WikiDer > Четвертая взаимность

Quartic или же биквадратная взаимность представляет собой сборник теорем в элементарный и алгебраический теория чисел условия того государства, при которых соответствие Икс⁴ ≡ п (мод q) разрешима; слово «взаимность» происходит от формы некоторых из этих теорем, поскольку они связывают разрешимость сравнения Икс⁴ ≡ п (мод q) к тому из Икс⁴ ≡ q (мод п).

История

Эйлер сделал первые предположения о биквадратичной взаимности.^[1] Гаусс опубликовал две монографии по биквадратной взаимности. В первом (1828 г.) он доказал гипотезу Эйлера о биквадратичном характере числа 2. Во втором (1832 г.) он сформулировал биквадратный закон взаимности для гауссовских целых чисел и доказал дополнительные формулы. Он сказал^[2] что будет готовиться третья монография с доказательством общей теоремы, но она так и не появилась. Якоби представил доказательства в своих кенигсбергских лекциях 1836–1837 гг.^[3] Первые опубликованные доказательства были Эйзенштейном.^[4][5][6][7]

С тех пор был найден ряд других доказательств классической (гауссовской) версии,^[8] а также альтернативные утверждения. Леммермейер заявляет, что произошел взрыв интереса к рациональные законы взаимности с 1970-х гг.^[A][9]

Целые числа

А квартика или же биквадратный остаток (мод п) - любое число, равное четвертой степени целого числа (mod п). Если Икс⁴ ≡ а (мод п) не имеет целочисленного решения, а это квартика или же биквадратный остаток (мод п).^[10]

Как это часто бывает в теории чисел, проще всего работать по модулю простых чисел, поэтому в этом разделе все модули п, qи т. д. считаются положительными нечетными простыми числами.^[10]

Гаусс

Первое, что нужно заметить при работе в ринге Z целых чисел состоит в том, что если простое число q равно ≡ 3 (mod 4), то вычет р это квадратичный вычет (мод q) тогда и только тогда, когда это биквадратичный вычет (mod q). Действительно, первое дополнение к квадратичная взаимность утверждает, что −1 - квадратичный невычет (mod q), так что для любого целого Икс, один из Икс и -Икс является квадратичным вычетом, а другой - невычетом. Таким образом, если р ≡ а² (мод q) - квадратичный вычет, то если а ≡ б² это остаток, р ≡ а² ≡ б⁴ (мод q) - биквадратичный вычет, а если а не остаток, -а это остаток, -а ≡ б², и опять, р ≡ (−а)² ≡ б⁴ (мод q) - биквадратичный вычет.^[11]

Поэтому единственный интересный случай - это когда модуль п ≡ 1 (мод.4).

Гаусс доказал^[12] что если п ≡ 1 (mod 4), то классы ненулевых вычетов (mod п) можно разделить на четыре набора, каждый из которых содержит (п−1) / 4 числа. Позволять е - квадратичный невычет. Первый набор - это остатки четвертой степени; второй е умноженное на числа в первом наборе, третий - е² умноженное на числа в первом наборе, а четвертое - е³ умноженное на числа в первом наборе. Другой способ описать это разделение - позволить грамм быть первобытный корень (мод п); тогда первый набор - это все числа, индексы которых по отношению к этому корню равны 0 (mod 4), второй набор - все те, чьи индексы равны 1 (mod 4), и т. д.^[13] В словаре теория групп, первый набор представляет собой подгруппу индекс 4 (мультипликативной группы Z/пZ^×), а остальные три - его смежные классы.

Первый набор - это биквадратичные вычеты, третий набор - квадратичные вычеты, которые не являются четвертыми вычетами, а второй и четвертый наборы - квадратичные невычеты. Гаусс доказал, что −1 - биквадратичный вычет, если п 1 (mod 8) и квадратичный, но не биквадратичный вычет, когда п ≡ 5 (мод. 8).^[14]

2 - квадратичный вычет по модулю п если и только если п ≡ ± 1 (мод. 8). С п также ≡ 1 (mod 4), это означает п ≡ 1 (мод. 8). Каждое такое простое число представляет собой сумму квадрата и дважды квадрата.^[15]

Гаусс доказал^[14]

Позволять q = а² + 2б² ≡ 1 (mod 8) - простое число. потом

2 - биквадратный вычет (mod q) если и только если а ≡ ± 1 (mod 8), и

2 - квадратичный, но не биквадратичный вычет (mod q) если и только если а ≡ ± 3 (мод. 8).

Каждый прайм п ≡ 1 (mod 4) - это сумма двух квадратов.^[16] Если п = а² + б² куда а это странно и б четно, как доказал Гаусс^[17] который

2 принадлежит к первому (соответственно второму, третьему или четвертому) классу, определенному выше, тогда и только тогда, когда б ≡ 0 (соответственно 2, 4 или 6) (мод 8). Первый случай этого - одна из гипотез Эйлера:

2 - биквадратичный вычет простого числа п ≡ 1 (mod 4) тогда и только тогда, когда п = а² + 64б².

Дирихле

Для нечетного простого числа п и квадратичный вычет а (мод п), Критерий Эйлера утверждает, что ${displaystyle a ^ {frac {p-1} {2}} Equiv 1 {pmod {p}},}$ так что если п ≡ 1 (мод 4), ${displaystyle a ^ {frac {p-1} {4}} Equiv pm 1 {pmod {p}}.}$

Определить символ рационального остатка четвертой степени для премьер п ≡ 1 (mod 4) и квадратичный вычет а (мод п) в качестве ${displaystyle {Bigg (} {frac {a} {p}} {Bigg)} _ {4} = pm 1equiv a ^ {frac {p-1} {4}} {pmod {p}}.}$ Легко доказать, что а является биквадратичным вычетом (mod п) если и только если ${displaystyle {Bigg (} {frac {a} {p}} {Bigg)} _ {4} = 1.}$

Дирихле^[18] упростил доказательство Гаусса биквадратичного характера числа 2 (его доказательство требует только квадратичной взаимности для целых чисел) и представил результат в следующей форме:

Позволять п = а² + б² ≡ 1 (mod 4) простое число, и пусть я ≡ б/а (мод п). потом

${displaystyle {Bigg (} {frac {2} {p}} {Bigg)} _ {4} Equiv i ^ {frac {ab} {2}} {pmod {p}}.}$ (Обратите внимание, что я² ≡ −1 (mod п).)

Фактически,^[19] позволять п = а² + б² = c² + 2d² = е² − 2ж² ≡ 1 (mod 8) простое число, и предположим, что а странно. потом

${displaystyle {Bigg (} {frac {2} {p}} {Bigg)} _ {4} = left (-1ight) ^ {frac {b} {4}} = {Bigg (} {frac {2} { c}} {Bigg)} = left (-1ight) ^ {n + {frac {d} {2}}} = {Bigg (} {frac {-2} {e}} {Bigg)},}$ куда ${displaystyle ({frac {x} {q}})}$ это обычный Символ Лежандра.

Выйдя за рамки символа 2, пусть штрих п = а² + б² куда б ровно, и пусть q быть таким простым, что ${displaystyle ({frac {p} {q}}) = 1.}$ Квадратичная взаимность говорит, что ${displaystyle ({frac {q ^ {*}} {p}}) = 1,}$ куда ${displaystyle q ^ {*} = (- 1) ^ {frac {q-1} {2}} q.}$ Пусть σ² ≡ п (мод q). потом^[20]

${displaystyle {Bigg (} {frac {q ^ {*}} {p}} {Bigg)} _ {4} = {Bigg (} {frac {sigma (b + sigma)} {q}} {Bigg)} .}$ Из этого следует^[21] который

${displaystyle {Bigg (} {frac {q ^ {*}} {p}} {Bigg)} _ {4} = 1 {mbox {тогда и только тогда, когда}} {egin {cases} bequiv 0 {pmod {q} }; & {mbox {или}} aequiv 0 {pmod {q}} {mbox {and}} left ({frac {2} {q}} ight) = 1; & {mbox {or}} aequiv mu b, ;; mu ^ {2} + 1экв. лямбда ^ {2} {pmod {q}} {mbox {, and}} left ({frac {lambda (lambda +1)} {q}} ight) = 1. конец {case}}}$

Первые несколько примеров:^[22]

${displaystyle {egin {align} left ({frac {-3} {p}} ight) _ {4} = 1 & {mbox {if and only if}} & b & Equiv 0 {pmod {3}} left ({frac { 5} {p}} ight) _ {4} = 1 & {mbox {тогда и только тогда}} & b & Equiv 0 {pmod {5}} left ({frac {-7} {p}} ight) _ {4} = 1 & {mbox {тогда и только тогда}} & ab & Equiv 0 {pmod {7}} left ({frac {-11} {p}} ight) _ {4} = 1 & {mbox {тогда и только тогда, когда}} & b (b ^ {2} -3a ^ {2}) & Equiv 0 {pmod {11}} left ({frac {13} {p}} ight) _ {4} = 1 & {mbox {тогда и только тогда, когда}} & b (b ^ {2} -3a ^ {2}) & Equiv 0 {pmod {13}} left ({frac {17} {p}} ight) _ {4} = 1 & {mbox {тогда и только тогда, когда} } ;;;; & ab (b ^ {2} -a ^ {2}) & Equiv 0 {pmod {17}}. end {align}}}$

Эйлер предположил правила для 2, −3 и 5, но не доказал ни одного из них.

Дирихле^[23] также доказал, что если п ≡ 1 (mod 4) простое и ${displaystyle ({frac {17} {p}}) = 1}$ тогда

${displaystyle {Bigg (} {frac {17} {p}} {Bigg)} _ {4} {Bigg (} {frac {p} {17}} {Bigg)} _ {4} = {egin {case} +1 {mbox {тогда и только тогда}} ;; p = x ^ {2} + 17y ^ {2} - 1 {mbox {тогда и только тогда, когда}} 2p = x ^ {2} + 17y ^ {2 } конец {случаи}}}$

Браун и Лемер увеличили это число с 17 до 17, 73, 97 и 193.^[24]

Бремя

Есть несколько эквивалентных способов формулировки рационального биквадратичного закона взаимности Берде.

Все они предполагают, что п = а² + б² и q = c² + d² простые числа, где б и d четные, и это ${displaystyle ({frac {p} {q}}) = 1.}$

Версия Госсета^[9]

${displaystyle {Bigg (} {frac {q} {p}} {Bigg)} _ {4} Equiv {Bigg (} {frac {a / bc / d} {a / b + c / d}} {Bigg) } ^ {frac {q-1} {4}} {pmod {q}}.}$

Сдача я² ≡ −1 (mod п) и j² ≡ −1 (mod q), Закон Фрелиха имеет вид^[25]

${displaystyle {Bigg (} {frac {q} {p}} {Bigg)} _ {4} {Bigg (} {frac {p} {q}} {Bigg)} _ {4} = {Bigg (} { frac {a + bj} {q}} {Bigg)} = {Bigg (} {frac {c + di} {p}} {Bigg)}.}.$

Бурде изложил свое мнение в форме:^[26][27][28]

${displaystyle {Bigg (} {frac {q} {p}} {Bigg)} _ {4} {Bigg (} {frac {p} {q}} {Bigg)} _ {4} = {Bigg (} { frac {ac-bd} {q}} {Bigg)}.}$

Обратите внимание, что^[29]

${displaystyle {Bigg (} {frac {ac + bd} {p}} {Bigg)} = {Bigg (} {frac {p} {q}} {Bigg)} {Bigg (} {frac {ac-bd}) {p}} {Bigg)}.}$

Разное

Позволять п ≡ q ≡ 1 (mod 4) - простые числа, и предположим, что ${displaystyle ({frac {p} {q}}) = 1}$. потом е² = ПФ² + q г² имеет нетривиальные целочисленные решения, и^[30]

${displaystyle {Bigg (} {frac {p} {q}} {Bigg)} _ {4} {Bigg (} {frac {q} {p}} {Bigg)} _ {4} = left (-1ight) ^ {frac {fg} {2}} left ({frac {-1} {e}} ight).}$

Позволять п ≡ q ≡ 1 (mod 4) - простые числа, и предположим, что п = р² + q s². потом^[31]

${displaystyle {Bigg (} {frac {p} {q}} {Bigg)} _ {4} {Bigg (} {frac {q} {p}} {Bigg)} _ {4} = left ({frac { 2} {q}} ight) ^ {s}.}$

Позволять п = 1 + 4Икс² быть первоклассным, пусть а быть любым нечетным числом, которое делит Икс, и разреши ${displaystyle a ^ {*} = left (-1ight) ^ {frac {a-1} {2}} a.}$ потом^[32] а^* является биквадратичным вычетом (mod п).

Позволять п = а² + 4б² = c² + 2d² ≡ 1 (mod 8) быть простым. потом^[33] все делители c⁴ − п а² являются биквадратными остатками (mod п). То же верно для всех делителей d⁴ − p b².

Гауссовские целые числа

Фон

В своей второй монографии о биквадратичной взаимности Гаусс приводит некоторые примеры и выдвигает гипотезы, из которых следует перечисленные выше теоремы о биквадратичности малых простых чисел. Он делает несколько общих замечаний и признает, что здесь нет очевидного общего правила. Он продолжает говорить

Теоремы о биквадратичных вычетах проявляются с величайшей простотой и подлинной красотой только тогда, когда область арифметики распространяется на воображаемый числа, так что без ограничений числа вида а + би составляют объект исследования ... мы называем такие числа целые комплексные числа.^[34] [жирным шрифтом в оригинале]

Эти числа теперь называются звенеть из Гауссовские целые числа, обозначаемый Z[я]. Обратите внимание, что я является корнем четвертой степени из 1.

В сноске он добавляет

Теория кубических вычетов аналогичным образом должна основываться на рассмотрении чисел вида а + бх куда час мнимый корень уравнения час³ = 1 ... и аналогично теория вычетов высших степеней приводит к введению других мнимых величин.^[35]

Числа, составленные из кубического корня из единицы, теперь называются кольцом Целые числа Эйзенштейна. «Другие мнимые величины», необходимые для «теории вычетов высших степеней», - это кольца целых чисел из поля циклотомических чисел; целые числа Гаусса и Эйзенштейна являются простейшими примерами этого.

Факты и терминология

Гаусс развивает арифметическую теорию «целых комплексных чисел» и показывает, что она очень похожа на арифметику обычных целых чисел.^[36] Именно здесь в математику были введены термины «единица», «ассоциированный», «норма» и «первичный».

В единицы - числа, делящие 1.^[37] Их 1, я, −1 и -я. Они похожи на 1 и -1 в обычных целых числах в том, что они делят каждое число. Единицы - это полномочия я.

Для числа λ = а + би, это сопрягать является а − би и это соратники четыре числа^[37]

λ = +а + би

  яλ = -б + ай

−λ = -а − би

−яλ = +б − ай

Если λ = а + би, то норма λ, записанное Nλ, - это число а² + б². Если λ и μ - два целых гауссовских числа, Nλμ = Nλ Nμ; другими словами, норма мультипликативна.^[37] Норма нуля равна нулю, норма любого другого числа - положительное целое число. ε является единицей тогда и только тогда, когда Nε = 1. Квадратный корень из нормы λ, неотрицательного действительного числа, которое может не быть гауссовым целым числом, является абсолютным значением лямбды.

Гаусс доказывает, что Z[я] это уникальная область факторизации и показывает, что простые числа делятся на три класса:^[38]

• 2 - частный случай: 2 = я³ (1 + я)². Это единственный прайм в Z делится на квадрат простого числа в Z[я]. В алгебраической теории чисел говорят, что 2 разветвляется в Z[я].
• Положительные простые числа в Z ≡ 3 (mod 4) также простые числа в Z[я]. В алгебраической теории чисел говорят, что эти простые числа остаются инертными в Z[я].
• Положительные простые числа в Z ≡ 1 (mod 4) - произведение двух сопряженных простых чисел в Z[я]. В алгебраической теории чисел говорят, что эти простые числа распадаются на Z[я].

Таким образом, инертными простыми числами являются 3, 7, 11, 19, ..., а факторизация разделенных простых чисел равна

 5 = (2 + я) × (2 − я),

13 = (2 + 3я) × (2 − 3я),

17 = (4 + я) × (4 − я),

29 = (2 + 5я) × (2 − 5я), ...

Ассоциированные и сопряженные простые числа также являются простыми числами.

Отметим, что норма инертного простого числа q это Nq = q² ≡ 1 (мод 4); таким образом, норма всех простых чисел, кроме 1 + я и его ассоциативно ≡ 1 (mod 4).

Гаусс набирает номер Z[я] странный если его норма - нечетное целое число.^[39] Таким образом, все простые числа, кроме 1 + я и его товарищи странные. Произведение двух нечетных чисел является нечетным, а сопряжение и ассоциаты нечетного числа нечетными.

Чтобы сформулировать теорему об уникальной факторизации, необходимо иметь способ различать один из ассоциатов числа. Гаусс определяет^[40] нечетное число быть начальный если это ≡ 1 (mod (1 + я)³). Несложно показать, что каждое нечетное число имеет ровно одного первичного партнера. Нечетное число λ = а + би первично, если а + б ≡ а − б ≡ 1 (мод 4); т.е. а ≡ 1 и б ≡ 0, или а ≡ 3 и б ≡ 2 (мод.4).^[41] Произведение двух первичных чисел первично, и сопряжение первичного числа также первично.

Теорема единственной факторизации^[42] за Z[я]: если λ ≠ 0, то

${displaystyle lambda = i ^ {mu} (1 + i) ^ {u} pi _ {1} ^ {alpha _ {1}} pi _ {2} ^ {alpha _ {2}} pi _ {3} ^ {альфа _ {3}} точек}$

где 0 ≤ μ ≤ 3, ν ≥ 0, π_яs - простые числа, а α_яs ≥ 1, и это представление единственно с точностью до порядка множителей.

Представления о соответствие^[43] и наибольший общий делитель^[44] определены таким же образом в Z[я], как и для обычных целых чисел Z. Поскольку единицы делят все числа, сравнение (mod λ) также истинно по модулю любого ассоциированного числа λ, и любой ассоциированный элемент НОД также является НОД.

Четвертый остаток

Гаусс доказывает аналог Теорема Ферма: если α не делится на нечетное простое число π, то^[45]

${displaystyle alpha ^ {Npi -1} Equiv 1 {pmod {pi}}}$

Поскольку Nπ ≡ 1 (mod 4), ${displaystyle alpha ^ {frac {Npi -1} {4}}}$ имеет смысл, и ${displaystyle alpha ^ {frac {Npi -1} {4}} Equiv i ^ {k} {pmod {pi}}}$ для уникального юнита я^k.

Этот блок называется квартика или же биквадратный остаток α (mod π) и обозначается^[46][47]

${displaystyle left [{frac {alpha} {pi}} ight] = i ^ {k} Equiv alpha ^ {frac {Npi -1} {4}} {pmod {pi}}.}$

Он имеет формальные свойства, аналогичные свойствам Символ Лежандра.^[48]

Соответствие ${displaystyle x ^ {4} Equiv alpha {pmod {pi}}}$ разрешима в Z[я] если и только если${displaystyle left [{frac {alpha} {pi}} ight] = 1.}$^[49]

${displaystyle {Bigg [} {frac {alpha eta} {pi}} {Bigg]} = {Bigg [} {frac {alpha} {pi}} {Bigg]} {Bigg [} {frac {eta} {pi} » } {Bigg]}}$

${displaystyle {overline {{Bigg [} {frac {alpha} {pi}} {Bigg]}}} = {Bigg [} {frac {overline {alpha}} {overline {pi}}} {Bigg]}}$ где черта обозначает комплексное сопряжение.

если π и θ ассоциаты,${displaystyle {Bigg [} {frac {alpha} {pi}} {Bigg]} = {Bigg [} {frac {alpha} {heta}} {Bigg]}}$

если α ≡ β (mod π),${displaystyle {Bigg [} {frac {alpha} {pi}} {Bigg]} = {Bigg [} {frac {eta} {pi}} {Bigg]}}$

Биквадратный символ может быть расширен до нечетных составных чисел в «знаменателе» таким же образом, как символ Лежандра обобщается в Символ Якоби. Как и в этом случае, если «знаменатель» составной, символ может равняться единице без разрешимости сравнения:

${displaystyle left [{frac {alpha} {lambda}} ight] = left [{frac {alpha} {pi _ {1}}} ight] ^ {alpha _ {1}} left [{frac {alpha} {pi _ {2}}} ight] ^ {alpha _ {2}} dots}$ куда${displaystyle lambda = pi _ {1} ^ {alpha _ {1}} pi _ {2} ^ {alpha _ {2}} pi _ {3} ^ {alpha _ {3}} dots}$

Если а и б обычные целые числа, а ≠ 0, |б| > 1, НОД (а, б) = 1, то^[50]    ${displaystyle left [{frac {a} {b}} ight] = 1.}$

Утверждения теоремы

Гаусс сформулировал закон биквадратичной взаимности в такой форме:^[2][51]

Пусть π и θ - различные простые числа числа Z[я]. потом

если либо π, либо θ, либо оба равны ≡ 1 (mod 4), то ${displaystyle {Bigg [} {frac {pi} {heta}} {Bigg]} = left [{frac {heta} {pi}} ight],}$ но

если и π, и θ равны ≡ 3 + 2я (mod 4), затем ${displaystyle {Bigg [} {frac {pi} {heta}} {Bigg]} = - left [{frac {heta} {pi}} ight].}$

Так же, как квадратичный закон взаимности для символа Лежандра справедлив и для символа Якоби, требование, чтобы числа были простыми, не требуется; достаточно, чтобы они были нечетными относительно простыми единицами.^[52] Пожалуй, самое известное утверждение:

Пусть π и θ - первичные относительно простые неединицы. потом^[53]

${displaystyle {Bigg [} {frac {pi} {heta}} {Bigg]} left [{frac {heta} {pi}} ight] ^ {- 1} = (- 1) ^ {{frac {Npi -1) } {4}} {frac {N heta -1} {4}}}.}$

Есть дополнительные теоремы^[54][55] для единиц и получетного простого числа 1 + я.

если π = а + би первичное простое число, то

${displaystyle {Bigg [} {frac {i} {pi}} {Bigg]} = i ^ {- {frac {a-1} {2}}}, ;;; {Bigg [} {frac {1 + i } {pi}} {Bigg]} = i ^ {frac {ab-1-b ^ {2}} {4}},}$

и поэтому

${displaystyle {Bigg [} {frac {-1} {pi}} {Bigg]} = (- 1) ^ {frac {a-1} {2}}, ;;; {Bigg [} {frac {2} {pi}} {Bigg]} = i ^ {- {frac {b} {2}}}.}$

Также, если π = а + би первичное простое число, и б ≠ 0 тогда^[56]

${displaystyle {Bigg [} {frac {overline {pi}} {pi}} {Bigg]} = {Bigg [} {frac {-2} {pi}} {Bigg]} (- 1) ^ {frac {a ^ {2} -1} {8}}}$ (если б = 0 символ 0).

Якоби определил π = а + би быть основным, если а ≡ 1 (мод.4). При такой нормализации закон принимает вид^[57]

Пусть α = а + би и β = c + ди куда а ≡ c ≡ 1 (мод 4) и б и d даже являются относительно простыми единицами. потом

${displaystyle left [{frac {alpha} {eta}} ight] left [{frac {eta} {alpha}} ight] ^ {- 1} = (- 1) ^ {frac {bd} {4}}}$

Следующая версия была найдена в неопубликованных рукописях Гаусса.^[58]

Пусть α = а + 2би и β = c + 2ди куда а и c являются нечетными относительно простыми единицами. потом

${displaystyle left [{frac {alpha} {eta}} ight] left [{frac {eta} {alpha}} ight] ^ {- 1} = (- 1) ^ {bd + {frac {a-1} {2) }} d + {frac {c-1} {2}} b}, ;;;; left [{frac {1 + i} {alpha}} ight] = i ^ {{frac {b (a-3b)} {2}} - {frac {a ^ {2} -1} {8}}}}$

Закон можно сформулировать без использования понятия первичного:

Если λ нечетно, пусть ε (λ) - единственная единица, конгруэнтная λ (mod (1 + я)³); т.е. ε (λ) = я^k ≡ λ (mod 2 + 2я), где 0 ≤ k ≤ 3. Тогда^[59] для нечетных и взаимно простых α и β ни одно из них не является единицей,

${displaystyle left [{frac {alpha} {eta}} ight] left [{frac {eta} {alpha}} ight] ^ {- 1} = (- 1) ^ {{frac {Nalpha -1} {4}) } {frac {N eta -1} {4}}} эпсилон (альфа) ^ {frac {N eta -1} {4}} эпсилон (эта) ^ {frac {Nalpha -1} {4}}}$

Для нечетного λ пусть ${displaystyle lambda ^ {*} = (- 1) ^ {frac {Nlambda -1} {4}} lambda.}$ Тогда, если λ и μ - взаимно простые неединицы, Эйзенштейн доказал, что^[60]

${displaystyle left [{frac {lambda} {mu}} ight] = {Bigg [} {frac {mu ^ {*}} {lambda}} {Bigg]}.}$

Смотрите также

• Квадратичная взаимность
• Кубическая взаимность
• Octic взаимность
• Эйзенштейновская взаимность
• Артиновая взаимность

Примечания

• А.^ Здесь «рациональный» означает законы, сформулированные в терминах обычных целые числа а не в виде целых чисел некоторых поле алгебраических чисел.

Рекомендации

Литература

Ссылки на оригинальные статьи Эйлера, Дирихле и Эйзенштейна были скопированы из библиографий Леммермейера и Кокса и не использовались при подготовке этой статьи.

Эйлер

• Эйлер, Леонард (1849), Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt, Комментарий. Арифмет. 2

На самом деле это было написано в 1748–1750 годах, но было опубликовано только посмертно; Это в томе V, стр. 182–283 из

• Эйлер, Леонард (1911–1944), Опера Омния, Серия прима, Тт. I – V, Лейпциг и Берлин: Тойбнер

Гаусс

Две опубликованные Гауссом монографии по биквадратичной взаимности имеют последовательно пронумерованные разделы: первая содержит §§ 1–23, а вторая §§ 24–76. Ссылки на них имеют вид «Gauss, BQ, § п". Сноски, относящиеся к Disquisitiones Arithmeticae имеют вид «Гаусс Д.А., ст. п".

• Гаусс, Карл Фридрих (1828), Theoria резидуум biquadraticorum, комментарий прима, Гёттинген: Комментарий. Soc. regiae sci, Göttingen 6

• Гаусс, Карл Фридрих (1832 г.), Theoria резидуум biquadraticorum, комментарий secunda, Гёттинген: Комментарий. Soc. regiae sci, Göttingen 7

Это в Гауссе Werke, Том II, стр. 65–92 и 93–148

Немецкие переводы находятся на стр. 511–533 и 534–586 следующих статей, которые также имеют Disquisitiones Arithmeticae и другие работы Гаусса по теории чисел.

• Гаусс, Карл Фридрих; Мазер, Х. (перевод на немецкий) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae и другие статьи по теории чисел) (второе издание), Нью-Йорк: Челси, ISBN 0-8284-0191-8

Эйзенштейн

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1844 г.), Lois de Réciprocité (PDF), J. Reine Angew. Математика. 28, стр. 53–67 (журнал Crelle)

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1844 г.), Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems für die biquadratischen Reste, J. Reine Angew. Математика. 28 стр. 223–245 (журнал Crelle)

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1845), Application de l'algèbre à l'arithmétique transcendante, J. Reine Angew. Математика. 29 с. 177–184 (журнал Crelle)

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1846), Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen I: Ableitung des biquadratischen Fundalmentaltheorems aus der Theorie der Lemniskatenfunctionen, nebst Bemerkungen zu den Multiplications- und Transformationsformeln, J. Reine Angew. Математика. 30 с. 185–210 (журнал Crelle)

Все эти документы находятся в томе I его Werke.

Дирихле

• Дирихле, Пьер Гюстав ЛеЖён (1832), Démonstration d'une propriété analogue à la loi de Réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconques, J. Reine Angew. Математика. 9 стр. 379–389 (журнал Crelle)

• Дирихле, Пьер Гюстав ЛеЖён (1833), Untersuchungen über die Theorie der quadratischen Formen, Abh. Кёнигль. Прейс. Акад. Wiss. стр. 101–121

оба они находятся в томе I его Werke.

Современные авторы

• Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа вида x² + n y², Нью-Йорк: Wiley, ISBN 0-471-50654-0

• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание), Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-97329-X

• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна, Берлин: Springer, Дои:10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Биквадратичная теорема взаимности». MathWorld.

Эти две статьи Франца Леммермейера содержат доказательства закона Бурде и связанные с ним результаты:

• Рациональная квартирная взаимность
• Рациональная четвертая взаимность II