WikiDer > Квадратичная проблема собственных значений

Quadratic eigenvalue problem

В математике квадратичная задача на собственные значения[1] (QEP), это найти скаляр собственные значения , оставили собственные векторы и правые собственные векторы такой, что

куда , с матричными коэффициентами и мы требуем, чтобы , (так что у нас есть ненулевой старший коэффициент). Есть собственные значения, которые могут быть бесконечный или конечный, а возможно и нулевой. Это частный случай нелинейная задача собственных значений. также известен как квадратный матричный полином.

Приложения

QEP может привести к части динамического анализа структур, дискретизированных метод конечных элементов. В этом случае квадратичная, имеет форму , куда это матрица масс, это матрица демпфирования и это матрица жесткости. Другие области применения включают виброакустику и гидродинамику.

Методы решения

Прямые методы решения стандартных или обобщенных задач на собственные значения и основаны на преобразовании проблемы в Schur или Обобщенная форма Шура. Однако для квадратичных матричных многочленов аналогичной формы не существует. Один из подходов состоит в том, чтобы преобразовать квадратичный матричный многочлен в линейный матричный карандаш () и решить обобщенную задачу на собственные значения. После определения собственных значений и собственных векторов линейной задачи можно определить собственные векторы и собственные значения квадратичной.

Самая распространенная линеаризация - это первая сопутствующая линеаризация.

куда это -к- единичная матрица с соответствующим собственным вектором

Мы решаем за и , например, вычисляя обобщенную форму Шура. Затем мы можем взять первый компоненты как собственный вектор исходной квадратичной .

Рекомендации

  1. ^ Ф. Тиссер, К. Меерберген, Квадратичная проблема собственных значений, SIAMRev., 43 (2001), стр. 235–286.