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In dem numerische Mathematik, eine Unterregion der Mathematik, ist der Rombergs Methode eine numerische Methode zur Berechnung eines gegebenen Integral-. Die Methode geht von einer Reihe von sequentiellen Näherungen aus, die die Trapezregel, auf dem dann Richardson-Extrapolation wird als Getriebe verwendet.

Methode

Die Methode approximiert das Integral der Funktion ${Anzeigestil f(x)}$ über das Intervall ${Anzeigestil [a,b]}$ durch sequentielles Unterteilen des Intervalls in Schritte ${displaystyle h_{n}}$ die immer die Hälfte der vorherigen sind, und für eine gegebene Schrittweite die erweiterten Trapezregel bewirbt sich. Auf die so erhaltene Näherung werden dann aufeinanderfolgende Richardson-Extrapolationen angewendet.

Die Schrittweiten bilden eine Reihe ${displaystyle h_{0},h_{1},ldots ,h_{n},ldots}$, für die:

${displaystyle h_{0}=b-a}$ und ${displaystyle h_{n}={ frac {1}{2}}h_{n-1}={ frac {1}{2^{n}}}(b-a)}$.

Die Trapezregel ergibt bei der Schrittweite ${displaystyle h_{n}}$, also mit ${Displaystil 2^{n}}$ Schritte, der Ansatz

${displaystyle R(n,0)={ frac {1}{2}}h_{n}(f(a) 2f(a h_{n}) 2f(a 2h_{n}) ldots 2f(a (2^ {n}-1)h_{n}) f(b))}$

In dieser Formel müssen nur die Funktionswerte in den neuen Punkten berechnet werden, die in der Mitte zwischen den Punkten der vorherigen Teilung des Intervalls liegen.

${displaystyle R(n,0)={ frac {1}{2}}R(n-1.0) h_{n}sum _{k=1}^{2^{n-1}}f(a (2k -1)h_{n})}$

Auf diese Näherung werden dann aufeinanderfolgende Richardson-Extrapolationen angewendet. Die Zahlen in der Spalte ganz links sind die Ergebnisse der Trapezregel. Dann wird das Dreieck von dieser linken Seite horizontal nach rechts um for by ergänzt ${displaystyle m=1,ldots n}$ Berechnen Sie die zusätzlichen Schätzungen:

${Anzeigestil R(n,m)={frac {4^{m}R(n,m-1)-R(n-1,m-1)}{4^{m}-1}}}$

Die Ansätze mit ${displaystyle m=1}$ entsprechen dem Simpsons Regel wobei parabolische Näherungen zwischen drei aufeinanderfolgenden Gitterpunkten integriert werden. Die Ansätze mit ${displaystyle m=12}$ entsprechen dem Boolesche Regel, das ein Polynom vierten Grades durch fünf aufeinander folgende Punkte anpasst und dann integriert.

Der Fehler in ${Anzeigestil R(n,m)}$ ist in ordnung ${Displaystil Oleft(h_{n}^{2m 2}Nacht).}$

Implementierung

Die Gesamtzahl der Bewertungen der Integral- ist ${Displaystil 2^{n} 1}$. Diese werden alle in der Berechnung der linken Spalte durchgeführt. Das Vervollständigen des Dreiecks erfordert keine weiteren Auswertungen. Die englische Version dieses Artikels enthält ein Beispiel für die Implementierung in der Programmiersprache C.

Beispiel

Als Beispiel ist die Funktion ${displaystyle sin(x)}$ über das Intervall integriert ${displaystyle[0,1].}$ Die direkt berechnete Lösung lautet 0.45996976941. Die Ergebnisse der Romberg-Integration sind:

${Anzeigestil R(n,m)}$
${displaystyle n}$	${Anzeigestil m=0}$	${displaystyle m=1}$	${Anzeigestil m=2}$	${Anzeigestil m=3}$
0	0,4207354924
1	0,4500805155	0,4598621899
2	0,4573009375	0,4597077448	0,4596974485
3	0,4590989734	0,4596983187	0,4596976903	0,4596976941

Beachten Sie, dass die Näherung ${Anzeigestil R(3.0)}$ tatsächlich eine Näherung mit dem Trapezregel mit 8 Intervallen nur auf drei Stellen richtig ist, während das Romberg-Verfahren bei ebenso vielen Auswertungen des Integranden 10 richtige Stellen erhält.

Referenz

• (und) S. D. Conte, C. de Boor (1981) "Elementary Numerical Analysis", McGraw-Hill International Editions
• Weisstein, Eric W. "Romberg-Integration." Von MathWorld – Eine Webressource von Wolfram