WikiDer > Упакованное распространение - Википедия

В теория вероятности и направленная статистика, а упакованное распределение вероятностей является непрерывным распределение вероятностей который описывает точки данных, которые лежат на блоке п-сфера. В одном измерении обернутое распределение будет состоять из точек на единичный круг. Если φ - случайная величина в интервале (-∞, ∞) с функцией плотности вероятности р (ф), тогда г = е ^{я φ} будет циклической переменной, распределенной согласно обернутому распределению п_zw(z) и θ =аргумент(z) будет угловой переменной в интервале (-π, π], распределенной согласно обернутому распределению п_ш(θ).

Любой функция плотности вероятности (pdf) ${ Displaystyle р ( фи)}$ на линии можно «обернуть» окружность окружности единичного радиуса.^[1] То есть pdf завернутой переменной

${ displaystyle theta = phi mod 2 pi}$ в некотором интервале длины ${ displaystyle 2 pi}$

является

${ displaystyle p_ {w} ( theta) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} {p ( theta +2 pi k)}.}$

который является периодическая сумма периода ${ displaystyle 2 pi}$. Предпочтительный интервал обычно составляет ${ Displaystyle (- пи < тета leq pi)}$ для которого ${ Displaystyle пер (е ^ {я тета}) = арг (е ^ {я тета}) = тета}$

Теория

В большинстве ситуаций процесс, включающий круговая статистика производит углы (${ displaystyle phi}$), которые лежат в интервале от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности и описываются "развернутой" функцией плотности вероятности ${ Displaystyle р ( фи)}$. Однако измерение даст "измеренный" угол. ${ displaystyle theta}$ который лежит в некотором интервале длины ${ displaystyle 2 pi}$ (Например ${ displaystyle [0,2 pi)}$). Другими словами, измерение не может определить, соответствует ли «истинный» угол ${ displaystyle phi}$ измерен ли угол наклона ${ displaystyle phi +2 pi a}$ был измерен где а какое-то неизвестное целое число. То есть:

${ displaystyle theta = phi +2 pi a.}$

Если мы хотим вычислить ожидаемое значение некоторой функции измеренного угла, оно будет:

${ displaystyle langle f ( theta) rangle = int _ {- infty} ^ { infty} p ( phi) f ( phi +2 pi a) d phi.}$

Мы можем выразить интеграл как сумму интегралов по периодам ${ displaystyle 2 pi}$ (например, от 0 до ${ displaystyle 2 pi}$):

${ displaystyle langle f ( theta) rangle = sum _ {k = - infty} ^ { infty} int _ {2 pi k} ^ {2 pi (k + 1)} p ( phi) f ( phi +2 pi a) d phi.}$

Изменение переменной интегрирования на ${ Displaystyle theta '= фи -2 пи к}$ и меняя порядок интегрирования и суммирования, имеем

${ displaystyle langle f ( theta) rangle = int _ {0} ^ {2 pi} p_ {w} ( theta ') f ( theta' +2 pi a ') d theta' }$

куда ${ Displaystyle р_ {ш} ( тета ')}$ это pdf-файл "завернутого" распределения и а ' - другое неизвестное целое число (a '= a + k). Видно, что неизвестное целое число а ' вносит двусмысленность в математическое ожидание ${ Displaystyle е ( тета)}$. Конкретный пример этой проблемы встречается при попытке взять среднее значение набора измеренных углов. Если вместо измеренных углов ввести параметр ${ Displaystyle г = е ^ {я тета}}$ видно, что z имеет однозначное отношение к "истинному" углу ${ displaystyle phi}$ поскольку:

${ displaystyle z = e ^ {i theta} = e ^ {i phi}.}$

Расчет математического ожидания функции z даст однозначный ответ:

${ Displaystyle langle f (z) rangle = int _ {0} ^ {2 pi} p_ {w} ( theta ') f (e ^ {i theta'}) d theta '}$

и именно по этой причине z Параметр является предпочтительной статистической переменной для использования в круговом статистическом анализе, а не измеренных углов ${ displaystyle theta}$. Это предполагает, и это показано ниже, что обернутая функция распределения может быть выражена как функция от z так что:

${ Displaystyle langle f (z) rangle = oint p_ {wz} (z) f (z) , dz}$

куда ${ Displaystyle р_ {ш} (г)}$ является определенный такой, что ${ Displaystyle p_ {w} ( theta) , | d theta | = p_ {wz} (z) , | dz |}$. Эту концепцию можно расширить до многомерного контекста путем расширения простой суммы до ряда ${ displaystyle F}$ суммы, охватывающие все измерения в пространстве функций:

${ displaystyle p_ {w} ({ vec { theta}}) = sum _ {k_ {1}, ..., k_ {F} = - infty} ^ { infty} {p ({ vec { theta}} + 2 pi k_ {1} mathbf {e} _ {1} + dots +2 pi k_ {F} mathbf {e} _ {F})}}$

куда ${ Displaystyle mathbf {е} _ {к} = (0, точки, 0,1,0, точки, 0) ^ { mathsf {T}}}$ это ${ displaystyle k}$th евклидов базисный вектор.

Выражение через характеристические функции

Основной упакованный дистрибутив - это Гребень Дирака который завернутый Дельта-функция Дирака:

${ Displaystyle Delta _ {2 pi} ( theta) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} { delta ( theta +2 pi k)}.}$

Используя дельта-функцию, можно записать общее упакованное распределение

${ displaystyle p_ {w} ( theta) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} p ( theta ') delta ( тета - theta '+2 pi k) , d theta'.}$

Меняя порядок суммирования и интегрирования, любое упакованное распределение можно записать как свертку "развернутого" распределения и гребенки Дирака:

${ displaystyle p_ {w} ( theta) = int _ {- infty} ^ { infty} p ( theta ') Delta _ {2 pi} ( theta - theta') , d theta '.}$

Гребень Дирака также может быть выражен как сумма экспонент, поэтому мы можем написать:

${ displaystyle p_ {w} ( theta) = { frac {1} {2 pi}} , int _ {- infty} ^ { infty} p ( theta ') sum _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ {in ( theta - theta ')} , d theta'}$

снова поменяв порядок суммирования и интегрирования,

${ displaystyle p_ {w} ( theta) = { frac {1} {2 pi}} , sum _ {n = - infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} p ( theta ') e ^ {in ( theta - theta')} , d theta '}$

используя определение ${ displaystyle phi (s)}$, то характеристическая функция из ${ Displaystyle р ( тета)}$, дает Серия Laurent около нуля для развернутого распределения с точки зрения характеристической функции развернутого распределения:^[2]

${ displaystyle p_ {w} ( theta) = { frac {1} {2 pi}} , sum _ {n = - infty} ^ { infty} phi (n) , e ^ {-в theta}}$

или же

${ displaystyle p_ {wz} (z) = { frac {1} {2 pi}} , sum _ {n = - infty} ^ { infty} phi (n) , z ^ { -n}.}$

По аналогии с линейными распределениями ${ Displaystyle фи (м)}$ называются характеристической функцией обернутого распределения^[2] (а точнее, характеристика последовательность). Это пример Формула суммирования Пуассона и можно видеть, что коэффициенты Фурье ряда Фурье для свернутого распределения являются просто коэффициентами Фурье преобразования Фурье развернутого распределения при целочисленных значениях.

Моменты

Моменты завёрнутой раздачи ${ displaystyle p_ {w} (z)}$ определяются как:

${ displaystyle langle z ^ {m} rangle = oint p_ {wz} (z) z ^ {m} , dz.}$

Выражая ${ displaystyle p_ {w} (z)}$ в терминах характеристической функции и меняя порядок интегрирования и суммирования, получаем:

${ displaystyle langle z ^ {m} rangle = { frac {1} {2 pi}} sum _ {n = - infty} ^ { infty} phi (n) oint z ^ { mn} , dz.}$

От теория остатков у нас есть

${ Displaystyle oint z ^ {m-n} , dz = 2 pi delta _ {m-n}}$

куда ${ displaystyle delta _ {k}}$ это Дельта Кронекера функция. Отсюда следует, что моменты просто равны характеристической функции развернутого распределения для целочисленных аргументов:

${ displaystyle langle z ^ {m} rangle = phi (m).}$

Генерация случайных величин

Если Икс случайная величина, полученная из линейного распределения вероятностей п, тогда ${ Displaystyle Z = е ^ {iX}}$ будет круглой вариацией, распределенной в соответствии с упакованными п распространение и ${ Displaystyle theta = arg (Z)}$ будет угловая вариация, распределенная согласно обернутому п распространение, с ${ Displaystyle - пи < тета leq pi}$.

Энтропия

В информационная энтропия кругового распределения с плотностью вероятности ${ Displaystyle р_ {ш} ( тета)}$ определяется как:^[1]

${ Displaystyle Н = - int _ { Gamma} p_ {w} ( theta) , ln (p_ {w} ( theta)) , d theta}$

куда ${ displaystyle Gamma}$ любой интервал длины ${ displaystyle 2 pi}$. Если и плотность вероятности, и ее логарифм могут быть выражены как Ряд Фурье (или вообще любой интегральное преобразование на круге), то свойство ортогональности может использоваться для получения последовательного представления энтропии, которое может быть уменьшено до закрытая форма.

Моменты раздачи ${ Displaystyle фи (п)}$ - коэффициенты Фурье для разложения плотности вероятности в ряд Фурье:

${ displaystyle p_ {w} ( theta) = { frac {1} {2 pi}} sum _ {n = - infty} ^ { infty} phi _ {n} e ^ {- in theta}}$

Если логарифм плотности вероятности также можно выразить в виде ряда Фурье:

${ displaystyle ln (p_ {w} ( theta)) = sum _ {m = - infty} ^ { infty} c_ {m} e ^ {im theta}}$

куда

${ displaystyle c_ {m} = { frac {1} {2 pi}} int _ { Gamma} ln (p_ {w} ( theta)) e ^ {- im theta} , d theta}$

Затем, поменяв порядок интегрирования и суммирования, энтропия может быть записана как:

${ displaystyle H = - { frac {1} {2 pi}} sum _ {m = - infty} ^ { infty} sum _ {n = - infty} ^ { infty} c_ { m} phi _ {n} int _ { Gamma} e ^ {i (mn) theta} , d theta}$

Используя ортогональность базиса Фурье, интеграл можно свести к:

${ displaystyle H = - sum _ {n = - infty} ^ { infty} c_ {n} phi _ {n}}$

Для частного случая, когда плотность вероятности симметрична относительно среднего, ${ displaystyle c _ {- m} = c_ {m}}$ а логарифм можно записать:

${ displaystyle ln (p_ {w} ( theta)) = c_ {0} +2 sum _ {m = 1} ^ { infty} c_ {m} cos (m theta)}$

и

${ displaystyle c_ {m} = { frac {1} {2 pi}} int _ { Gamma} ln (p_ {w} ( theta)) cos (m theta) , d тета}$

и, поскольку нормализация требует, чтобы ${ displaystyle phi _ {0} = 1}$, энтропия может быть записана:

${ displaystyle H = -c_ {0} -2 sum _ {n = 1} ^ { infty} c_ {n} phi _ {n}}$

Смотрите также

• Обернутое нормальное распределение
• Обернутое распределение Коши
• Обернутое экспоненциальное распределение

Рекомендации

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июль 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

• Боррадейл, Грэм (2003). Статистика данных наук о Земле. Springer. ISBN 978-3-540-43603-4.
• Фишер, Н. И. (1996). Статистический анализ циркулярных данных. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-56890-6.

внешняя ссылка

• Математика и статистика круговых значений в C ++ 11, Инфраструктура C ++ 11 для круговых значений (углов, времени суток и т. Д.), Математики и статистики.