WikiDer > Относительная скорость

Часть серии по
Классическая механика
${displaystyle {extbf {F}} = {гидроразрыв {d} {dt}} (m {extbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция / Момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Демпфирование (соотношение) Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерционный / Неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение (линейный) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение / смещение / частота / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

В относительная скорость ${displaystyle {vec {v}} _ {Bmid A}}$ (также ${displaystyle {vec {v}} _ {BA}}$ или же ${displaystyle {vec {v}} _ {Boperatorname {rel} A}}$) - скорость объекта или наблюдателя B в кадре покоя другого объекта или наблюдателя А.

Классическая механика

В одном измерении (нерелятивистском)

Человек относительного движения на поезде

Начнем с относительного движения в классический, (или нерелятивистский, или Ньютоновское приближение), что все скорости намного меньше скорости света. Этот предел связан с Преобразование Галилея. На рисунке изображен мужчина на крыше поезда, у заднего края. В 13:00 он начинает идти вперед со скоростью 10 км / ч (километров в час). Поезд движется со скоростью 40 км / ч. На рисунке изображены мужчина и поезд в два разных времени: сначала в начале пути, а также на час позже, в 14:00. На рисунке показано, что мужчина находится в 50 км от отправной точки после одного часа пути (пешком и на поезде). Это, по определению, составляет 50 км / ч, что предполагает, что рецепт для расчета относительной скорости таким образом состоит в сложении двух скоростей.

На рисунке показаны часы и линейки, чтобы напомнить читателю, что, хотя логика этого расчета кажется безупречной, она делает ложные предположения о том, как ведут себя часы и линейки. (Видеть Мысленный эксперимент с платформой и поездом.) Признать, что это классический модель относительного движения нарушает специальная теория относительности, обобщаем пример в уравнение:

${displaystyle underbrace {{vec {v}} _ {Mmid E}} _ {ext {50 км / ч}} = underbrace {{vec {v}} _ {Mmid T}} _ {ext {10 км / ч} } + подгузник {{vec {v}} _ {Tmid E}} _ {ext {40 км / ч}},}$

куда:

${displaystyle {vec {v}} _ {Mmid E}}$ - скорость Mродственник Eарт,

${displaystyle {vec {v}} _ {Mmid T}}$ - скорость Mродственник Тдождь,

${displaystyle {vec {v}} _ {Tmid E}}$ - скорость Тдождь относительно Eарт.

Полностью законные выражения для «скорости A относительно B» включают «скорость A относительно B» и «скорость A в системе координат, где B всегда находится в состоянии покоя». В нарушение специальной теории относительности происходит потому, что это уравнение относительной скорости ошибочно предсказывает, что разные наблюдатели будут измерять разные скорости при наблюдении за движением света. ^{[примечание 1]}

В двух измерениях (нерелятивистских)

Относительные скорости между двумя частицами в классической механике

На рисунке изображены два объекта А и B движется с постоянной скоростью. Уравнения движения:

${displaystyle {vec {r}} _ {A} = {vec {r}} _ {Ai} + {vec {v}} _ {A} t,}$

${displaystyle {vec {r}} _ {B} = {vec {r}} _ {Bi} + {vec {v}} _ {B} t,}$

где нижний индекс я относится к начальному смещению (во время т равен нулю). Разница между двумя векторами смещения, ${displaystyle {vec {r}} _ {B} - {vec {r}} _ {A}}$, представляет местоположение точки B, если смотреть со стороны A.

${displaystyle {vec {r}} _ {B} - {vec {r}} _ {A} = underbrace {{vec {r}} _ {Bi} - {vec {r}} _ {Ai}} _ { ext {начальное разделение}} + подпорка {({vec {v}} _ {B} - {vec {v}} _ {A}) t} _ {ext {относительная скорость}}.}$

Следовательно:

${displaystyle {vec {v}} _ {Bmid A} = {vec {v}} _ {B} - {vec {v}} _ {A}.}$

После произведенных замен ${displaystyle {vec {v}} _ {A | C} = {vec {v}} _ {A}}$ и ${displaystyle {vec {v}} _ {B | C} = {vec {v}} _ {B}}$, у нас есть:

${displaystyle {vec {v}} _ {Bmid A} = {vec {v}} _ {Bmid C} - {vec {v}} _ {Amid C} Rightarrow}$   ${displaystyle {vec {v}} _ {Bmid C} = {vec {v}} _ {Bmid A} + {vec {v}} _ {Amid C}.}$

Преобразование Галилея (нерелятивистское)

Чтобы построить теорию относительного движения, совместимую со специальной теорией относительности, мы должны принять другое соглашение. Продолжая работать в (нерелятивистском) Ньютоновский предел мы начинаем с Преобразование Галилея в одном измерении:^{[заметка 2]}

${displaystyle x '= x-vt}$

${displaystyle t '= t}$

где x '- это положение, которое видит система отсчета, которая движется со скоростью v, в «незаштрихованной» (x) системе отсчета.^{[заметка 3]} Взяв дифференциал первого из двух приведенных выше уравнений, мы имеем ${displaystyle dx '= dx-v, dt}$, и то, что может показаться очевидным^{[примечание 4]} заявление, что ${displaystyle dt '= dt}$, у нас есть:

${displaystyle {frac {dx '} {dt'}} = {frac {dx} {dt}} - v}$

Чтобы восстановить предыдущие выражения для относительной скорости, предположим, что частица А следует по пути, заданному dx / dt в ссылке без штриха (и, следовательно, dx′/dt′ В заштрихованной рамке). Таким образом ${displaystyle dx / dt = v_ {Amid O}}$ и ${displaystyle dx '/ dt = v_ {Amid O'}}$, куда ${displaystyle O}$ и ${displaystyle O '}$ относятся к движению А как видно наблюдателю в кадрах без штриховки и со штрихом соответственно. Напомним, что v - это движение неподвижного объекта в кадре со штрихом, если смотреть из кадра без штриховки. Таким образом, мы имеем ${displaystyle v = v_ {O'mid O}}$, и:

${displaystyle v_ {Amid O '} = v_ {Amid O} -v_ {O'mid O} Rightarrow v_ {Amid O} = v_ {Amid O'} + v_ {O'mid O},}$

где последняя форма имеет желаемую (легко усваиваемую) симметрию.

Специальная теория относительности

Как и в классической механике, в специальной теории относительности относительная скорость ${displaystyle {vec {v}} _ {mathrm {B | A}}}$ это скорость объекта или наблюдателя B в кадре покоя другого объекта или наблюдателя А. Однако, в отличие от классической механики, в специальной теории относительности обычно нет случай, который

${displaystyle {vec {v}} _ {mathrm {B | A}} = - {vec {v}} _ {mathrm {A | B}}}$

Это своеобразное отсутствие симметрии связано с Прецессия Томаса и то, что два последовательных Преобразования Лоренца повернуть систему координат. Это вращение не влияет на величину вектора и, следовательно, на относительную скорость симметричен.

${displaystyle | {vec {v}} _ {mathrm {B | A}} | = | {vec {v}} _ {mathrm {A | B}} | = v_ {mathrm {B | A}} = v_ { mathrm {A | B}}}$

Параллельные скорости

В случае, когда два объекта движутся в параллельных направлениях, релятивистская формула для относительной скорости аналогична по форме формуле для сложения релятивистских скоростей.

${displaystyle {vec {v}} _ {mathrm {B | A}} = {frac {{vec {v}} _ {mathrm {B}} - {vec {v}} _ {mathrm {A}}} { 1- {frac {{vec {v}} _ {mathrm {A}} {vec {v}} _ {mathrm {B}}} {c ^ {2}}}}}}$

Относительная скорость дается формулой:

${displaystyle v_ {mathrm {B | A}} = {frac {left | v_ {mathrm {B}} -v_ {mathrm {A}} ight |} {1- {frac {v_ {mathrm {A}} v_ { mathrm {B}}} {c ^ {2}}}}}}$

Перпендикулярные скорости

В случае, когда два объекта движутся в перпендикулярных направлениях, релятивистская относительная скорость ${displaystyle {vec {v}} _ {mathrm {B | A}}}$ дается формулой:

${displaystyle {vec {v}} _ {mathrm {B | A}} = {frac {{vec {v}} _ {mathrm {B}}} {gamma _ {mathrm {A}}}} - {vec { v}} _ {mathrm {A}}}$

куда

${displaystyle gamma _ {mathrm {A}} = {frac {1} {sqrt {1 - ({frac {v_ {mathrm {A}}} {c}}) ^ {2}}}}}$

Относительная скорость определяется формулой

${displaystyle v_ {mathrm {B | A}} = {frac {sqrt {c ^ {4} - (c ^ {2} -v_ {mathrm {A}} ^ {2}) (c ^ {2} -v_ {mathrm {B}} ^ {2})}} {c}}}$

Общий случай

Общая формула для относительной скорости ${displaystyle {vec {v}} _ {mathrm {B | A}}}$ объекта или наблюдателя B в кадре покоя другого объекта или наблюдателя А дается формулой:^[1]

${displaystyle {vec {v}} _ {mathrm {B | A}} = {frac {1} {gamma _ {mathrm {A}} left (1- {frac {{vec {v}} _ {mathrm {A) }} {vec {v}} _ {mathrm {B}}} {c ^ {2}}} ight)}} left [{vec {v}} _ {mathrm {B}} - {vec {v}} _ {mathrm {A}} + {vec {v}} _ {mathrm {A}} (gamma _ {mathrm {A}} -1) слева ({frac {{vec {v}} _ {mathrm {A}) } cdot {vec {v}} _ {mathrm {B}}} {v_ {mathrm {A}} ^ {2}}} - 1ight) ight]}$

куда

${displaystyle gamma _ {mathrm {A}} = {frac {1} {sqrt {1 - ({frac {v_ {mathrm {A}}} {c}}) ^ {2}}}}}$

Относительная скорость определяется формулой

${displaystyle v_ {mathrm {B | A}} = {sqrt {1- {frac {(c ^ {2} -v_ {mathrm {A}} ^ {2}) (c ^ {2} -v_ {mathrm { B}} ^ {2})} {(c ^ {2} - {vec {v}} _ {mathrm {A}} cdot {vec {v}} _ {mathrm {B}}) ^ {2}} }}} cdot c}$

Смотрите также

• Эффект Допплера
• Неевклидова геометрия # Кинематические геометрии
• Пекулярная скорость
• Правильное движение
• Радиальная скорость
• Релятивистская скорость
• Космическая скорость (астрономия)

Примечания относительно относительной скорости

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Алонсо и Финн, Фундаментальная университетская физика ISBN 0-201-56518-8
• Гринвуд, Дональд Т. Принципы динамики.
• Гудман и Уорнер, Dynamics.
• Бир и Джонстон, Статика и динамика.
• Словарь МакГроу Хилла по физике и математике.
• Риндлер В. Существенная теория относительности.
• ХУРМИ Р.С., Механика, Инженерная механика, Статика, Динамика

внешняя ссылка

• Относительное движение в HyperPhysics
• Java-апплет, иллюстрирующий относительную скорость, Эндрю Даффи
• Relatív mozgás (1) ... (3) Относительное движение двух поездов (1) ... (3). Видео на портале ФизКапу. (на венгерском)
• Sebességek összegzése Относительное спокойствие форели в ручье. Видео на портале ФизКапу. (на венгерском)