WikiDer > Круговое равномерное распределение

Эта статья в значительной степени или полностью полагается на один источник. Соответствующее обсуждение можно найти на страница обсуждения. Пожалуйста помоги улучшить эту статью путем введения цитаты к дополнительным источникам. Найдите источники: «Круговое равномерное распределение» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Май 2010 г.)

В теория вероятности и направленная статистика, а круговое равномерное распределение - распределение вероятностей на единичной окружности, плотность которого одинакова для всех углов.

Описание

В функция плотности вероятности (pdf) кругового равномерного распределения:

${ displaystyle f_ {UC} ( theta) = { frac {1} {2 pi}}.}$

В терминах круговой переменной ${ Displaystyle г = е ^ {я тета}}$ круговые моменты кругового равномерного распределения равны нулю, за исключением ${ displaystyle m_ {0}}$:

${ displaystyle langle z ^ {n} rangle = delta _ {n}}$

куда ${ displaystyle delta _ {n}}$ это Дельта Кронекера символ.

Средний угол не определен, а длина среднего результата равна нулю.

${ Displaystyle R = | langle z ^ {n} rangle | = 0 ,}$

Распределение среднего

Выборочное среднее для набора N измерения ${ Displaystyle Z_ {п} = е ^ {я тета _ {п}}}$ полученный из кругового равномерного распределения определяется как:

${ displaystyle { overline {z}} = { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} z_ {n} = { overline {C}} + i { overline {S}} = { overline {R}} e ^ {i { overline { theta}}}}$

где средние синус и косинус равны:^[1]

${ displaystyle { overline {C}} = { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} cos ( theta _ {n}) qquad qquad { overline {S}} = { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} sin ( theta _ {n})}$

и средняя результирующая длина:

${ displaystyle { overline {R}} ^ {2} = | { overline {z}} | ^ {2} = { overline {C}} ^ {2} + { overline {S}} ^ { 2}}$

а средний угол равен:

${ Displaystyle { overline { theta}} = mathrm {Arg} ({ overline {z}}). ,}$

Среднее значение для кругового равномерного распределения будет сосредоточено около нуля, становясь более концентрированным по мере того, как N увеличивается. Распределение выборочного среднего для равномерного распределения определяется как:^[2]

${ displaystyle { frac {1} {(2 pi) ^ {N}}} int _ { Gamma} prod _ {n = 1} ^ {N} d theta _ {n} = P ( { overline {R}}) P ({ overline { theta}}) , d { overline {R}} , d { overline { theta}}}$

куда ${ displaystyle Gamma ,}$ состоит из интервалов ${ displaystyle 2 pi}$ в переменных, при условии, что ${ displaystyle { overline {R}}}$ и ${ displaystyle { overline { theta}}}$ постоянны, или, альтернативно, что ${ displaystyle { overline {C}}}$ и ${ displaystyle { overline {S}}}$ постоянны. Распределение угла${ Displaystyle P ({ overline { theta}})}$ единообразно

${ Displaystyle P ({ overline { theta}}) = { frac {1} {2 pi}}}$

и распределение ${ displaystyle { overline {R}}}$ дан кем-то:^[2]

${ displaystyle P_ {N} ({ overline {R}}) = N ^ {2} { overline {R}} int _ {0} ^ { infty} J_ {0} (N { overline { R}} , t) J_ {0} (t) ^ {N} t , dt}$

10 000-точечное моделирование методом Монте-Карло распределения выборочного среднего кругового равномерного распределения дляN = 3

куда ${ displaystyle J_ {0}}$ это Функция Бесселя нулевого порядка. Для указанного выше интеграла нет известного общего аналитического решения, и его трудно оценить из-за большого количества колебаний подынтегральной функции. На рисунке показано моделирование распределения среднего значения для N = 3 методом Монте-Карло на 10000 точек.

Для некоторых особых случаев указанный выше интеграл может быть вычислен:

${ displaystyle P_ {2} ({ overline {R}}) = { frac {2} { pi { sqrt {1 - { overline {R}} ^ {2}}}}}.}$

Для больших N, распределение среднего может быть определено из центральная предельная теорема для направленной статистики. Поскольку углы распределены равномерно, отдельные синусы и косинусы углов будут распределены следующим образом:

${ displaystyle P (u) du = { frac {1} { pi}} , { frac {du} { sqrt {1-u ^ {2}}}}}$

куда ${ Displaystyle и = соз тета _ {п} ,}$ или же ${ Displaystyle грех тета _ {п} ,}$. Следовательно, они будут иметь нулевое среднее значение и дисперсию 1/2. По центральной предельной теореме в пределе больших N, ${ displaystyle { overline {C}} ,}$ и ${ displaystyle { overline {S}} ,}$, являясь суммой большого количества i.i.ds, будет обычно распределены с нулевым средним и дисперсией ${ displaystyle 1 / 2N}$. Средняя результирующая длина ${ Displaystyle { overline {R}} ,}$, являясь квадратным корнем из суммы двух нормально распределенных переменных, будет Чи-распределенный с двумя степенями свободы (т.е.С распределением Рэлея) и дисперсия ${ displaystyle 1 / 2N}$:

${ displaystyle lim _ {N rightarrow infty} P_ {N} ({ overline {R}}) = 2N { overline {R}} , e ^ {- N { overline {R}} ^ {2}}.}$

Энтропия

Дифференциал информационная энтропия равномерного распределения просто

${ Displaystyle H_ {U} = - int _ { Gamma} { frac {1} {2 pi}} ln left ({ frac {1} {2 pi}} right) , d theta = ln (2 pi)}$

куда ${ displaystyle Gamma}$ любой интервал длины ${ displaystyle 2 pi}$. Это максимальная энтропия, которую может иметь любое круговое распределение.

Смотрите также

• Распространение в оболочке

Рекомендации