WikiDer > Параболическое фрактальное распределение

В вероятность и статистика, то параболическое фрактальное распределение это тип дискретное распределение вероятностей в котором логарифм частоты или размера субъектов в совокупности равен квадратичный многочлен логарифма ранга (самый большой пример имеет ранг 1). Это может значительно улучшить соответствие простым степенным отношениям (см. Ссылки ниже).

В статье Laherrère / Deheuvels ниже примеры включают размеры галактик (упорядоченные по яркости), города (в США, Франции и мире), разговорные языки (по количеству говорящих) в мире и нефтяные месторождения в мире (по размер). Они также упоминают полезность этого распределения при подборе сейсмических событий (без примера). Авторы утверждают, что преимущество этого распределения состоит в том, что оно может быть подогнано с использованием самых крупных известных примеров моделируемой совокупности, которые часто легко доступны и полны, а затем найденные подобранные параметры могут использоваться для расчета размера всей популяции. Так, например, население ста крупнейших городов на планете можно отсортировать и подогнать, а найденные параметры использовать для экстраполяции на самые маленькие деревни для оценки численности населения планеты. Другой пример - оценка общих мировых запасов нефти по крупнейшим месторождениям.

В ряде приложений присутствует так называемый Эффект короля где элементы с наивысшим рейтингом имеют значительно большую частоту или размер, чем модель предсказывает на основе других элементов. В статье Laherrère / Deheuvels показан пример Парижа при сортировке размеров городов во Франции. На момент написания статьи Париж был самым большим городом с населением около десяти миллионов человек, но в следующем по величине городе проживало всего около 1,5 миллиона человек. Города во Франции, за исключением Парижа, строго следуют параболическому распределению, достаточно хорошо, чтобы 56 крупнейших дали очень хорошую оценку населения страны. Но такое распределение предсказывает, что в самом большом городе будет около двух миллионов жителей, а не 10 миллионов. Эффект Короля назван в честь представления о том, что король должен победить всех соперников за трон и забрать их богатство, поместья и власть, тем самым создав буфер между собой и следующим по богатству из своих подданных. Этот специфический эффект (намеренно созданный) может применяться к размерам корпораций, когда крупнейшие предприятия используют свое богатство для скупки более мелких конкурентов. При отсутствии намерения эффект короля может возникнуть в результате некоторого постоянного преимущества роста из-за масштаба или какого-либо уникального преимущества. Более крупные города являются более эффективными связями для людей, талантов и других ресурсов. Уникальные преимущества могут включать статус портового города или столицы, где действует закон, или центра активности, где физическая близость увеличивает возможности и создает петлю обратной связи. Примером может служить киноиндустрия; где актеры, писатели и другие работники переезжают туда, где больше всего студий, а новые студии основываются в том же месте, потому что именно там проживает больше всего талантов.

Чтобы проверить эффект короля, распределение должно быть подогнано, исключая элементы с наивысшим рейтингом «k», но без присвоения новых номеров рангов остальным членам совокупности. Например, во Франции ранги (по состоянию на 2010 год):

1. Париж, 12.09M
2. Лион, 2,12М
3. Марсель, 1.72M
4. Тулуза, 1.20M
5. Лилль, 1.15M

Алгоритм подгонки будет обрабатывать пары {(1,12.09), (2,2.12), (3,1.72), (4,1.20), (5,1.15)} и находить параметры для наилучшего параболического подбора по этим точкам. Чтобы проверить эффект Кинга, мы просто исключаем первую пару (или первые «k» пар) и находим параболические параметры, соответствующие остальным точкам. Итак, для Франции мы подошли бы к четырем точкам {(2,2.12), (3,1.72), (4,1.20), (5,1.15)}. Затем мы можем использовать эти параметры для оценки размера городов с рейтингом [1, k] и определения, являются ли они членами Эффекта короля или обычными членами.

По сравнению, Закон Ципфа проводит линию через точки (также используя журнал ранга и журнал значения). А парабола (с еще одним параметром) подойдет лучше, но вдали от вершины парабола также почти линейный. Таким образом, хотя это и суждение для статистиков, если подогнанные параметры помещают вершину далеко от подогнанных точек или если параболическая кривая не намного лучше, чем линия, это может быть симптомом переоснащение (также известный как чрезмерная параметризация). Строка (с двумя параметрами вместо трех), вероятно, является лучшим обобщением. Больше параметров всегда лучше подходит, но за счет добавления необъяснимых параметров или необоснованных предположений (например, предположения, что небольшая параболическая кривая является более подходящей моделью, чем линия).

В качестве альтернативы можно заставить аппроксимирующую параболу иметь вершину в позиции ранга 1. В этом случае нет уверенности, что парабола подойдет лучше (с меньшей ошибкой), чем прямая линия; и выбор может быть сделан между двумя, основываясь на том, какой из них имеет наименьшую ошибку.

Определение

В функция массы вероятности дается как функция ранга п, к

${ displaystyle f (n; b, c) propto n ^ {- b} exp (-c ( log n) ^ {2}),}$

куда б и c параметры распределения.

Смотрите также

• Закон Ципфа

Рекомендации

• Laherrère J, Deheuvels P (1996) "Распределения типа" фрактальной параболики "в природе" (На французском языке с кратким изложением на английском языке: "Параболические фрактальные" распределения в природе), (http://www.hubbertpeak.com/laherrere/fractal.htm) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Série II a: Sciences de la Terre et des Planétes, 322, (7), 535–541
• Xie, S .; Yang, Y.G .; Bao, Z. Y .; Ke, X. Z .; Лю, X. Л. (2009). «Анализ минеральных ресурсов параболическими фракталами». Горная наука и технологии (Китай). 19: 91–96. Дои:10.1016 / S1674-5264 (09) 60017-X.