WikiDer > F-распределение

Фишер – Снедекор

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	d1, d2 > 0 град. свободы
Поддерживать	${ Displaystyle х в (0, + infty) ;}$ если ${ displaystyle d_ {1} = 1}$, иначе ${ Displaystyle х в [0, + infty) ;}$
PDF	${ displaystyle { frac { sqrt { frac {(d_ {1} x) ^ {d_ {1}} d_ {2} ^ {d_ {2}}} {(d_ {1} x + d_ {2) }) ^ {d_ {1} + d_ {2}}}}} {x , mathrm {B} ! left ({ frac {d_ {1}} {2}}, { frac {d_ {2}} {2}} right)}} !}$
CDF	${ displaystyle I _ { frac {d_ {1} x} {d_ {1} x + d_ {2}}} left ({ tfrac {d_ {1}} {2}}, { tfrac {d_ { 2}} {2}} right)}$
Иметь в виду	${ displaystyle { frac {d_ {2}} {d_ {2} -2}} !}$ за d2 > 2
Режим	${ displaystyle { frac {d_ {1} -2} {d_ {1}}} ; { frac {d_ {2}} {d_ {2} +2}}}$ за d1 > 2
Дисперсия	${ displaystyle { frac {2 , d_ {2} ^ {2} , (d_ {1} + d_ {2} -2)} {d_ {1} (d_ {2} -2) ^ {2 } (d_ {2} -4)}} !}$ за d2 > 4
Асимметрия	${ displaystyle { frac {(2d_ {1} + d_ {2} -2) { sqrt {8 (d_ {2} -4)}}} {(d_ {2} -6) { sqrt {d_ {1} (d_ {1} + d_ {2} -2)}}}} !}$ за d2 > 6
Бывший. эксцесс	см текст
Энтропия	${ Displaystyle ln Gamma left ({ tfrac {d_ {1}} {2}} right) + ln Gamma left ({ tfrac {d_ {2}} {2}} right) - ln Gamma left ({ tfrac {d_ {1} + d_ {2}} {2}} right) + !}$ ${ displaystyle left (1 - { tfrac {d_ {1}} {2}} right) psi left (1 + { tfrac {d_ {1}} {2}} right) - left (1 + { tfrac {d_ {2}} {2}} right) psi left (1 + { tfrac {d_ {2}} {2}} right) !}$ ${ displaystyle + left ({ tfrac {d_ {1} + d_ {2}} {2}} right) psi left ({ tfrac {d_ {1} + d_ {2}} {2}) } right) + ln { frac {d_ {1}} {d_ {2}}} !}$[1]
MGF	не существует, сырые моменты определены в тексте и в [2][3]
CF	см текст

В теория вероятности и статистика, то F-распределение, также известный как Снедекора F распределение или Распределение Фишера – Снедекора (после Рональд Фишер и Джордж В. Снедекор) это непрерывное распределение вероятностей что часто возникает как нулевое распределение из статистика теста, особенно в дисперсионный анализ (ANOVA), например, F-тест.^{[требуется разъяснение][2][3][4][5]}

Определение

Если случайная переменная Икс имеет F-распределение с параметрами d₁ и d₂, мы пишем Икс ~ F (d₁, d₂). Тогда функция плотности вероятности (pdf) для Икс дан кем-то

${ displaystyle { begin {align} f (x; d_ {1}, d_ {2}) & = { frac { sqrt { frac {(d_ {1} x) ^ {d_ {1}} , , d_ {2} ^ {d_ {2}}} {(d_ {1} x + d_ {2}) ^ {d_ {1} + d_ {2}}}}} {x , mathrm { B} ! Left ({ frac {d_ {1}} {2}}, { frac {d_ {2}} {2}} right)}} & = { frac {1} { mathrm {B} ! left ({ frac {d_ {1}} {2}}, { frac {d_ {2}} {2}} right)}} left ({ frac {d_ {1}} {d_ {2}}} right) ^ { frac {d_ {1}} {2}} x ^ {{ frac {d_ {1}} {2}} - 1} left ( 1 + { frac {d_ {1}} {d_ {2}}} , x right) ^ {- { frac {d_ {1} + d_ {2}} {2}}} end {выровнено }}}$

за настоящий Икс > 0. Здесь ${ displaystyle mathrm {B}}$ это бета-функция. Во многих приложениях параметры d₁ и d₂ находятся положительные целые числа, но распределение хорошо определено для положительных реальных значений этих параметров.

В кумулятивная функция распределения является

${ displaystyle F (x; d_ {1}, d_ {2}) = I _ { frac {d_ {1} x} {d_ {1} x + d_ {2}}} left ({ tfrac {d_ {1}} {2}}, { tfrac {d_ {2}} {2}} right),}$

куда я это регуляризованная неполная бета-функция.

Ожидание, дисперсия и другие подробности о F (d₁, d₂) приведены в боковой панели; за d₂ > 8, избыточный эксцесс является

${ displaystyle gamma _ {2} = 12 { frac {d_ {1} (5d_ {2} -22) (d_ {1} + d_ {2} -2) + (d_ {2} -4) ( d_ {2} -2) ^ {2}} {d_ {1} (d_ {2} -6) (d_ {2} -8) (d_ {1} + d_ {2} -2)}}.}$

В k-й момент F (d₁, d₂) распределение существует и конечно только тогда, когда 2k < d₂ и он равен ^[6]

${ displaystyle mu _ {X} (k) = left ({ frac {d_ {2}} {d_ {1}}} right) ^ {k} { frac { Gamma left ({ tfrac {d_ {1}} {2}} + k right)} { Gamma left ({ tfrac {d_ {1}} {2}} right)}} { frac { Gamma left ( { tfrac {d_ {2}} {2}} - k right)} { Gamma left ({ tfrac {d_ {2}} {2}} right)}}}$

В F-распределение - это особая параметризация бета-простое распределение, которое еще называют бета-распределением второго рода.

В характеристическая функция неправильно указан во многих стандартных ссылках (например,^[3]). Правильное выражение ^[7] является

${ displaystyle varphi _ {d_ {1}, d_ {2}} ^ {F} (s) = { frac { Gamma ({ frac {d_ {1} + d_ {2}} {2}}) )} { Gamma ({ tfrac {d_ {2}} {2}})}} U ! Left ({ frac {d_ {1}} {2}}, 1 - { frac {d_ { 2}} {2}}, - { frac {d_ {2}} {d_ {1}}} imath s right)}$

куда U(а, б, z) это конфлюэнтная гипергеометрическая функция второго рода.

Характеристика

А случайное изменение из F-распределение с параметрами ${ displaystyle d_ {1}}$ и ${ displaystyle d_ {2}}$ возникает как отношение двух соответственно масштабированных хи-квадрат варьируется:^[8]

${ displaystyle X = { frac {U_ {1} / d_ {1}} {U_ {2} / d_ {2}}}}$

куда

• ${ displaystyle U_ {1}}$ и ${ displaystyle U_ {2}}$ имеют распределения хи-квадрат с ${ displaystyle d_ {1}}$ и ${ displaystyle d_ {2}}$ степени свободы соответственно, и
• ${ displaystyle U_ {1}}$ и ${ displaystyle U_ {2}}$ находятся независимый.

В тех случаях, когда F-распространение используется, например, в дисперсионный анализ, независимость ${ displaystyle U_ {1}}$ и ${ displaystyle U_ {2}}$ может быть продемонстрировано путем применения Теорема Кохрана.

Эквивалентно случайная величина F-дистрибутив также может быть написан

${ displaystyle X = { frac {s_ {1} ^ {2}} { sigma _ {1} ^ {2}}} div { frac {s_ {2} ^ {2}} { sigma _ {2} ^ {2}}},}$

куда ${ displaystyle s_ {1} ^ {2} = { frac {S_ {1} ^ {2}} {d_ {1}}}}$ и ${ displaystyle s_ {2} ^ {2} = { frac {S_ {2} ^ {2}} {d_ {2}}}}$, ${ Displaystyle S_ {1} ^ {2}}$ это сумма квадратов ${ displaystyle d_ {1}}$ случайные величины из нормального распределения ${ Displaystyle N (0, sigma _ {1} ^ {2})}$ и ${ Displaystyle S_ {2} ^ {2}}$ это сумма квадратов ${ displaystyle d_ {2}}$ случайные величины из нормального распределения ${ Displaystyle N (0, sigma _ {2} ^ {2})}$. ^{[обсуждать][нужна цитата]}

В частотник контекст, масштабированный F-распределение дает вероятность ${ Displaystyle p (s_ {1} ^ {2} / s_ {2} ^ {2} mid sigma _ {1} ^ {2}, sigma _ {2} ^ {2})}$, с F-распределение, без масштабирования, применение где ${ displaystyle sigma _ {1} ^ {2}}$ принимается равным ${ displaystyle sigma _ {2} ^ {2}}$. Это контекст, в котором F-распределение чаще всего появляется в F-тесты: где нулевая гипотеза состоит в том, что две независимые нормальные дисперсии равны, а затем исследуются наблюдаемые суммы некоторых правильно выбранных квадратов, чтобы увидеть, является ли их соотношение значительно несовместимым с этой нулевой гипотезой.

Количество ${ displaystyle X}$ имеет такое же распределение в байесовской статистике, если неинформативный инвариант масштабирования Джеффрис приор берется за априорные вероятности из ${ displaystyle sigma _ {1} ^ {2}}$ и ${ displaystyle sigma _ {2} ^ {2}}$.^[9] В этом контексте масштабный F-распределение, таким образом, дает апостериорную вероятность ${ displaystyle p ( sigma _ {2} ^ {2} / sigma _ {1} ^ {2} mid s_ {1} ^ {2}, s_ {2} ^ {2})}$, где наблюдаемые суммы ${ displaystyle s_ {1} ^ {2}}$ и ${ displaystyle s_ {2} ^ {2}}$ теперь считаются известными.

Свойства и связанные распределения

• Если ${ Displaystyle Х сим чи _ {д_ {1}} ^ {2}}$ и ${ displaystyle Y sim chi _ {d_ {2}} ^ {2}}$ находятся независимый, тогда ${ displaystyle { frac {X / d_ {1}} {Y / d_ {2}}} sim mathrm {F} (d_ {1}, d_ {2})}$
• Если ${ Displaystyle X_ {k} sim Gamma ( alpha _ {k}, beta _ {k}) ,}$ независимы, то ${ displaystyle { frac { alpha _ {2} beta _ {1} X_ {1}} { alpha _ {1} beta _ {2} X_ {2}}} sim mathrm {F} (2 alpha _ {1}, 2 alpha _ {2})}$
• Если ${ displaystyle X sim operatorname {Beta} (d_ {1} / 2, d_ {2} / 2)}$ (Бета-распределение) тогда ${ displaystyle { frac {d_ {2} X} {d_ {1} (1-X)}} sim operatorname {F} (d_ {1}, d_ {2})}$
• Эквивалентно, если ${ Displaystyle X sim F (d_ {1}, d_ {2})}$, тогда ${ displaystyle { frac {d_ {1} X / d_ {2}} {1 + d_ {1} X / d_ {2}}} sim operatorname {Beta} (d_ {1} / 2, d_ { 2} / 2)}$.
• Если ${ Displaystyle X sim F (d_ {1}, d_ {2})}$, тогда ${ displaystyle { frac {d_ {1}} {d_ {2}}} X}$ имеет бета-простое распределение: ${ displaystyle { frac {d_ {1}} {d_ {2}}} X sim operatorname { beta ^ { prime}} ({ tfrac {d_ {1}} {2}}, { tfrac {d_ {2}} {2}})}$.
• Если ${ Displaystyle X sim F (d_ {1}, d_ {2})}$ тогда ${ Displaystyle Y = lim _ {d_ {2} to infty} d_ {1} X}$ имеет распределение хи-квадрат ${ Displaystyle чи _ {д_ {1}} ^ {2}}$
• ${ Displaystyle F (d_ {1}, d_ {2})}$ эквивалентно масштабированному Распределение Т-квадрата Хотеллинга ${ displaystyle { frac {d_ {2}} {d_ {1} (d_ {1} + d_ {2} -1)}} operatorname {T} ^ {2} (d_ {1}, d_ {1 } + d_ {2} -1)}$.
• Если ${ Displaystyle X sim F (d_ {1}, d_ {2})}$ тогда ${ Displaystyle X ^ {- 1} sim F (d_ {2}, d_ {1})}$.
• Если ${ Displaystyle Х сим т _ {(п)}}$ — Распределение Стьюдента - тогда:

${ displaystyle X ^ {2} sim operatorname {F} (1, n)}$

${ displaystyle X ^ {- 2} sim operatorname {F} (n, 1)}$

• F-распределение - частный случай типа 6 Распределение Пирсона
• Если ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ независимы, с ${ displaystyle X, Y sim}$ Лаплас (μ, б) тогда

${ displaystyle { frac {| X- mu |} {| Y- mu |}} sim operatorname {F} (2,2)}$

• Если ${ Displaystyle X sim F (п, м)}$ тогда ${ displaystyle { tfrac { log {X}} {2}} sim operatorname {FisherZ} (n, m)}$ (Z-распределение Фишера)
• В нецентральный F-распределение упрощается до F-распределение, если ${ displaystyle lambda = 0}$.
• Вдвойне нецентральный F-распределение упрощается до F-распределение, если ${ displaystyle lambda _ {1} = lambda _ {2} = 0}$
• Если ${ displaystyle operatorname {Q} _ {X} (p)}$ квантиль п за ${ Displaystyle X sim F (d_ {1}, d_ {2})}$ и ${ displaystyle operatorname {Q} _ {Y} (1-p)}$ квантиль ${ displaystyle 1-p}$ за ${ Displaystyle Y sim F (d_ {2}, d_ {1})}$, тогда

${ displaystyle operatorname {Q} _ {X} (p) = { frac {1} { operatorname {Q} _ {Y} (1-p)}}.}$

• F-дистрибутив является экземпляром соотношения распределения

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка

• Таблица критических значений F-распределение
• Первые употребления некоторых слов математики: запись на F-дистрибутив содержит краткую историю
• Бесплатный калькулятор для F-тестирование