WikiDer > Эйзенштейновская взаимность

Eisenstein reciprocity

В алгебраическая теория чисел Закон взаимности Эйзенштейна это закон взаимности что расширяет закон квадратичной взаимности и кубический закон взаимности остаткам высших степеней. Это один из самых первых и простых законов взаимности, который является следствием нескольких более поздних и более сильных законов взаимности, таких как Закон взаимности Артина. Он был представлен Эйзенштейн (1850), хотя Якоби ранее объявил (без доказательства) аналогичный результат для частных случаев 5-й, 8-й и 12-й степеней в 1839 году.^[1]

Предпосылки и обозначения

Позволять ${ displaystyle m> 1}$ быть целым числом, и пусть ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {m}}$ быть кольцо целых чисел из м-й круговое поле ${ Displaystyle mathbb {Q} ( zeta _ {m}),}$ куда ${ displaystyle zeta _ {m} = e ^ {2 pi i { frac {1} {m}}}}$ это примитивный м-й корень из единства.

Цифры ${ displaystyle zeta _ {m}, zeta _ {m} ^ {2}, dots zeta _ {m} ^ {m} = 1}$ находятся единицы в ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {m}.}$ (Есть другие единицы также.)

Первичные числа

Число ${ displaystyle alpha in { mathcal {O}} _ {m}}$ называется начальный^[2]^[3] если это не единица измерения, является относительно простой к ${ displaystyle m}$ , и конгруэнтно рациональному (т.е. ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ ) целое число ${ displaystyle { pmod {(1- zeta _ {m}) ^ {2}}}.}$

Следующая лемма^[4]^[5] показывает, что первичные числа в ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {m}}$ аналогичны натуральным числам в ${ displaystyle mathbb {Z}.}$

Предположим, что ${ displaystyle alpha, beta in { mathcal {O}} _ {m}}$ и что оба ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ относительно просты с ${ displaystyle m.}$ потом

Есть целое число ${ displaystyle c}$ изготовление ${ displaystyle zeta _ {m} ^ {c} alpha}$ начальный. Это целое число уникально ${ displaystyle { pmod {m}}.}$
если ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ тогда первичны ${ displaystyle alpha pm beta}$ является первичным при условии, что ${ displaystyle alpha pm beta}$ взаимно прост с ${ displaystyle m}$ .
если ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ тогда первичны ${ displaystyle alpha beta}$ является первичным.
${ displaystyle alpha ^ {m}}$ является первичным.

Значение ${ displaystyle 1- zeta _ {m}}$ которое появляется в определении, легче всего увидеть, когда ${ displaystyle m = l}$ это простое число. В таком случае ${ displaystyle l = (1- zeta _ {l}) (1- zeta _ {l} ^ {2}) dots (1- zeta _ {l} ^ {l-1}).}$ Кроме того, первичный идеал ${ displaystyle (l)}$ из ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ полностью разветвлен в ${ Displaystyle mathbb {Q} ( zeta _ {l})}$
${ displaystyle (l) = (1- zeta _ {l}) ^ {l-1},}$
и идеал ${ displaystyle (1- zeta _ {l})}$ простое число степени 1.^[6]^[7]

мсимвол остатка степени

За ${ displaystyle alpha, beta in { mathcal {O}} _ {m},}$ в мсимвол остатка степени для ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {m}}$ либо ноль, либо мкорень -й степени из единства:

{ displaystyle left ({ frac { alpha} { beta}} right) _ {m} = { begin {cases} zeta { mbox {where}} zeta ^ {m} = 1 & { mbox {if}} alpha { mbox {и}} beta { mbox {являются относительно простыми}} 0 & { mbox {в противном случае}}. end {cases}}}

Это м-й степени вариант классической (квадратичной, м = 2) Символ Якоби (при условии ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ относительно простые):

Если ${ displaystyle eta in { mathcal {O}} _ {m}}$ и ${ Displaystyle альфа эквив эта ^ {м} { pmod { бета}}}$ тогда ${ displaystyle left ({ frac { alpha} { beta}} right) _ {m} = 1.}$
Если ${ displaystyle left ({ frac { alpha} { beta}} right) _ {m} neq 1}$ тогда ${ displaystyle alpha}$ не является м-я степень ${ displaystyle { pmod { beta}}.}$
Если ${ displaystyle left ({ frac { alpha} { beta}} right) _ {m} = 1}$ тогда ${ displaystyle alpha}$ может или не может быть м-я степень ${ displaystyle { pmod { beta}}.}$

Формулировка теоремы

Позволять ${ displaystyle m in mathbb {Z}}$ быть нечетным простым числом и ${ Displaystyle а в mathbb {Z}}$ целое число относительно простой к ${ displaystyle m.}$ потом

Первая добавка

{ displaystyle left ({ frac { zeta _ {m}} {a}} right) _ {m} = zeta _ {m} ^ { frac {a ^ {m-1} -1} {m}}.}

^[8]

Вторая добавка

{ displaystyle left ({ frac {1- zeta _ {m}} {a}} right) _ {m} = left ({ frac { zeta _ {m}} {a}} справа) _ {m} ^ { frac {m-1} {2}}.}

^[8]

Эйзенштейновская взаимность

Позволять ${ displaystyle alpha in { mathcal {O}} _ {m}}$ быть первичным (и, следовательно, относительно простым с ${ displaystyle m}$ ), и предположим, что ${ displaystyle alpha}$ также относительно проста с ${ displaystyle a}$ . потом^[8]^[9]

{ displaystyle left ({ frac { alpha} {a}} right) _ {m} = left ({ frac {a} { alpha}} right) _ {m}.}

Доказательство

Теорема является следствием Отношение Штикельбергера.^[10]^[11]

Вейль (1975) дает историческое обсуждение некоторых ранних законов взаимности, включая доказательство закона Эйзенштейна с использованием сумм Гаусса и Якоби, которое основано на первоначальном доказательстве Эйзенштейна.

Обобщение

В 1922 г. Такаги доказал, что если ${ Displaystyle К supset mathbb {Q} ( zeta _ {l})}$ произвольный поле алгебраических чисел содержащий ${ displaystyle l}$ -корни из единицы для простого числа ${ displaystyle l}$ , то закон Эйзенштейна для ${ displaystyle l}$ -я степень держится в ${ displaystyle K.}$ ^[12]

Приложения

Первый случай последней теоремы Ферма

Предположить, что ${ displaystyle p}$ нечетное простое число, что ${ Displaystyle х ^ {p} + y ^ {p} + z ^ {p} = 0 ; ;}$ для попарно взаимно простых целых чисел (т.е. в ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ ) ${ displaystyle x, y, z}$ и это ${ Displaystyle p nmid xyz. ; ;}$

Это первый случай последней теоремы Ферма. (Второй случай - когда ${ displaystyle p mid xyz. ;}$ ) Эйзенштейновская взаимность может быть использована для доказательства следующих теорем

(Виферих 1909)^[13]^[14] При сделанных выше предположениях ${ Displaystyle 2 ^ {p-1} Equiv 1 { pmod {p ^ {2}}}. ; ;}$

Единственные простые числа меньше 6,7 × 10¹⁵ Этому удовлетворяют 1093 и 3511. См. Простые числа Вифериха подробности и текущие записи.

(Мириманов 1911)^[15] При сделанных выше предположениях ${ Displaystyle 3 ^ {p-1} Equiv 1 { pmod {p ^ {2}}}.}$

Аналогичные результаты верны для всех простых чисел ≤ 113, но доказательство не использует закон Эйзенштейна. Видеть Простое число Вифериха # Связь с последней теоремой Ферма.

(Фуртвенглер, 1912 г.)^[16]^[17] При сделанных предположениях для каждого простого числа ${ displaystyle r mid x, ; ; ; r ^ {p-1} Equiv 1 { pmod {p ^ {2}}}.}$

(Фуртвенглер, 1912 г.)^[18] При сделанных предположениях для каждого простого числа ${ Displaystyle r mid (x-y), ; ; ; r ^ {p-1} Equiv 1 { pmod {p ^ {2}}}.}$

(Вандивер)^[19] При сделанных выше предположениях, если дополнительно ${ displaystyle p> 3,}$ тогда ${ Displaystyle х ^ {р} эквив х, ; у ^ {р} эквив у}$ и ${ displaystyle z ^ {p} Equiv z { pmod {p ^ {3}}}.}$

Модифицирует большинство простых чисел

Закон Эйзенштейна можно использовать для доказательства следующей теоремы (Трост, Анкени, Роджерс).^[20] Предполагать ${ Displaystyle а в mathbb {Z}}$ и это ${ displaystyle l nmid a}$ куда ${ displaystyle l}$ - нечетное простое число. Если ${ Displaystyle х ^ {l} эквив { pmod {p}}}$ разрешима для всех, кроме конечного числа простых чисел ${ displaystyle p}$ тогда ${ displaystyle a = b ^ {l}.}$

Смотрите также

Примечания

^ Леммермейер, стр. 392.
^ Ирландия и Розен, гл. 14,2
^ Леммермейер, гл. 11.2, использует термин полуосновной.
^ Ирландия и Розен, лемма в гл. 14.2 (только первое утверждение)
^ Леммерейер, лемма 11.6.
^ Ирландия и Розен, опора 13.2.7
^ Леммермейер, проп. 3.1
^ ^а ^б ^c Lemmermeyer, thm. 11,9
^ Ирландия и Розен, гл. 14 тыс. 1
^ Ирландия и Розен, гл. 14,5
^ Леммермейер, гл. 11.2
^ Леммермейер, гл. 11 заметок
^ Леммермейер, экс. 11,33
^ Ирландия и Розен, тыс. 14,5
^ Леммермейер, экс. 11,37
^ Леммермейер, экс. 11,32
^ Ирландия и Розен, тыс. 14,6
^ Леммермейер, экс. 11,36
^ Ирландия и Розен, примечания к гл. 14
^ Ирландия и Розен, гл. 14.6, thm. 4. Это часть более общей теоремы. Предположим, ${ Displaystyle х ^ {п} эквив а { pmod {p}}}$ для всех, кроме конечного числа простых чисел ${ displaystyle p.}$ Тогда i) если ${ displaystyle 8 nmid n}$ тогда ${ Displaystyle а = Ь ^ {п}}$ но ii) если ${ displaystyle 8 | n}$ тогда ${ Displaystyle а = Ь ^ {п}}$ или же ${ displaystyle a = 2 ^ { frac {n} {2}} b ^ {n}.}$

Navigation