WikiDer > Пониженная гомология

В математика, пониженная гомология это незначительное изменение, внесенное в теория гомологии в алгебраическая топология, призванный показать, что все группы гомологии нуль. Это изменение требуется для того, чтобы делать заявления без некоторых исключительных случаев (Александр двойственность являясь примером).

Если п является одноточечным пространством, то с обычными определениями группа целочисленных гомологий

ЧАС₀(п)

изоморфен ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ (ан бесконечная циклическая группа), а для я ≥ 1 имеем

ЧАС_я(п) = {0}.

В более общем плане, если Икс это симплициальный комплекс или конечный CW комплекс, то группа ЧАС₀(Икс) это свободная абелева группа с связанные компоненты из Икс как генераторы. Приведенные гомологии должны заменить эту группу ранга р скажем, по рангу р - 1. В противном случае группы гомологий должны оставаться неизменными. An для этого случая способ сделать это - думать о 0-м классе гомологии не как о формальная сумма компонентов связности, но как такая формальная сумма, в которой коэффициенты в сумме равны нулю.

В обычном определении гомология пространства Икс, мы рассматриваем цепной комплекс

${ displaystyle dotsb { overset { partial _ {n + 1}} { longrightarrow ,}} C_ {n} { overset { partial _ {n}} { longrightarrow ,}} C_ {n -1} { overset { partial _ {n-1}} { longrightarrow ,}} dotsb { overset { partial _ {2}} { longrightarrow ,}} C_ {1} { overset { partial _ {1}} { longrightarrow ,}} C_ {0} { overset { partial _ {0}} { longrightarrow ,}} 0}$

и определим группы гомологий как ${ displaystyle H_ {n} (X) = ker ( partial _ {n}) / mathrm {im} ( partial _ {n + 1})}$.

Чтобы определить приведенные гомологии, мы начнем с дополненный цепной комплекс

${ displaystyle dotsb { overset { partial _ {n + 1}} { longrightarrow ,}} C_ {n} { overset { partial _ {n}} { longrightarrow ,}} C_ {n -1} { overset { partial _ {n-1}} { longrightarrow ,}} dotsb { overset { partial _ {2}} { longrightarrow ,}} C_ {1} { overset { partial _ {1}} { longrightarrow ,}} C_ {0} { overset { epsilon} { longrightarrow ,}} mathbb {Z} to 0}$

куда ${ displaystyle epsilon left ( sum _ {i} n_ {i} sigma _ {i} right) = sum _ {i} n_ {i}}$. Теперь определим уменьшенный группы гомологии

${ Displaystyle { тильда {H_ {n}}} (X) = ker ( partial _ {n}) / mathrm {im} ( partial _ {n + 1})}$ для положительного п и ${ Displaystyle { тильда {H}} _ {0} (X) = ker ( epsilon) / mathrm {im} ( partial _ {1})}$.

Можно показать, что ${ Displaystyle H_ {0} (X) = { тильда {H}} _ {0} (X) oplus mathbb {Z}}$; очевидно ${ Displaystyle Н_ {п} (Х) = { тильда {Н}} _ {п} (Х)}$ для всех положительных п.

Вооружившись этим модифицированным комплексом, стандартные способы получения гомологии с коэффициентами путем применения тензорное произведение, или же уменьшенный группы когомологий от коцепьевой комплекс сделано с использованием Hom функтор, может быть применено.

Рекомендации

• Хэтчер, А., (2002) Алгебраическая топология Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0. Подробное обсуждение теорий гомологии симплициальных комплексов и многообразий, особых гомологий и т. Д.