WikiDer > Центростремительная сила
Эта статья содержит множество разделов без ссылок и нужны дополнительные цитаты для проверка. (Январь 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
Часть серии по |
Классическая механика |
---|
Основные темы |
Категории |
А центростремительная сила (из латинский центр, "центр" и Питер, "искать"[1]) это сила что заставляет тело следовать изогнутой дорожка. Его направление всегда ортогональный движению тела и к фиксированной точке мгновенного центр кривизны пути. Исаак Ньютон описал его как «силу, с помощью которой тела притягиваются или толкаются, или каким-либо образом стремятся к точке как к центру».[2] В Ньютоновская механика, гравитация обеспечивает центростремительную силу, вызывающую астрономические орбиты.
Одним из распространенных примеров центростремительной силы является случай, когда тело движется с постоянной скоростью по круговой траектории. Центростремительная сила направлена под прямым углом к движению, а также по радиусу к центру круговой траектории.[3][4] Математическое описание было получено в 1659 году голландским физиком. Кристиан Гюйгенс.[5]
Формулы
Величина центростремительной силы на объект массы м движется в тангенциальная скорость v по пути с радиус кривизны р является:[6]
куда это центростремительное ускорениеНаправление силы - к центру круга, в котором движется объект, или к центру круга, в котором движется объект. соприкасающийся круг (круг, который лучше всего соответствует локальному пути объекта, если путь не круговой).[7]Скорость в формуле возведена в квадрат, поэтому удвоение скорости требует четырехкратного увеличения силы. Обратная связь с радиусом кривизны показывает, что половина радиального расстояния требует вдвое большей силы. Эту силу также иногда записывают в терминах угловая скорость ω объекта относительно центра окружности, связанной с касательной скоростью по формуле
так что
Выражается с использованием орбитальный период Т за один оборот круга,
уравнение становится
В ускорителях частиц скорость может быть очень высокой (близкой к скорости света в вакууме), поэтому та же масса покоя теперь проявляет большую инерцию (релятивистская масса), что требует большей силы для того же центростремительного ускорения, поэтому уравнение принимает следующий вид:[9]
куда
это Фактор Лоренца.
Таким образом, центростремительная сила определяется выражением:
что является скоростью изменения релятивистский импульс .
Источники
В случае объекта, который раскачивается на конце веревки в горизонтальной плоскости, центростремительная сила, действующая на объект, создается за счет натяжения веревки. Пример веревки - это пример силы «тяги». Центростремительная сила также может подаваться как сила толчка, например, в случае, когда нормальная реакция стены обеспечивает центростремительную силу для стена смерти всадник.
Ньютонпредставление о центростремительной силе соответствует тому, что в наши дни называют центральная сила. Когда спутник в орбита вокруг планета, гравитация считается центростремительной силой, даже если в случае эксцентрических орбит гравитационная сила направлена к фокусу, а не к мгновенному центру кривизны.[10]
Другой пример центростремительной силы возникает в спирали, которая прослеживается, когда заряженная частица движется равномерно. магнитное поле при отсутствии других внешних сил. В этом случае магнитная сила - это центростремительная сила, действующая по направлению к оси спирали.
Разбор нескольких случаев
Ниже приведены три примера возрастающей сложности с выводом формул, определяющих скорость и ускорение.
Равномерное круговое движение
Равномерное круговое движение относится к случаю постоянной скорости вращения. Вот два подхода к описанию этого случая.
Вывод исчисления
В двух измерениях вектор положения , имеющий величину (длину) и направлен под углом над осью абсцисс, может быть выражено как Декартовы координаты с использованием единичные векторы и :[11]
Предполагать равномерное круговое движение, что требует трех вещей.
- Объект движется только по кругу.
- Радиус круга не меняется со временем.
- Объект движется с постоянным угловая скорость по кругу. Следовательно, куда время.
Теперь найдите скорость и ускорение движения, взяв производные положения по времени.
Обратите внимание, что термин в скобках является исходным выражением в Декартовы координаты. Как следствие,
отрицательный показывает, что ускорение направлено к центру круга (напротив радиуса), поэтому оно называется «центростремительным» (то есть «центростремительным»). Хотя объекты естественно следуют по прямому пути (из-за инерция), это центростремительное ускорение описывает траекторию кругового движения, вызванного центростремительной силой.
Вывод с использованием векторов
На изображении справа показаны векторные отношения для равномерного кругового движения. Само вращение представлено вектором угловой скорости Ω, которая перпендикулярна плоскости орбиты (с помощью правило правой руки) и имеет величину, определяемую:
с θ угловое положение во времени т. В этом подразделе dθ/ дт считается постоянной, не зависящей от времени. Пройденное расстояние dℓ частицы за время dт по круговой дорожке
которые по свойствам векторное произведение, имеет величину рdθ и находится в направлении, касательном к круговой траектории.
Как следствие,
Другими словами,
Дифференцируя по времени,
Формула Лагранжа состояния:
Применяя формулу Лагранжа с замечанием, что Ω • r(т) = 0 всегда,
Проще говоря, ускорение указывает прямо противоположно радиальному смещению. р во все времена и имеет величину:
где вертикальные полосы | ... | обозначают модуль вектора, который в случае р(т) - это просто радиус р пути. Этот результат согласуется с предыдущим разделом, хотя обозначения немного другие.
Когда скорость вращения сделана постоянной при анализе неравномерное круговое движение, этот анализ согласуется с этим.
Достоинством векторного подхода является то, что он явно не зависит от какой-либо системы координат.
Пример: поворот с наклоном
Верхняя панель на изображении справа показывает шар, совершающий круговое движение по кривой с наклоном. Кривая наклонена под углом θ от горизонтали, и поверхность дороги считается скользкой. Цель состоит в том, чтобы определить, под каким углом должен быть крен, чтобы мяч не соскользнул с дороги.[12] Интуиция подсказывает нам, что на ровной кривой без кренов мяч просто соскользнет с дороги; в то время как при очень крутом крене мяч будет скользить к центру, если он не будет быстро перемещаться по кривой.
Помимо любого ускорения, которое может возникнуть в направлении траектории, нижняя панель изображения выше указывает силы, действующие на мяч. Есть два силы; один - сила тяжести, направленная вертикально вниз через центр масс мяча мграмм, куда м масса шара и грамм это гравитационное ускорение; второй - вверх нормальная сила проявляется дорогой под прямым углом к дорожному покрытию мап. Центростремительная сила, требуемая криволинейным движением, также показана выше. Эта центростремительная сила не является третьей силой, приложенной к мячу, она должна создаваться равнодействующая сила на мяч в результате векторное сложение из нормальная сила и сила притяжения. Результирующая или равнодействующая сила на шаре, найденном векторное сложение из нормальная сила оказываемое дорогой и вертикальной силой из-за сила тяжести должен равняться центростремительной силе, продиктованной необходимостью пройти круговой путь. Криволинейное движение сохраняется до тех пор, пока эта результирующая сила обеспечивает центростремительную силу, необходимую для движения.
Горизонтальная чистая сила, действующая на мяч - это горизонтальная составляющая силы со стороны дороги, величина которой |Fчас| = м|ап| грехθ. Вертикальная составляющая силы от дороги должна противодействовать силе тяжести: |Fv| = м|ап| cosθ = м|грамм|, что означает |ап|=|грамм| / cosθ. Подставляя в приведенную выше формулу для |Fчас| дает горизонтальную силу:
С другой стороны, на скорости |v| по круговой траектории радиуса р, кинематика говорит, что сила, необходимая для непрерывного поворота шара в поворот, является радиально направленной внутрь центростремительной силой Fc величины:
Следовательно, мяч движется по устойчивой траектории, если угол наклона дороги соответствует условию:
или же,
Как угол крена θ приближается к 90 °, касательная функция приближается к бесконечности, допуская большие значения для |v|2/р. На словах это уравнение утверждает, что для больших скоростей (больше |v|) дорога должна быть более крутой (большее значение для θ), и для более крутых поворотов (меньшие р) дорога также должна быть круче, что согласуется с интуицией. Когда угол θ не удовлетворяет вышеуказанному условию, горизонтальная составляющая силы, действующая со стороны дороги, не обеспечивает правильную центростремительную силу, и требуется дополнительная сила трения, касательная к поверхности дороги, чтобы обеспечить разницу. Если трение не может этого сделать (то есть коэффициент трения превышен), мяч скользит по другому радиусу, где можно реализовать баланс.[13][14]
Эти идеи применимы и к авиаперелетам. См. Руководство пилота FAA.[15]
Неравномерное круговое движение
В качестве обобщения случая равномерного кругового движения предположим, что угловая скорость вращения не постоянна. Ускорение теперь имеет тангенциальную составляющую, как показано на изображении справа. Этот случай используется для демонстрации стратегии вывода, основанной на полярная система координат.
Позволять р(т) - вектор, описывающий положение точечная масса как функция времени. Поскольку мы предполагаем круговое движение, позволять р(т) = р·тыр, куда р - константа (радиус круга) и тыр это единичный вектор указывая от начала координат до точечной массы. Направление тыр описывается θ, угол между осью x и единичным вектором, измеренный против часовой стрелки от оси x. Другой единичный вектор для полярных координат, тыθ перпендикулярно тыр и указывает в сторону увеличения θ. Эти полярные единичные векторы могут быть выражены через Декартово единичные векторы в Икс и у направления, обозначенные я и j соответственно:[16]
- тыр = cosθ я + грехθ j
и
- тыθ = -sinθ я + cosθ j.
Чтобы найти скорость, можно дифференцировать:
куда ω - угловая скорость dθ/ дт.
Этот результат для скорости соответствует ожиданиям, что скорость должна быть направлена по касательной к окружности, и что величина скорости должна быть rω. Снова дифференцируя и отмечая, что
мы находим, что ускорение, а является:
Таким образом, радиальная и тангенциальная составляющие ускорения равны:
- и
где |v| = р ω - величина скорости (скорость).
Эти уравнения математически выражают, что в случае объекта, который движется по круговой траектории с изменяющейся скоростью, ускорение тела может быть разложено на перпендикулярный компонент который изменяет направление движения (центростремительное ускорение), и параллельное, или тангенциальная составляющая, который меняет скорость.
Общее плоское движение
Полярные координаты
Приведенные выше результаты могут быть получены проще, если полярные координаты, и в то же время распространено на общее движение в плоскости, как показано ниже. Полярные координаты на плоскости используют радиальный единичный вектор тыρ и угловой единичный вектор тыθ, как показано выше.[17] Частица в позиции р описывается:
где обозначение ρ используется для описания расстояния пути от начала координат вместо р чтобы подчеркнуть, что это расстояние не фиксировано, а меняется со временем. Единичный вектор тыρ движется вместе с частицей и всегда указывает в том же направлении, что и р(т). Единичный вектор тыθ также перемещается с частицей и остается ортогональной тыρ. Таким образом, тыρ и тыθ образуют локальную декартову систему координат, прикрепленную к частице и привязанную к пути, пройденному частицей.[18] Перемещая единичные векторы так, чтобы их хвосты совпадали, как видно в круге слева от изображения выше, можно увидеть, что тыρ и тыθ образуют прямоугольную пару с кончиками на единичном круге, которые следуют вперед и назад по периметру этого круга с тем же углом θ(т) в качестве р(т).
Когда частица движется, ее скорость равна
Чтобы оценить скорость, производная единичного вектора тыρ необходим. Потому что тыρ является единичным вектором, его величина фиксирована, и он может изменяться только по направлению, то есть его изменение dтыρ имеет компонент только перпендикулярно тыρ. Когда траектория р(т) вращает величину dθ, тыρ, который указывает в том же направлении, что и р(т), также поворачивается на dθ. См. Изображение выше. Следовательно, изменение тыρ является
или же
Аналогичным образом скорость изменения тыθ находится. Как и с тыρ, тыθ является единичным вектором и может вращаться только без изменения размера. Чтобы оставаться ортогональным тыρ пока траектория р(т) вращает величину dθ, тыθ, которая ортогональна р(т), также поворачивается на dθ. См. Изображение выше. Следовательно, замена dтыθ ортогонален тыθ и пропорционально dθ (см. изображение выше):
На изображении выше показан отрицательный знак: для сохранения ортогональности, если dтыρ положительно с dθ, то dтыθ должно уменьшиться.
Подставляя производную от тыρ в выражение для скорости:
Для получения ускорения проводится еще одно временное дифференцирование:
Подставляя производные от тыρ и тыθ, ускорение частицы равно:[19]
В качестве частного примера, если частица движется по кругу постоянного радиуса р, то dρ/ дт = 0, v = vθ, и:
куда
Эти результаты согласуются с приведенными выше для неравномерное круговое движение. Также статью о неравномерное круговое движение. Если это ускорение умножается на массу частицы, главный член - центростремительная сила, а отрицательный второй член, связанный с угловым ускорением, иногда называется Сила Эйлера.[20]
Для траекторий, отличных от кругового движения, например, более общей траектории, представленной на изображении выше, мгновенный центр вращения и радиус кривизны траектории только косвенно связаны с системой координат, определяемой тыρ и тыθ и по длине |р(т)| = ρ. Следовательно, в общем случае непросто отделить центростремительные члены и члены Эйлера от приведенного выше общего уравнения ускорения.[21][22] Для непосредственного решения этой проблемы предпочтительны локальные координаты, о чем будет сказано ниже.
Местные координаты
Локальные координаты означают набор координат, которые перемещаются вместе с частицей,[23] и имеют ориентацию, определяемую путем движения частицы.[24] Единичные векторы формируются, как показано на изображении справа, как по касательной, так и по нормали к траектории. Эту систему координат иногда называют внутренний или же координаты пути[25][26] или же nt-координаты, за нормально-тангенциальный, ссылаясь на эти единичные векторы. Эти координаты являются очень частным примером более общего понятия локальных координат из теории дифференциальных форм.[27]
Расстояние по пути частицы - это длина дуги s, которая считается известной функцией времени.
Центр кривизны определяется в каждой позиции s расположен на расстоянии ρ (в радиус кривизны) от кривой на прямой по нормали тып (s). Требуемое расстояние ρ(s) на длине дуги s определяется в терминах скорости вращения касательной к кривой, которая, в свою очередь, определяется самой траекторией. Если ориентация касательной относительно некоторой начальной позиции равна θ(s), тогда ρ(s) определяется производной dθ/ дs:
Радиус кривизны обычно принимается положительным (то есть как абсолютная величина), а радиус кривизны кривизна κ количество со знаком.
Геометрический подход к нахождению центра кривизны и радиуса кривизны использует процесс ограничения, приводящий к соприкасающийся круг.[28][29] См. Изображение выше.
Используя эти координаты, движение по траектории рассматривается как последовательность круговых траекторий с постоянно меняющимся центром и в каждой позиции s составляет неравномерное круговое движение в этой позиции с радиусом ρ. Тогда местное значение угловой скорости вращения определяется как:
с местной скоростью v предоставлено:
Что касается других примеров выше, поскольку единичные векторы не могут изменять величину, их скорость изменения всегда перпендикулярна их направлению (см. Левую вставку на изображении выше):[30]
Следовательно, скорость и ускорение:[29][31][32]
и используя цепное правило дифференциации:
- с тангенциальным ускорением
В этой локальной системе координат ускорение напоминает выражение для неравномерное круговое движение с локальным радиусом ρ(s), а центростремительное ускорение - вторым слагаемым.[33]
Распространение этого подхода на кривые трехмерного пространства приводит к Формулы Френе – Серре.[34][35]
Альтернативный подход
Глядя на изображение выше, можно задаться вопросом, адекватно ли учтена разница в кривизне между ρ(s) и ρ(s + ds) при вычислении длины дуги как ds = ρ(s) dθ. Уверенность в этом вопросе можно найти, используя более формальный подход, изложенный ниже. Этот подход также связан со статьей о кривизна.
Чтобы ввести единичные векторы локальной системы координат, можно начать с декартовых координат и описать локальные координаты в терминах этих декартовых координат. По длине дуги s, пусть путь описывается как:[36]
Тогда инкрементное смещение по пути ds описывается:
где штрихи введены для обозначения производных по s. Величина этого смещения равна ds, показывая, что:[37]
- (Уравнение 1)
Это смещение обязательно касается кривой в точке s, показывая, что касательный к кривой единичный вектор равен:
в то время как внешний единичный вектор, нормальный к кривой, равен
Ортогональность можно проверить, показав, что вектор скалярное произведение равно нулю. Единичная величина этих векторов является следствием Уравнение 1. Используя касательный вектор, угол θ касательной к кривой определяется выражением:
- и
Радиус кривизны вводится совершенно формально (без геометрической интерпретации) как:
Производная от θ можно найти из этого за грехθ:
Сейчас же:
в котором знаменатель равен единице. С помощью этой формулы для производной синуса радиус кривизны становится:
где эквивалентность форм проистекает из дифференциации Уравнение 1:
По этим результатам можно определить ускорение:
что можно проверить, взяв скалярное произведение с единичными векторами тыт(s) и тып(s). Этот результат для ускорения такой же, как и для кругового движения на основе радиуса ρ. Используя эту систему координат в инерциальной системе отсчета, легко идентифицировать силу, нормальную к траектории, как центростремительную силу, а силу, параллельную траектории, как тангенциальную силу. С качественной точки зрения путь может быть аппроксимирован дугой окружности в течение ограниченного времени, и в течение ограниченного времени применяется определенный радиус кривизны, центробежные силы и силы Эйлера могут быть проанализированы на основе кругового движения с этим радиусом .
Этот результат для ускорения согласуется с полученным ранее. Однако при таком подходе вопрос об изменении радиуса кривизны с s обрабатывается полностью формально, в соответствии с геометрической интерпретацией, но не полагаясь на нее, тем самым избегая любых вопросов, которые изображение выше может вызвать о пренебрежении вариацией в ρ.
Пример: круговое движение
Чтобы проиллюстрировать приведенные выше формулы, пусть Икс, у быть дано как:
Потом:
который можно распознать как круговой путь вокруг начала координат с радиусом α. Позиция s = 0 соответствует [α, 0] или 3 часа. Для использования описанного выше формализма необходимы производные:
С этими результатами можно убедиться, что:
Также можно найти единичные векторы:
которые служат, чтобы показать, что s = 0 находится в позиции [ρ, 0] и s = ρπ / 2 на [0, ρ], что согласуется с исходными выражениями для Икс и у. Другими словами, s измеряется против часовой стрелки по кругу от 3 часов. Также можно найти производные этих векторов:
Чтобы получить скорость и ускорение, зависимость от времени для s необходимо. Для движения против часовой стрелки с переменной скоростью v(т):
куда v(т) скорость и т время, и s(т = 0) = 0. Тогда:
где уже установлено, что α = ρ. Это ускорение является стандартным результатом для неравномерное круговое движение.
Смотрите также
- Аналитическая механика
- Прикладная механика
- Теорема Бертрана
- Центральная сила
- Центробежная сила
- Круговое движение
- Классическая механика
- Сила Кориолиса
- Динамика (физика)
- Эскимосское йо-йо
- Пример: круговое движение
- Фиктивная сила
- Формулы Френе-Серре
- История центробежных и центростремительных сил
- Кинематика
- Кинетика
- Механика движения плоских частиц
- Ортогональные координаты
- Реактивная центробежная сила
- Статика
Примечания и ссылки
- ^ Крейг, Джон (1849). Новый универсальный этимологический, технологический и произносительный словарь английского языка: охватывающий все термины, используемые в искусстве, науке и литературе, Том 1. Гарвардский университет. п. 291. Отрывок страницы 291
- ^ Ньютон, Исаак (2010). Принципы: математические принципы натурфилософии. [S.l.]: Snowball Pub. п. 10. ISBN 978-1-60796-240-3.
- ^ Расселк К. Хиббелер (2009). «Уравнения движения: нормальные и тангенциальные координаты». Инженерная механика: динамика (12-е изд.). Прентис Холл. п. 131. ISBN 978-0-13-607791-6.
- ^ Пол Аллен Типлер; Джин Моска (2003). Физика для ученых и инженеров (5-е изд.). Макмиллан. п. 129. ISBN 978-0-7167-8339-8.
- ^ П. Жермен; М. Пиау; D. Caillerie, ред. (2012). Теоретическая и прикладная механика. Эльзевир. ISBN 9780444600202.
- ^ Крис Картер (2001). Факты и практика для A-Level: физика. С.2 .: Издательство Оксфордского университета. п. 30. ISBN 978-0-19-914768-7.CS1 maint: location (связь)
- ^ Юджин Ломмель; Джордж Уильям Майерс (1900). Экспериментальная физика. К. Пауль, Trench, Trübner & Co. стр. 63.
- ^ Колвелл, Кэтрин Х. «Вывод формул центростремительного ускорения». PhysicsLAB. Архивировано из оригинал 15 августа 2011 г.. Получено 31 июля 2011.
- ^ Конте, Марио; Маккей, Уильям В. (1991). Введение в физику ускорителей частиц. World Scientific. п. 8. ISBN 978-981-4518-00-0. Отрывок страницы 8
- ^ Тео Купелис (2010). В поисках Вселенной (6-е изд.). Джонс и Бартлетт Обучение.п. 83. ISBN 978-0-7637-6858-4.
- ^ А. В. Даррант (1996). Векторы в физике и технике. CRC Press. п. 103. ISBN 978-0-412-62710-1.
- ^ Лоуренс С. Лернер (1997). Физика для ученых и инженеров. Бостон: Jones & Bartlett Publishers. п. 128. ISBN 978-0-86720-479-7.
- ^ Артур Байзер (2004). Обзор прикладной физики Шаума. Нью-Йорк: McGraw-Hill Professional. п. 103. ISBN 978-0-07-142611-4.
- ^ Алан Дарбишир (2003). Машиностроение: Национальные дополнительные подразделения BTEC. Оксфорд: Newnes. п. 56. ISBN 978-0-7506-5761-7.
- ^ Федеральное управление гражданской авиации (2007 г.). Энциклопедия авиационных знаний пилотов. Оклахома-Сити ОК: Skyhorse Publishing Inc. Рисунок 3–21. ISBN 978-1-60239-034-8.
- ^ Примечание: в отличие от декартовых единичных векторов я и j, которые постоянны, в полярные координаты направление единичных векторов тыр и тыθ зависит от θ, и, как правило, имеют ненулевые производные по времени.
- ^ Хотя полярная система координат движется вместе с частицей, наблюдатель - нет. Описание движения частицы остается описанием с точки зрения стационарного наблюдателя.
- ^ Обратите внимание, что эта локальная система координат не автономна; например, его вращение во времени продиктовано траекторией, прослеживаемой частицей. Радиальный вектор р(т) не представляет радиус кривизны пути.
- ^ Джон Роберт Тейлор (2005). Классическая механика. Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. С. 28–29. ISBN 978-1-891389-22-1.
- ^ Корнелиус Ланцош (1986). Вариационные принципы механики. Нью-Йорк: Courier Dover Publications. п. 103. ISBN 978-0-486-65067-8.
- ^ См., Например, Ховард Д. Кертис (2005). Орбитальная механика для студентов инженерных специальностей. Баттерворт-Хайнеманн. п.5. ISBN 978-0-7506-6169-0.
- ^ С. Ю. Ли (2004). Физика ускорителя (2-е изд.). Хакенсак, штат Нью-Джерси: World Scientific. п. 37. ISBN 978-981-256-182-4.
- ^ В наблюдатель движения по кривой использует эти локальные координаты для описания движения со стороны наблюдателя. точка зрения, то есть со стационарной точки зрения. Другими словами, хотя локальная система координат движется вместе с частицей, наблюдатель - нет. Изменение системы координат, используемой наблюдателем, - это только изменение их описание наблюдений, и не означает, что наблюдатель изменил свое состояние движения, и наоборот.
- ^ Жилин Ли; Казуфуми Ито (2006). Метод погруженного интерфейса: численные решения уравнений в частных производных с участием интерфейсов и нерегулярных областей. Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. п. 16. ISBN 978-0-89871-609-2.
- ^ К. Л. Кумар (2003). Инженерная механика. Нью-Дели: Тата МакГроу-Хилл. п. 339. ISBN 978-0-07-049473-2.
- ^ Лакшмана К. Рао; Дж. Лакшминарасимхан; Раджу Сетураман; С.М. Сивакума (2004). Инженерная динамика: статика и динамика. Прентис Холл Индии. п. 133. ISBN 978-81-203-2189-2.
- ^ Шигеюки Морита (2001). Геометрия дифференциальных форм. Американское математическое общество. п.1. ISBN 978-0-8218-1045-3.
местные координаты.
- ^ Прикосновение круга в данной точке п на кривой - предельный круг последовательности кругов, проходящих через п и две другие точки на кривой, Q и р, по обе стороны от п, так как Q и р подход п. См. Онлайн-текст Лэмба: Гораций Лэмб (1897). Элементарный курс исчисления бесконечно малых. University Press. п.406. ISBN 978-1-108-00534-0.
соприкасающийся круг.
- ^ а б Гуан Чен; Fook Fah Yap (2003). Введение в планарную динамику (3-е изд.). Central Learning Asia / Thomson Learning Asia. п. 34. ISBN 978-981-243-568-2.
- ^ Р. Дуглас Грегори (2006). Классическая механика: текст для студентов. Издательство Кембриджского университета. п. 20. ISBN 978-0-521-82678-5.
- ^ Эдмунд Тейлор Уиттакер; Уильям МакКри (1988). Трактат по аналитической динамике частиц и твердых тел: с введением в проблему трех тел (4-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 20. ISBN 978-0-521-35883-5.
- ^ Джерри Х. Гинзберг (2007). Инженерная динамика. Издательство Кембриджского университета. п. 33. ISBN 978-0-521-88303-0.
- ^ Джозеф Ф. Шелли (1990). 800 решенных задач векторной механики для инженеров: Динамика. McGraw-Hill Professional. п. 47. ISBN 978-0-07-056687-3.
- ^ Ларри К. Эндрюс; Рональд Л. Филлипс (2003). Математические методы для инженеров и ученых. SPIE Press. п. 164. ISBN 978-0-8194-4506-3.
- ^ Ch V Рамана Мурти; NC Шринивас (2001). Прикладная математика. Нью-Дели: S. Chand & Co., стр. 337. ISBN 978-81-219-2082-7.
- ^ Статья о кривизна рассматривает более общий случай, когда кривая параметризуется произвольной переменной (обозначенной т), а не длиной дуги s.
- ^ Ахмед А. Шабана; Халед Э. Заазаа; Хироюки Сугияма (2007). Динамика железнодорожного подвижного состава: вычислительный подход. CRC Press. п. 91. ISBN 978-1-4200-4581-9.
дальнейшее чтение
- Serway, Raymond A .; Джуэтт, Джон В. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-534-40842-8.
- Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: механика, колебания и волны, термодинамика (5-е изд.). В. Х. Фриман. ISBN 978-0-7167-0809-4.
- Центростремительная сила против. Центробежная сила, из онлайн-учебника по физике на Риджентс-экзамене школьного округа Освего.
внешняя ссылка
Искать центростремительный в Викисловаре, бесплатном словаре. |
- Записки Виннипегского университета
- Заметки из физики и астрономии HyperPhysics в Университете штата Джорджия; смотрите также домашняя страница
- Записки из Британики
- Заметки из PhysicsNet
- Заметки НАСА Дэвида П. Стерна
- Записки из U Texas.
- Анализ умного йо-йо
- Йо-йо инуитов
- Кинематические модели для цифровой библиотеки дизайна (KMODDL)
Фильмы и фотографии сотен работающих моделей механических систем в Корнельском университете. Также включает библиотека электронных книг классических текстов по машиностроению и машиностроению.