WikiDer > Simpsons Regel

Die Simpson-Regel kann durch Approximation des Integranden ${Anzeigestil f(x)}$ (blau) mit dem quadratischen Interpolanten ${Anzeigestil P(x)}$ (rot).

Das Simpsons Regel ist eine Näherungsformel, um die zu finden numerisch Wert von a Integral- berechnen. Die Regel, die von . entwickelt wurde Thomas Simpson, ist ein Spezialfall von a Newton-Cotes-Formel.

Die Simpson-Regel approximiert das Integral einer Funktion ${displaystyle f}$ über die Intervall${Anzeigestil [a,b]}$ als Integral des quadratischen Polynoms ${Anzeigestil P(x)}$ die sich der Funktion annähert und in den Endpunkten und in der Mitte ${Anzeigestil m=(a b)/2}$ des Intervalls entspricht der Funktion, d.h.

${Anzeigestil P(a)=f(a)}$

${Anzeigestil P(b)=f(b)}$

${Anzeigestil P(m)=f(m)}$

Das Polynom ${Anzeigestil P(x)=px^{2} qx r}$ wird durch diese Anforderung bestimmt. Es gelten die folgenden drei linearen Gleichungen:

${Anzeigestil pa^{2} qa r=f(a)}$

${displaystyle pb^{2} qb r=f(b)}$

${displaystyle pm^{2}qm r=f(m)}$

Die letzte Gleichung lautet:

${displaystyle f({ frac {ab}{2}})=p,left({frac {ab}{2}}ight)^{2} q,{frac {ab}{2}} r={ frac { 1}{4}}p,(a^{2} 2ab b^{2}) { frac {1}{2}}(ab) q}$

woraus durch Ersetzung der ersten beiden folgt:

${displaystyle 2pab qa qb 2r=4f({ frac {a b}{2}})-(f(a) f(b))}$

Das Integral von ${Anzeigestil P(x)}$ ist dann

${displaystyle int _{a}^{b}P(x)mathrm {d} x={ frac {1}{3}}p(b^{3}-a^{3}) { frac {1}{ 2}}q(b^{2}-a^{2}) r(ba)}$

${displaystyle =(b-a)({ frac {1}{3}}p(b^{2} ab a^{2}) { frac {1}{2}}q(b a) r)}$

${displaystyle =(b-a)({ frac {1}{3}}(pb^{2} pab pa^{2}) { frac {1}{2}}(qb qa) r)}$

${displaystyle =(b-a){ frac {1}{6}}(f(a) 4f({ frac {a b}{2}}) f(b))}$

also a gewichtete Summe des Funktionswerte in den Endpunkten ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ und die Mitte des Intervalls.

Unter Verwendung der Simpson-Regel wird das Integral also angenähert durch:

${displaystyle int _{a}^{b}f(x),{m {d}}xapprox {frac {ba}{6}}links[f(a) 4fleft({ frac {ab}{2}}ight ) f(b)ight].}$

Für eine gute Näherung ist es wichtig, dass die Variation des Integranden über das Intervall nicht zu groß ist. In der Praxis wird daher das Intervall in eine Anzahl von Teilintervallen unterteilt und die Simpson-Regel wird auf jedes Teilintervall angewendet. Wenn die Abstände zwischen den Funktionswerten gleich lang ${displaystyle h}$ sind, wird die Näherung:

${displaystyle int _{a}^{b}f(x),{m {d}}xapprox {frac {h}{3}}(f(x_{0}) 4f(x_{1}) 2f(x_ {2}) 4f(x_{3}) 2f(x_{4}) lPunkte 4f(x_{n-1}) f(x_{n}))}$

Wird das Intervall halbiert, reduziert sich der Fehler um den Faktor 32. Die Simpson-Regel ist daher effizienter als die einfachere Trapezregel. Beide Methoden sind in die Rombergs Methode.