WikiDer > Нормально-обратное гауссово распределение

Нормально-обратный гауссовский (NIG)

Параметры	${displaystyle mu}$ место расположения (настоящий) ${displaystyle alpha}$ тяжесть хвоста (реальная) ${displaystyle eta}$ параметр асимметрии (реальный) ${displaystyle delta}$ параметр масштаба (настоящий) ${displaystyle gamma = {sqrt {alpha ^ {2} - eta ^ {2}}}}$
Поддерживать	${displaystyle xin (-infty; + infty)!}$
PDF	${displaystyle {frac {alpha delta K_ {1} left (alpha {sqrt {delta ^ {2} + (x-mu) ^ {2}}} ight)} {pi {sqrt {delta ^ {2} + (x -mu) ^ {2}}}}}; e ^ {дельта гамма + эта (x-mu)}}$ ${displaystyle K_ {j}}$ обозначает модифицированный Функция Бесселя третьего вида[1]
Иметь в виду	${displaystyle mu + delta eta / gamma}$
Дисперсия	${displaystyle delta alpha ^ {2} / gamma ^ {3}}$
Асимметрия	${displaystyle 3 eta / (альфа {sqrt {delta gamma}})}$
Бывший. эксцесс	${displaystyle 3 (1 + 4 eta ^ {2} / alpha ^ {2}) / (delta gamma)}$
MGF	${displaystyle e ^ {mu z + delta (gamma - {sqrt {alpha ^ {2} - (eta + z) ^ {2}}})}}$
CF	${displaystyle e ^ {imu z + delta (gamma - {sqrt {alpha ^ {2} - (eta + iz) ^ {2}}})}}$

В нормально-обратное гауссово распределение (NIG) это непрерывное распределение вероятностей что определяется как нормальная смесь средних дисперсий где плотность смешения - это обратное гауссово распределение. Распределение NIG было отмечено Blaesild в 1977 году как подкласс обобщенное гиперболическое распределение обнаружен Оле Барндорф-Нильсен.^[2] В следующем году Барндорф-Нильсен опубликовал NIG в другой газете.^[3] Он был введен в математические финансы литература в 1997 году.^[4]

Параметры нормально-обратного гауссова распределения часто используются для построения графика тяжести и асимметрии, называемого NIG-треугольником.^[5]

Характеристики

Моменты

Тот факт, что существует простое выражение для функции, производящей момент, означает, что доступны простые выражения для всех моментов.^[6][7]

Линейное преобразование

Этот класс закрыт аффинные преобразования, поскольку это частный случай Обобщенное гиперболическое распределение, обладающий таким же свойством. Если

${displaystyle xsim {mathcal {NIG}} (альфа, эта, дельта, мю) {ext {и}} y = ax + b,}$

тогда^[8]

${displaystyle ysim {mathcal {NIG}} {igl (} {frac {alpha} {left | aight |}}, {frac {eta} {a}}, left | aight | delta, amu + b {igr)}. }$

Суммирование

Этот класс бесконечно делимый, поскольку это частный случай Обобщенное гиперболическое распределение, обладающий таким же свойством.

Свертка

Класс нормально-обратных гауссовских распределений замкнут относительно свертка в следующем смысле:^[9] если ${displaystyle X_ {1}}$ и ${displaystyle X_ {2}}$ находятся независимый случайные переменные которые распределены NIG с одинаковыми значениями параметров ${displaystyle alpha}$ и ${displaystyle eta}$, но возможны разные значения параметров местоположения и масштаба, ${displaystyle mu _ {1}}$, ${displaystyle delta _ {1}}$ и ${displaystyle mu _ {2},}$ ${displaystyle delta _ {2}}$соответственно, то ${displaystyle X_ {1} + X_ {2}}$ NIG-распределен с параметрами ${displaystyle alpha,}$ ${displaystyle eta,}$${displaystyle mu _ {1} + mu _ {2}}$ и ${displaystyle delta _ {1} + delta _ {2}.}$

Связанные дистрибутивы

Класс распределений NIG - это гибкая система распределений, которая включает в себя дистрибутивы с толстым хвостом и асимметричные распределения, а также нормальное распределение, ${displaystyle N (mu, sigma ^ {2}),}$ возникает как частный случай, если установить ${displaystyle eta = 0, delta = sigma ^ {2} alpha,}$ и позволяя ${displaystyle alpha ightarrow infty}$.

Стохастический процесс

Нормально-обратное гауссовское распределение также можно рассматривать как маргинальное распределение нормально-обратного гауссовского процесса, которое обеспечивает альтернативный способ его явного построения. Начиная с дрейфующего броуновского движения (Винеровский процесс), ${displaystyle W ^ {(гамма)} (t) = W (t) + гамма t}$, мы можем определить обратный гауссовский процесс ${displaystyle A_ {t} = inf {s> 0: W ^ {(gamma)} (s) = delta t}.}$ Затем, учитывая второе независимое дрейфующее броуновское движение, ${displaystyle W ^ {(eta)} (t) = {ilde {W}} (t) + eta t}$, нормально-обратный гауссовский процесс - это измененный во времени процесс ${displaystyle X_ {t} = W ^ {(eta)} (A_ {t})}$. Процесс ${displaystyle X (t)}$ вовремя ${displaystyle t = 1}$ имеет нормально-обратное гауссово распределение, описанное выше. Процесс NIG является частным случаем более общего класса Леви процессы.

Как смесь средних значений дисперсии

Позволять ${displaystyle {mathcal {IG}}}$ обозначить обратное гауссово распределение и ${displaystyle {mathcal {N}}}$ обозначить нормальное распределение. Позволять ${displaystyle zsim {mathcal {IG}} (дельта, гамма)}$, куда ${displaystyle gamma = {sqrt {alpha ^ {2} - eta ^ {2}}}}$; и разреши ${displaystyle xsim {mathcal {N}} (mu + eta z, z)}$, тогда ${displaystyle x}$ следует распределению NIG с параметрами, ${displaystyle alpha, eta, delta, mu}$. Это можно использовать для генерации переменных NIG с помощью наследственный отбор. Его также можно использовать для получения EM алгоритм за максимальная вероятность оценка параметров NIG.^[10]

Рекомендации