до 3), такие что R = 1, являются
− пер ( 2 / π ) ; п = − 1 { Displaystyle - пер (2 / пи); п = -1}
− пер ( 2 ) ; п = 0 { Displaystyle - пер (2); п = 0}
− 1 / 2 + пер ( π ) ; п = 1 { Displaystyle -1 / 2 + пер ( пи); п = 1}
5 / 3 − пер ( 3 ) ; п = 2 { Displaystyle 5 / 3- ln (3); п = 2}
− 7 / 4 − пер ( 1 / 3 π ) ; п = 3 { Displaystyle -7 / 4- ln (1/3 pi); п = 3}
Распределение Вигнера N-сферы с применением нечетной симметрии
Маргинальное распределение PDF с нечетной симметрией равно [1]
ж Икс ( Икс ; п ) = ( 1 − Икс 2 ) ( п − 1 ) / 2 ) Γ ( 1 + п / 2 ) π Γ ( ( п + 1 ) / 2 ) sgn ( Икс ) ; { Displaystyle е {_ {X}} (х; п) = {(1-х ^ {2}) ^ {(п-1) / 2)} Гамма (1 + п / 2) над { sqrt { pi}} Gamma ((n + 1) / 2)} operatorname {sgn} (x) ,;}
Следовательно, КФ выражается через функции Струве
C F ( т ; п ) = Γ ( п / 2 + 1 ) ЧАС п / 2 ( т ) / ( т / 2 ) ( п / 2 ) ⌝ ( п >= − 1 ) ; { displaystyle CF (t; n) = { Gamma (n / 2 + 1) H_ {n / 2} (t) / (t / 2) ^ {(n / 2)}} , urcorner (n > = - 1);}
«Функция Струве возникает в задаче о жестко-поршневом радиаторе, установленном в бесконечной перегородке, имеющем сопротивление излучения, равное» [8]
Z = ρ c π а 2 [ р 1 ( 2 k а ) − я Икс 1 ( 2 k а ) ] , { displaystyle Z = { rho c pi a ^ {2} [R_ {1} (2ka) -iX_ {1} (2ka)],}}
р 1 = 1 − 2 J 1 ( Икс ) 2 Икс , { Displaystyle R_ {1} = {1- {2J_ {1} (x) более 2x},}}
Икс 1 = 2 ЧАС 1 ( Икс ) Икс , { Displaystyle X_ {1} = {{2H_ {1} (x) над x},}}
Пример (нормализованная мощность принятого сигнала): квадратурные члены
Нормализованная мощность принятого сигнала определяется как
| р | = 1 N | ∑ k = 1 N exp [ я Икс п т ] | { displaystyle | R | = {{1 over N} |} sum _ {k = 1} ^ {N} exp [ix_ {n} t] |}
и используя стандартные квадратурные термины
Икс = 1 N ∑ k = 1 N потому что ( Икс п т ) { displaystyle x = {1 over N} sum _ {k = 1} ^ {N} cos (x_ {n} t)}
у = 1 N ∑ k = 1 N грех ( Икс п т ) { displaystyle y = {1 over N} sum _ {k = 1} ^ {N} sin (x_ {n} t)}
Следовательно, для равномерного распределения мы расширяем NRSS так, чтобы x = 1 и y = 0, получая
Икс 2 + у 2 = Икс + 3 2 у 2 − 3 2 Икс у 2 + 1 2 Икс 2 у 2 + О ( у 3 ) + О ( у 3 ) ( Икс − 1 ) + О ( у 3 ) ( Икс − 1 ) 2 + О ( Икс − 1 ) 3 { displaystyle { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = x + {3 over 2} y ^ {2} - {3 over 2} xy ^ {2} + {1 over 2} x ^ {2} y ^ {2} + O (y ^ {3}) + O (y ^ {3}) (x-1) + O (y ^ {3}) (x-1) ^ {2} + O (x-1) ^ {3}}
В развернутом виде Характеристическая функция мощности принятого сигнала станет [9]
E [ Икс ] = 1 N C F ( т ; п ) { displaystyle E [x] = {1 over N} CF (t; n)}
E [ у 2 ] = 1 2 N ( 1 − C F ( 2 т ; п ) ) { displaystyle E [y ^ {2}] = {1 over 2N} (1-CF (2t; n))}
E [ Икс 2 ] = 1 2 N ( 1 + C F ( 2 т ; п ) ) { displaystyle E [x ^ {2}] = {1 over 2N} (1 + CF (2t; n))}
E [ Икс у 2 ] = т 2 3 N 2 C F ( т ; п ) 3 + ( N − 1 2 N 2 ) ( 1 − т C F ( 2 т ; п ) ) C F ( т ; п ) { displaystyle E [xy ^ {2}] = {t ^ {2} over 3N ^ {2}} CF (t; n) ^ {3} + ({N-1 over 2N ^ {2}} ) (1-tCF (2t; n)) CF (t; n)}
E [ Икс 2 у 2 ] = 1 8 N 3 ( 1 − C F ( 4 т ; п ) ) + ( N − 1 4 N 3 ) ( 1 − C F ( 2 т ; п ) 2 ) + ( N − 1 3 N 3 ) т 2 C F ( т ; п ) 4 + ( ( N − 1 ) ( N − 2 ) N 3 ) C F ( т ; п ) 2 ( 1 − C F ( 2 т ; п ) ) { displaystyle E [x ^ {2} y ^ {2}] = {1 over 8N ^ {3}} (1-CF (4t; n)) + ({N-1 over 4N ^ {3} }) (1-CF (2t; n) ^ {2}) + ({N-1 over 3N ^ {3}}) t ^ {2} CF (t; n) ^ {4} + ({( N-1) (N-2) над N ^ {3}}) CF (t; n) ^ {2} (1-CF (2t; n))}
Смотрите также
использованная литература
^ а б c d Buchanan, K .; Хафф, Г. Х. (июль 2011 г.). «Сравнение геометрически связанных случайных массивов в евклидовом пространстве». 2011 Международный симпозиум IEEE по антеннам и распространению сигнала (APSURSI) : 2008–2011. Дои :10.1109 / APS.2011.5996900 . ISBN 978-1-4244-9563-4 ^ Buchanan, K .; Flores, C .; Wheeland, S .; Jensen, J .; Grayson, D .; Хафф, Г. (май 2017 г.). «Формирование диаграммы направленности для радиолокационных приложений с использованием случайных решеток с круговым сужением». Конференция IEEE Radar 2017 (RadarConf) : 0112–0117. Дои :10.1109 / RADAR.2017.7944181 . ISBN 978-1-4673-8823-8 ^ Buchanan, K .; Flores, C .; Wheeland, S .; Jensen, J .; Grayson, D .; Хафф, Г. (май 2017 г.). «Экспериментальное формирование луча передачи с использованием кругового канонического семейства, привязанного к геометрическому месту квадратичных корней». Конференция IEEE Radar 2017 (RadarConf) : 0083–0088. Дои :10.1109 / RADAR.2017.7944176 . ISBN 978-1-4673-8823-8 ^ https://ieeexplore.ieee.org/document/9034474 ^ Бьюкенен, Кристофер; Флорес, Карлос; Уилланд, Сара; Дженсен, Джеффри; Грейсон, Дэвид; Хафф, Грегори (2017). «Формирование диаграммы направленности для радиолокационных приложений с использованием случайных решеток с круговым сужением». Конференция IEEE Radar 2017 (радар Конф) . С. 0112–0117. Дои :10.1109 / RADAR.2017.7944181 . ISBN 978-1-4673-8823-8 ^ https://oaktrust.library.tamu.edu/handle/1969.1/157918 ^ Overturf, Дрю; Бьюкенен, Кристофер; Дженсен, Джеффри; Уилланд, Сара; Хафф, Грегори (2017). «Исследование диаграмм направленности из объемно распределенных фазированных решеток». MILCOM 2017-2017 Конференция по военной связи IEEE (MILCOM) . С. 817–822. Дои :10.1109 / MILCOM.2017.8170756 . ISBN 978-1-5386-0595-0 https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8170756/ ^ В., Вайсштейн, Эрик. «Функция Струве» . mathworld.wolfram.com . Получено 2017-07-28 . ^ «Расширенное формирование луча для распределенных и многолучевых сетей» (PDF) .внешняя ссылка
Дискретный одномерный Дискретный одномерный Непрерывный одномерный Непрерывный одномерный Непрерывный одномерный Непрерывный одномерный Смешанная непрерывно-дискретная одномерная Многовариантный (совместный) Направленный Вырожденный и единственное число Семьи
![х в [-R; + R] !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3105e8d28b7609d6a4562c205f8431c29be1404c)
%3D_90_0figure92.png)
%3D_90_0_AmplitudeType%3D_Zernike_2D_ModeNumber%3D_0figure9.png)
%3D_90_0_AmplitudeType%3D_SphericalHarmonic_ModeNumber%3D_0figure9.png)
![{ displaystyle Z = { rho c pi a ^ {2} [R_ {1} (2ka) -iX_ {1} (2ka)],}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc77de73b171b5bbc9a0fc5ae5f52609fc38052c)
![{ displaystyle | R | = {{1 over N} |} sum _ {k = 1} ^ {N} exp [ix_ {n} t] |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e3f8c0532c5a4a78398f6431e31d35613648ff)
![{ displaystyle E [x] = {1 over N} CF (t; n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c01b1883bc7fe7e05702ee3b12647f01408199c)
![{ displaystyle E [y ^ {2}] = {1 over 2N} (1-CF (2t; n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083e2407aa2415a98987f6a7e81e97e96fe1cc2b)
![{ displaystyle E [x ^ {2}] = {1 over 2N} (1 + CF (2t; n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617a58c32996c7c8255cc1153038f4035aeb9573)
![{ displaystyle E [xy ^ {2}] = {t ^ {2} over 3N ^ {2}} CF (t; n) ^ {3} + ({N-1 over 2N ^ {2}} ) (1-tCF (2t; n)) CF (t; n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9221f89cf8778847adc97d09b3c51e834d86a24a)
![{ displaystyle E [x ^ {2} y ^ {2}] = {1 over 8N ^ {3}} (1-CF (4t; n)) + ({N-1 over 4N ^ {3} }) (1-CF (2t; n) ^ {2}) + ({N-1 over 3N ^ {3}}) t ^ {2} CF (t; n) ^ {4} + ({( N-1) (N-2) над N ^ {3}}) CF (t; n) ^ {2} (1-CF (2t; n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0172aae6eb42741cf59802500858508264aa798)