WikiDer > Гамма-распределение

Гамма

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	k > 0 форма θ > 0 шкала	α > 0 форма β > 0 ставка
Поддерживать	${ Displaystyle х в (0, infty)}$	${ Displaystyle х в (0, infty)}$
PDF	${ displaystyle f (x) = { frac {1} { Gamma (k) theta ^ {k}}} x ^ {k-1} e ^ {- { frac {x} { theta}} }}$	${ Displaystyle е (х) = { гидроразрыва { beta ^ { alpha}} { Gamma ( alpha)}} x ^ { alpha -1} e ^ {- beta x}}$
CDF	${ Displaystyle F (x) = { frac {1} { Gamma (k)}} gamma left (k, { frac {x} { theta}} right)}$	${ Displaystyle F (x) = { гидроразрыва {1} { Gamma ( alpha)}} gamma ( alpha, beta x)}$
Иметь в виду	${ Displaystyle к тета}$	${ displaystyle { frac { alpha} { beta}}}$
Медиана	Нет простой закрытой формы	Нет простой закрытой формы
Режим	${ Displaystyle (к-1) тета { текст {для}} к geq 1}$	${ displaystyle { frac { alpha -1} { beta}} { text {for}} alpha geq 1}$
Дисперсия	${ Displaystyle к тета ^ {2}}$	${ displaystyle { frac { alpha} { beta ^ {2}}}}$
Асимметрия	${ displaystyle { frac {2} { sqrt {k}}}}$	${ displaystyle { frac {2} { sqrt { alpha}}}}$
Бывший. эксцесс	${ displaystyle { frac {6} {k}}}$	${ displaystyle { frac {6} { alpha}}}$
Энтропия	${ Displaystyle { begin {выровнено} к & + пер тета + пер гамма (к) & + (1-к) фунт / кв. дюйм (к) конец {выровнено}}}$	${ Displaystyle { begin {align} alpha & - ln beta + ln Gamma ( alpha) & + (1- alpha) psi ( alpha) end {align}}}$
MGF	${ displaystyle (1- theta t) ^ {- k} { text {for}} t <{ frac {1} { theta}}}$	${ displaystyle left (1 - { frac {t} { beta}} right) ^ {- alpha} { text {for}} t < beta}$
CF	${ Displaystyle (1- тета это) ^ {- к}}$	${ displaystyle left (1 - { frac {it} { beta}} right) ^ {- alpha}}$
Метод моментов	${ Displaystyle к = { гидроразрыва {E [X] ^ {2}} {V [X]}} quad quad}$ ${ displaystyle theta = { frac {V [X]} {E [X]}} quad quad}$	${ Displaystyle альфа = { гидроразрыва {E [X] ^ {2}} {V [X]}}}$ ${ Displaystyle бета = { гидроразрыва {E [X]} {V [X]}}}$

В теория вероятности и статистика, то гамма-распределение это двух-параметр семья непрерывных распределения вероятностей. В экспоненциальное распределение, Распределение Erlang, и распределение хи-квадрат являются частными случаями гамма-распределения. Есть три разных параметризации в общем использовании:

1. С параметр формы k и параметр масштаба θ.
2. С параметром формы α = k и параметр обратного масштаба β = 1/θ, называется параметр скорости.
3. С параметром формы k и средний параметр μ = kθ = α/β.

В каждой из этих трех форм оба параметра являются положительными действительными числами.

Гамма-распределение - это распределение вероятностей максимальной энтропии (как относительно единой базовой меры, так и относительно 1 /Икс базовая мера) для случайной величины Икс для которого E[Икс] = kθ = α/β фиксировано и больше нуля, и E[ln (Икс)] = ψ(k) + ln (θ) = ψ(α) - ln (β) фиксированный (ψ это функция дигаммы).^[1]

Определения

Параметризация с k и θ кажется более распространенным в эконометрика и некоторых других прикладных областях, где, например, гамма-распределение часто используется для моделирования времени ожидания. Например, в жизненное испытание, время ожидания смерти - это случайная переменная который часто моделируется с помощью гамма-распределения. Увидеть Хогга и Крейга^[2] для явной мотивации.

Параметризация с α и β чаще встречается в Байесовская статистика, где гамма-распределение используется как сопряженный предшествующий распределения для различных типов параметров обратной шкалы (ставки), таких как λ из экспоненциальное распределение или распределение Пуассона^[3] - или, если на то пошло, β самого гамма-распределения. Тесно связанные обратное гамма-распределение используется в качестве сопряженного априорного значения для параметров масштаба, таких как отклонение из нормальное распределение.

Если k положительный целое число, то распределение представляет собой Распределение Erlang; т.е. сумма k независимый экспоненциально распределенный случайные переменные, каждый из которых имеет среднее значение θ.

Характеристика с помощью формы α и оценить β

Гамма-распределение может быть параметризовано с помощью параметр формы α = k и параметр обратного масштаба β = 1/θ, называется параметр скорости. Случайная величина Икс гамма-распределение с формой α и оценить β обозначается

${ Displaystyle Икс сим Гамма ( альфа, бета) экв OperatorName {Гамма} ( альфа, бета)}$

Соответствующая функция плотности вероятности в параметризации скорости формы равна

${ displaystyle { begin {align} f (x; alpha, beta) & = { frac { beta ^ { alpha} x ^ { alpha -1} e ^ {- beta x}} { Gamma ( alpha)}} quad { text {for}} x> 0 quad alpha, beta> 0, [6pt] end {align}}}$

куда ${ Displaystyle Гамма ( альфа)}$ это гамма-функция. Для всех положительных целых чисел ${ Displaystyle Гамма ( альфа) = ( альфа -1)!}$.

В кумулятивная функция распределения - регуляризованная гамма-функция:

${ Displaystyle F (х; альфа, бета) = int _ {0} ^ {х} F (и; альфа, бета) , ду = { гидроразрыва { гамма ( альфа, бета x)} { Gamma ( alpha)}},}$

куда ${ Displaystyle гамма ( альфа, бета х)}$ это нижний неполная гамма-функция.

Если α положительный целое число (т.е. распределение является Распределение Erlang) кумулятивная функция распределения имеет следующее разложение в ряд:^[4]

${ Displaystyle F (х; альфа, бета) = 1- сумма _ {я = 0} ^ { альфа -1} { гидроразрыва {( бета х) ^ {я}} {я!}} e ^ {- beta x} = e ^ {- beta x} sum _ {i = alpha} ^ { infty} { frac {( beta x) ^ {i}} {i!}} .}$

Характеристика с помощью формы k и масштабировать θ

Случайная величина Икс гамма-распределение с формой k и масштабировать θ обозначается

${ Displaystyle Икс сим Гамма (к, тета) экв OperatorName {Гамма} (к, тета)}$

Иллюстрация гамма-PDF для значений параметров свыше k и Икс с θ установлен на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Можно увидеть каждый θ слой сам по себе здесь [2] а такжеk [3] иИкс. [4].

В функция плотности вероятности с использованием параметризации в масштабе формы

${ Displaystyle е (х; к, theta) = { frac {x ^ {k-1} e ^ {- { frac {x} { theta}}}} { theta ^ {k} Gamma (k)}} quad { text {for}} x> 0 { text {and}} k, theta> 0.}$

Здесь Γ (k) это гамма-функция оценивается в k.

В кумулятивная функция распределения - регуляризованная гамма-функция:

${ Displaystyle F (x; к, theta) = int _ {0} ^ {x} f (u; k, theta) , du = { frac { gamma left (k, { frac {x} { theta}} right)} { Gamma (k)}},}$

куда ${ displaystyle gamma left (k, { frac {x} { theta}} right)}$ это нижний неполная гамма-функция.

Также это можно выразить следующим образом, если k положительный целое число (т.е. распределение является Распределение Erlang):^[4]

${ Displaystyle F (х; к, theta) = 1- sum _ {я = 0} ^ {k-1} { frac {1} {я!}} left ({ frac {x} { theta}} right) ^ {i} e ^ {- x / theta} = e ^ {- x / theta} sum _ {i = k} ^ { infty} { frac {1} { i!}} left ({ frac {x} { theta}} right) ^ {i}.}$

Обе параметризации являются общими, поскольку любая из них может быть более удобной в зависимости от ситуации.

Характеристики

Асимметрия

Асимметрия гамма-распределения зависит только от его параметра формы, k, и он равен ${ displaystyle 2 / { sqrt {k}}.}$

Расчет медианы

В отличие от режима и среднего, которые имеют легко вычисляемые формулы на основе параметров, медиана не имеет уравнения в замкнутой форме. Медиана этого распределения определяется как значение ${ displaystyle nu}$ такой, что

${ displaystyle { frac {1} { Gamma (k) theta ^ {k}}} int _ {0} ^ { nu} x ^ {k-1} e ^ {- x / theta} dx = { frac {1} {2}}.}$

Строгий подход к проблеме определения асимптотического разложения и оценок медианы гамма-распределения был впервые проведен Ченом и Рубином, которые доказали, что (для ${ Displaystyle theta = 1}$)

${ displaystyle mu - { frac {1} {3}} < nu < mu,}$

куда ${ displaystyle mu = k}$ это среднее и ${ displaystyle nu}$ это медиана ${ displaystyle { text {Gamma}} (k, 1)}$ распространение.^[5]

К. П. Чой нашел первые пять членов в асимптотическом разложении медианы, сравнив медиану с оценкой Рамануджана. ${ displaystyle theta}$ функция.^[6] Берг и Педерсен нашли больше терминов:^[7]

${ displaystyle nu = k - { frac {1} {3}} + { frac {8} {405k}} + { frac {184} {25515k ^ {2}}} + { frac {2248 } {3444525k ^ {3}}} - { frac {19006408} {15345358875k ^ {4}}} - O left ({ frac {1} {k ^ {5}}} right) + cdots}$

Они также доказали многие свойства медианы, показали, что ${ displaystyle nu}$ является выпуклой функцией от ${ displaystyle k}$,^[8] и показал, что асимптотика вблизи ${ displaystyle mu = 0}$ является ${ displaystyle nu = e ^ {- gamma} 2 ^ {- 1 / k}}$.^[7]

Суммирование

Если Икс_я имеет гамму (k_я, θ) раздача для я = 1, 2, ..., N (т.е. все распределения имеют одинаковый масштабный параметр θ), тогда

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} X_ {i} sim mathrm {Gamma} left ( sum _ {i = 1} ^ {N} k_ {i}, theta right )}$

при условии, что все Икс_я находятся независимый.

Для случаев, когда Икс_я находятся независимый но имеют разные параметры масштаба см. Матхай ^[9] или Moschopoulos.^[10]

Гамма-распределение показывает бесконечная делимость.

Масштабирование

Если

${ Displaystyle X sim mathrm {Гамма} (к, theta),}$

тогда для любого c > 0,

${ displaystyle cX sim mathrm {Gamma} (k, c , theta),}$ по моментным производящим функциям,

или эквивалентно

${ displaystyle cX sim mathrm {Gamma} left ( alpha, { frac { beta} {c}} right),}$

Действительно, мы знаем, что если Икс является экспоненциальная с.в. со скоростью λ тогда cX - экспоненциальная с.в. со скоростью λ/c; то же самое верно и с вариациями гаммы (и это можно проверить с помощью момент-производящая функциясм., например,эти заметки, 10.4- (ii)): умножение на положительную константу c делит ставку (или, что то же самое, умножает шкалу).

Экспоненциальная семья

Гамма-распределение - двухпараметрическое экспоненциальная семья с естественные параметры k - 1 и −1 /θ (эквивалентно, α - 1 и -β), и естественная статистика Икс и ln (Икс).

Если параметр формы k фиксируется, результирующее однопараметрическое семейство распределений представляет собой естественная экспоненциальная семья.

Логарифмическое ожидание и дисперсия

Можно показать, что

${ displaystyle operatorname {E} [ ln (X)] = psi ( alpha) - ln ( beta)}$

или эквивалентно,

${ Displaystyle OperatorName {E} [ ln (X)] = psi (k) + ln ( theta)}$

куда ψ это функция дигаммы. Точно так же

${ displaystyle operatorname {var} [ ln (X)] = psi ^ {(1)} ( alpha) = psi ^ {(1)} (k)}$

куда ${ Displaystyle psi ^ {(1)}}$ это функция тригаммы.

Это можно вывести с помощью экспоненциальная семья формула для моментная производящая функция достаточной статистики, поскольку одной из достаточных статистик гамма-распределения является ln (Икс).

Информационная энтропия

В информационная энтропия является

${ Displaystyle { begin {выровнено} OperatorName {H} (X) & = operatorname {E} [- ln (p (X))] & = operatorname {E} [- alpha ln ( beta) + ln ( Gamma ( alpha)) - ( alpha -1) ln (X) + beta X] & = alpha - ln ( beta) + ln ( Гамма ( alpha)) + (1- alpha) psi ( alpha). End {выравнивается}}}$

в k, θ параметризация, информационная энтропия дан кем-то

${ displaystyle operatorname {H} (X) = k + ln ( theta) + ln ( Gamma (k)) + (1-k) psi (k).}$

Дивергенция Кульбака – Лейблера

Иллюстрация дивергенции Кульбака – Лейблера (КЛ) для двух гамма-PDF. Здесь β = β₀ + 1, которые установлены на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Типичная асимметрия для расхождения KL хорошо видна.

В Дивергенция Кульбака – Лейблера (KL-дивергенция), гамма (α_п, β_п) ("истинное" распределение) от Gamma (α_q, β_q) ("аппроксимирующее" распределение) определяется выражением^[11]

${ displaystyle { begin {align} D _ { mathrm {KL}} ( alpha _ {p}, beta _ {p}; alpha _ {q}, beta _ {q}) = {} & ( alpha _ {p} - alpha _ {q}) psi ( alpha _ {p}) - log Gamma ( alpha _ {p}) + log Gamma ( alpha _ {q} ) & {} + alpha _ {q} ( log beta _ {p} - log beta _ {q}) + alpha _ {p} { frac { beta _ {q} - beta _ {p}} { beta _ {p}}}. end {align}}}$

Написано с использованием k, θ параметризация, KL-дивергенция гамма (k_п, θ_п) из гаммы (k_q, θ_q) дан кем-то

${ displaystyle { begin {align} D _ { mathrm {KL}} (k_ {p}, theta _ {p}; k_ {q}, theta _ {q}) = {} & (k_ {p } -k_ {q}) psi (k_ {p}) - log Gamma (k_ {p}) + log Gamma (k_ {q}) & {} + k_ {q} ( log theta _ {q} - log theta _ {p}) + k_ {p} { frac { theta _ {p} - theta _ {q}} { theta _ {q}}}. конец {выровнен}}}$

Преобразование Лапласа

В Преобразование Лапласа гамма PDF

${ Displaystyle F (s) = (1+ theta s) ^ {- k} = { frac { beta ^ { alpha}} {(s + beta) ^ { alpha}}}.}$

Связанные дистрибутивы

Общее

• Позволять ${ Displaystyle X_ {1}, X_ {2} ldots X_ {n}}$ быть ${ displaystyle n}$ независимых и одинаково распределенных случайных величин, следующих за экспоненциальное распределение с параметром скорости λ, то ${ Displaystyle сумма _ {я} X_ {я}}$ ~ Gamma (n, 1 / λ), где n - параметр формы, а 1 / λ - масштаб.
• Если Икс ~ Gamma (1, 1 / λ) (параметризация формы и масштаба), тогда Икс имеет экспоненциальное распределение с параметром скорости λ.
• Если Икс ~ Gamma (ν / 2, 2) (параметризация формы и масштаба), тогда Икс идентичен χ²(ν), распределение хи-квадрат с ν степени свободы. Наоборот, если Q ~ χ²(ν) и c положительная константа, то cQ ~ Гамма (ν/2, 2c).
• Если k является целое число, гамма-распределение представляет собой Распределение Erlang и - распределение вероятностей времени ожидания до kй "приход" в одномерном Пуассоновский процесс с интенсивностью 1 /θ. Если

${ displaystyle X sim Gamma (к in mathbf {Z}, theta), qquad Y sim mathrm {Pois} left ({ frac {x} { theta}} right), }$

тогда

${ Displaystyle P (X> x) = P (Y$

• Если Икс имеет Распределение Максвелла – Больцмана с параметром а, тогда

${ Displaystyle X ^ {2} sim Gamma left ({ frac {3} {2}}, 2a ^ {2} right)}$.

• Если Икс ~ Гамма (k, θ), тогда ${ displaystyle log {X}}$ следует экспоненциально-гамма-распределению (сокращенно exp-gammma).^[12] Иногда его называют логарифмически-гамма-распределением.^[13] Формулы для его среднего и дисперсии находятся в разделе # Логарифмическое ожидание и дисперсия.
• Если Икс ~ Гамма (k, θ), тогда ${ displaystyle { sqrt {X}}}$ следует за обобщенное гамма-распределение с параметрами п = 2, d = 2k, и ${ Displaystyle а = { sqrt { theta}}}$^{[нужна цитата]}.
• В более общем смысле, если Икс ~ Гамма (k,θ), тогда ${ displaystyle X ^ {q}}$ за ${ displaystyle q> 0}$ следует за обобщенное гамма-распределение с параметрами п = 1/q, d = k/q, и ${ Displaystyle а = тета ^ {q}}$.
• Если Икс ~ Гамма (k, θ), то 1 /Икс ~ Инв-Гамма (k, θ⁻¹) (увидеть Обратное гамма-распределение для вывода).
• Параметризация 1: Если ${ Displaystyle X_ {k} sim Gamma ( alpha _ {k}, theta _ {k}) ,}$ независимы, то ${ displaystyle { frac { alpha _ {2} theta _ {2} X_ {1}} { alpha _ {1} theta _ {1} X_ {2}}} sim mathrm {F} (2 alpha _ {1}, 2 alpha _ {2})}$, или эквивалентно, ${ displaystyle { frac {X_ {1}} {X_ {2}}} sim beta ' left ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, 1, { frac { theta _ {1}} { theta _ {2}}} right)}$
• Параметризация 2: Если ${ Displaystyle X_ {k} sim Gamma ( alpha _ {k}, beta _ {k}) ,}$ независимы, то ${ displaystyle { frac { alpha _ {2} beta _ {1} X_ {1}} { alpha _ {1} beta _ {2} X_ {2}}} sim mathrm {F} (2 alpha _ {1}, 2 alpha _ {2})}$, или эквивалентно, ${ displaystyle { frac {X_ {1}} {X_ {2}}} sim beta ' left ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, 1, { frac { beta _ {2}} { beta _ {1}}} right)}$
• Если Икс ~ Гамма (α, θ) и Y ~ Гамма (β, θ) распределены независимо, то Икс/(Икс + Y) имеет бета-распространение с параметрами α и β, и Икс/(Икс + Y) не зависит от Икс + Y, то есть Гамма (α + β, θ) -распределены.
• Если Икс_я ~ Гамма (α_я, 1) распределены независимо, то вектор (Икс₁/S, ..., Икс_п/S), куда S = Икс₁ + ... + Икс_п, следует за Распределение Дирихле с параметрами α₁, ..., α_п.
• Для больших k гамма-распределение сходится к нормальное распределение со средним μ = kθ и дисперсия σ² = kθ².
• Гамма-распределение - это сопряженный предшествующий для точности нормальное распределение с известными иметь в виду.
• В Распределение Уишарта является многомерным обобщением гамма-распределения (выборки представляют собой положительно определенные матрицы, а не положительные действительные числа).
• Гамма-распределение - это частный случай обобщенное гамма-распределение, то обобщенное целочисленное гамма-распределение, а обобщенное обратное гауссово распределение.
• Среди дискретных распределений отрицательное биномиальное распределение иногда рассматривается как дискретный аналог гамма-распределения.
• Распределения твиди - гамма-распределение принадлежит к семейству Tweedie модели экспоненциальной дисперсии.

Составная гамма

Если параметр формы гамма-распределения известен, но параметр обратного масштаба неизвестен, то гамма-распределение для обратного масштаба образует сопряженный априор. В составное распределение, который является результатом интегрирования обратной шкалы, имеет решение в замкнутой форме, известное как составное гамма-распределение.^[14]

Если вместо этого параметр формы известен, но среднее значение неизвестно, а априор среднего значения задается другим гамма-распределением, то это приводит к K-распределение.

Статистические выводы

Оценка параметров

Оценка максимального правдоподобия

Функция правдоподобия для N iid наблюдения (Икс₁, ..., Икс_N) является

${ Displaystyle L (к, theta) = prod _ {i = 1} ^ {N} f (x_ {i}; k, theta)}$

из которого мы вычисляем функцию логарифма правдоподобия

${ displaystyle ell (к, theta) = (k-1) sum _ {i = 1} ^ {N} ln (x_ {i}) - sum _ {i = 1} ^ {N} { frac {x_ {i}} { theta}} - Nk ln ( theta) -N ln ( Gamma (k))}$

Нахождение максимума по θ взяв производную и установив ее равной нулю, получаем максимальная вероятность оценщик θ параметр:

${ displaystyle { hat { theta}} = { frac {1} {kN}} sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i}}$

Подставляя это в функцию логарифма правдоподобия, получаем

${ displaystyle ell = (k-1) sum _ {i = 1} ^ {N} ln (x_ {i}) - Nk-Nk ln left ({ frac { sum x_ {i}) } {kN}} right) -N ln ( Gamma (k))}$

Нахождение максимума по k взяв производную и установив ее равной нулю, получаем

${ displaystyle ln (k) - psi (k) = ln left ({ frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} right) - { гидроразрыва {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} ln (x_ {i})}$

куда ψ это функция дигаммы. Нет закрытого решения для k. Функция имеет очень хорошее числовое поведение, поэтому, если требуется численное решение, его можно найти, например, с помощью Метод Ньютона. Начальное значение k можно найти либо с помощью метод моментов, или используя приближение

${ displaystyle ln (k) - psi (k) приблизительно { frac {1} {2k}} left (1 + { frac {1} {6k + 1}} right)}$

Если мы позволим

${ displaystyle s = ln left ({ frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} right) - { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} ln (x_ {i})}$

тогда k примерно

${ Displaystyle к приблизительно { гидроразрыва {3-s + { sqrt {(s-3) ^ {2} + 24s}}} {12s}}}$

что находится в пределах 1,5% от правильного значения.^[15] Явная форма обновления этого начального предположения по Ньютону – Рафсону:^[16]

${ displaystyle k leftarrow k - { frac { ln (k) - psi (k) -s} {{ frac {1} {k}} - psi ^ { prime} (k)}} .}$

Оценщики в закрытой форме

Последовательные оценки в закрытой форме k и θ существуют, которые получены из вероятности обобщенное гамма-распределение.^[17]

Оценка формы k является

${ displaystyle { hat {k}} = { frac {N sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i}} {N sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i } ln (x_ {i}) - sum _ {i = 1} ^ {N} ln (x_ {i}) sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i}}}}$

и оценка масштаба θ является

${ displaystyle { hat { theta}} = { frac {1} {N ^ {2}}} left (N sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ln (x_ {i}) - sum _ {i = 1} ^ {N} ln (x_ {i}) sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} right)}$

Если используется параметризация скорости, оценка ${ displaystyle { hat { beta}} = { frac {1} { hat { theta}}}}$.

Эти оценщики не являются строго оценщиками максимального правдоподобия, а вместо этого называются оценщиками логарифмического момента смешанного типа. Однако они имеют такую ​​же эффективность, что и оценки максимального правдоподобия.

Хотя эти оценки согласованы, они имеют небольшую погрешность. Вариант оценки для шкалы с поправкой на смещение θ является

${ displaystyle { tilde { theta}} = { frac {N} {N-1}} { hat { theta}}}$

Корректировка смещения для параметра формы k дается как^[18]

${ displaystyle { tilde {k}} = { hat {k}} - { frac {1} {N}} left (3 { hat {k}} - { frac {2} {3}) } left ({ frac { hat {k}} {1 + { hat {k}}}} right) - { frac {4} {5}} { frac { hat {k}} {(1 + { hat {k}}) ^ {2}}} right)}$

Минимальная байесовская среднеквадратическая ошибка

С известными k и неизвестно θ, апостериорная функция плотности для тета (с использованием стандартного масштабно-инвариантного прежний за θ) является

${ Displaystyle P ( theta mid k, x_ {1}, dots, x_ {N}) propto { frac {1} { theta}} prod _ {i = 1} ^ {N} f (x_ {i}; k, theta)}$

Обозначение

${ Displaystyle Y Equiv sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i}, qquad P ( theta mid k, x_ {1}, dots, x_ {N}) = C (x_ {i}) theta ^ {- Nk-1} e ^ {- y / theta}}$

Интеграция в отношении θ можно провести заменой переменных, обнаружив, что 1 /θ гамма-распределение с параметрами α = Nk, β = у.

${ Displaystyle int _ {0} ^ { infty} theta ^ {- Nk-1 + m} e ^ {- y / theta} , d theta = int _ {0} ^ { infty } x ^ {Nk-1-m} e ^ {- xy} , dx = y ^ {- (Nk-m)} Gamma (Nk-m) !}$

Моменты можно вычислить, взяв отношение (м к м = 0)

${ displaystyle operatorname {E} [x ^ {m}] = { frac { Gamma (Nk-m)} { Gamma (Nk)}} y ^ {m}}$

который показывает, что оценка среднего ± стандартное отклонение апостериорного распределения для θ является

${ displaystyle { frac {y} {Nk-1}} pm { sqrt { frac {y ^ {2}} {(Nk-1) ^ {2} (Nk-2)}}}.}.$

Байесовский вывод

Конъюгировать приор

В Байесовский вывод, то гамма-распределение это сопряженный предшествующий ко многим вероятностным распределениям: Пуассон, экспоненциальный, нормальный (с известным средним), Парето, гамма известной формы σ, обратная гамма с известным параметром формы, и Гомпертц с известным масштабным параметром.

Гамма-распределение сопряженный предшествующий является:^[19]

${ Displaystyle p (к, theta mid p, q, r, s) = { frac {1} {Z}} { frac {p ^ {k-1} e ^ {- theta ^ {- 1} q}} { Gamma (k) ^ {r} theta ^ {ks}}},}$

куда Z - нормализующая константа, не имеющая решения в замкнутой форме. Апостериорное распределение можно найти, обновив параметры следующим образом:

${ displaystyle { begin {align} p '& = p prod nolimits _ {i} x_ {i}, q' & = q + sum nolimits _ {i} x_ {i}, r '& = r + n, s' & = s + n, end {выровнено}}}$

куда п - количество наблюдений, а Икс_я это я-е наблюдение.

Возникновение и приложения

Гамма-распределение использовалось для моделирования размера страховые выплаты^[20] и осадки.^[21] Это означает, что совокупные страховые выплаты и количество осадков, накопленных в водохранилище, моделируются с помощью гамма-процесс - очень похоже на экспоненциальное распределение генерирует Пуассоновский процесс.

Гамма-распределение также используется для моделирования ошибок в многоуровневых Регрессия Пуассона модели, потому что смесь из Распределения Пуассона с гамма-распределением ставок имеет известное распределение в закрытой форме, называемое отрицательный бином.

В беспроводной связи гамма-распределение используется для моделирования многолучевое замирание мощности сигнала;^{[нужна цитата]} смотрите также Распределение Рэлея и Райское распределение.

В онкология, возрастное распределение рак заболеваемость часто следует за гамма-распределением, тогда как параметры формы и масштаба предсказывают, соответственно, количество события водителя и временной интервал между ними.^[22]

В нейробиология, гамма-распределение часто используется для описания распределения межспайковые интервалы.^[23][24]

В бактериальный экспрессия гена, то номер копии из конститутивно выраженный белок часто следует гамма-распределению, где масштаб и параметр формы представляют собой, соответственно, среднее количество всплесков на клеточный цикл и среднее количество белковые молекулы продуцируется одной мРНК в течение своей жизни.^[25]

В геномика, гамма-распределение применялось в пик вызова шаг (т.е. распознавание сигнала) в ЧИП-чип^[26] и ChIP-seq^[27] анализ данных.

Гамма-распределение широко используется как сопряженный предшествующий в байесовской статистике. Это сопряженная априорная величина для точности (то есть обратная дисперсии) нормальное распределение. Это также сопряженный априор для экспоненциальное распределение.

Генерация случайных величин с гамма-распределением

Учитывая указанное выше свойство масштабирования, достаточно сгенерировать гамма-переменные с θ = 1, так как позже мы можем преобразовать в любое значение β с простым делением.

Предположим, мы хотим сгенерировать случайные величины из Gamma (п + δ, 1), где n - целое неотрицательное число и 0 < δ <1. Используя тот факт, что распределение Gamma (1, 1) совпадает с распределением Exp (1), и отмечая метод генерация экспоненциальных переменных, заключаем, что если U является равномерно распределены на (0, 1], то −ln (U) распределен Gamma (1, 1) (т.е. выборка с обратным преобразованием). Теперь, используя "α-добавление свойства гамма-распределения, расширяем этот результат:

${ displaystyle - sum _ {k = 1} ^ {n} ln U_ {k} sim Gamma (n, 1)}$

куда U_k все равномерно распределены на (0, 1] и независимый. Теперь осталось только сгенерировать переменную, распределенную как Gamma (δ, 1) для 0 < δ <1 и примените "α-добавление еще раз. Это самая сложная часть.

Случайная генерация гамма-переменных подробно обсуждается Devroye,^{[28]:401–428} отмечая, что ни один из них не является равномерно быстрым для всех параметров формы. При малых значениях параметра формы алгоритмы часто не работают.^[28]:406 Для произвольных значений параметра формы можно применить метод Аренса и Дитера.^[29] модифицированный метод приемки-брака Алгоритм GD (форма k ≥ 1) или метод преобразования^[30] когда 0 < k <1. См. Также Cheng and Feast Algorithm GKM 3.^[31] или метод сжатия Марсальи.^[32]

Ниже приводится версия Аренса-Дитера. метод приема – отказа:^[29]

1. Генерировать U, V и W так как iid uniform (0, 1] изменяется.
2. Если ${ displaystyle U leq { frac {e} {e + delta}}}$ тогда ${ Displaystyle xi = V ^ {1 / delta}}$ и ${ displaystyle eta = W xi ^ { delta -1}}$. Иначе, ${ Displaystyle xi = 1- ln V}$ и ${ Displaystyle eta = Мы ^ {- xi}}$.
3. Если ${ displaystyle eta> xi ^ { delta -1} e ^ {- xi}}$ затем переходите к шагу 1.
4. ξ распределяется как Γ (δ, 1).

Краткое изложение этого

${ displaystyle theta left ( xi - sum _ {i = 1} ^ { lfloor k rfloor} ln (U_ {i}) right) sim Gamma (k, theta)}$

куда ${ Displaystyle scriptstyle lfloor k rfloor}$ это целая часть k, ξ генерируется с помощью алгоритма выше с δ = {k} (дробная часть k) и U_k все независимы.

Хотя описанный выше подход технически верен, Деврой отмечает, что он линейен в отношении значения k да и вообще не удачный выбор. Вместо этого он рекомендует использовать методы на основе отклонения или таблицы, в зависимости от контекста.^{[28]:401–428}

Например, простой метод отклонения преобразования Марсальи, основанный на одной нормальной переменной Икс и один вариант униформы U:^[33]

1. Набор ${ displaystyle d = a - { frac {1} {3}}}$ и ${ displaystyle c = { frac {1} { sqrt {9d}}}}$.
2. Набор ${ Displaystyle v = (1 + cX) ^ {3}}$.
3. Если ${ displaystyle v> 0}$ и ${ displaystyle ln U <{ frac {X ^ {2}} {2}} + d-dv + d ln v}$ возвращаться ${ displaystyle dv}$, иначе вернитесь к шагу 2.

С участием ${ Displaystyle 1 Leq а = альфа = к}$ генерирует случайное число с гамма-распределением во времени, которое приблизительно постоянно с k. Скорость приема зависит от k, со степенью приемки 0,95, 0,98 и 0,99 для k = 1, 2 и 4. Для k <1, можно использовать ${ displaystyle gamma _ { alpha} = gamma _ {1+ alpha} U ^ {1 / alpha}}$ поднять k для использования с этим методом.

Примечания

внешняя ссылка

Викибук Статистика есть страница по теме: Гамма-распределение

• «Гамма-распределение», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Гамма-распределение». MathWorld.
• ModelAssist (2017) Использование гамма-распределения в моделировании рисков, включая прикладные примеры в Excel.
• Справочник по инженерной статистике