WikiDer > Ранг в ранг

Rank-into-rank

В теория множеств, филиал математика, а ранг в ранг вложение - это большая кардинальная собственность определяется одним из следующих четырех аксиомы дан в порядке увеличения прочности консистенции. (Множество ранга <λ является одним из элементов множества Vλ из иерархия фон Неймана.)

  • Аксиома I3: Есть нетривиальный элементарное вложение из Vλ в себя.
  • Аксиома I2: Существует нетривиальное элементарное вложение V в транзитивный класс M, включающий Vλ где λ - первая неподвижная точка над критическая точка.
  • Аксиома I1: Существует нетривиальное элементарное вложение Vλ + 1 в себя.
  • Аксиома I0: Существует нетривиальное элементарное вложение L (Vλ + 1) в себя с критической точкой ниже λ.

По сути, это самые сильные из известных аксиом больших кардинальных чисел, которые, как известно, не противоречат друг другу. ZFC; аксиома для Кардиналы Рейнхардта сильнее, но не соответствует аксиома выбора.

Если j - элементарное вложение, упомянутое в одной из этих аксиом, а κ - его критическая точка, то λ - предел когда n переходит в ω. В более общем плане, если аксиома выбора Доказано, что если существует нетривиальное элементарное вложение Vα в себя, то α либо предельный порядковый номер из конфинальность ω или преемник такого ординала.

Аксиомы I0, I1, I2 и I3 сначала подозревались в несогласованности (в ZFC), поскольку считалось возможным, что Теорема Кунена о непротиворечивости который Кардиналы Рейнхардта несовместимы с аксиомой выбора, можно распространить на них, но этого еще не произошло, и теперь они обычно считаются последовательными.

Каждый I0 кардинал κ (говоря здесь о критической точке j) - кардинал I1.

Каждый I1 кардинал κ (иногда называемый ω-огромными кардиналами) является кардиналом I2 и имеет под ним стационарный набор кардиналов I2.

Каждый I2 кардинал κ является кардиналом I3 и имеет под ним стационарный набор кардиналов I3.

Каждый I3 кардинал κ имеет другой I3 кардинал над это и является п-огромный кардинал для каждого п<ω.

Из аксиомы I1 следует, что Vλ + 1 (эквивалентно H (λ+)) не удовлетворяет V = HOD. В V не существует множества S⊂λ.λ + 1 (даже по параметрам Vλ и ординалы <λ+) с S конфинальным по λ и | S | <λ, т. е. нет таких S, свидетельствующих о сингулярности λ. Аналогично для аксиомы I0 и порядковой определимости в L (Vλ + 1) (даже из параметров в Vλ). Однако глобально и даже в Vλ,[1] V = HOD относительно согласуется с Аксиомой I1.

Обратите внимание, что I0 иногда дополнительно усиливается, добавляя «набор Икара», чтобы он был

  • Набор Axiom Icarus: Существует нетривиальное элементарное вложение L (Vλ + 1, Icarus) в себя с критической точкой ниже λ.

Набор Икара должен быть в Vλ + 2 - L (Vλ + 1), но выбрано, чтобы избежать несоответствия. Так, например, он не может закодировать хорошо упорядоченный Vλ + 1. См. Раздел 10 Dimonte для более подробной информации.

Примечания

  1. ^ Согласованность V = HOD с аксиомой целостности, Поль Корацца, Архив математической логики, № 39, 2000.

Рекомендации

  • Димонте, Винченцо (2017), «I0 и аксиомы ранга в ранг», arXiv:1707.02613 [math.LO].
  • Гайфман, Хаим (1974), "Элементарные вложения моделей теории множеств и некоторых подтеорий", Аксиоматическая теория множеств, Proc. Симпози. Pure Math., XIII, Часть II, Providence R.I .: Amer. Математика. Soc., Стр. 33–101, МИСТЕР 0376347
  • Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00384-3.
  • Лейвер, Ричард (1997), "Следствия между сильными большими кардинальными аксиомами", Анна. Pure Appl. Логика, 90 (1–3): 79–90, Дои:10.1016 / S0168-0072 (97) 00031-6, МИСТЕР 1489305.
  • Соловей, Роберт М.; Рейнхардт, Уильям Н.; Канамори, Акихиро (1978), "Сильные аксиомы бесконечности и элементарные вложения", Анналы математической логики, 13 (1): 73–116, Дои:10.1016/0003-4843(78)90031-1.