WikiDer > Представительное кольцо

В математика, особенно в районе алгебра известный как теория представлений, то представительное кольцо (или же Зеленое кольцо после Дж. А. Грин) из группа это звенеть образованный из всех (классов изоморфизма) конечномерных линейных представления группы. Элементы кольца представлений иногда называют виртуальными представлениями.^[1] Для данной группы кольцо будет зависеть от базового поля представлений. Случай комплексных коэффициентов наиболее развит, но случай алгебраически замкнутые поля из характеристика п где Силовский п-подгруппы находятся циклический также теоретически достижима.

Формальное определение

Учитывая группу грамм и поле F, элементы его представительное кольцо р_F(грамм) - формальные разности классов изоморфизма конечномерных линейных F-представления грамм. Для кольцевой структуры сложение дается прямой суммой представлений, а умножение - их тензорное произведение над F. Когда F в обозначениях опущен, как в р(грамм), тогда F неявно считается полем комплексных чисел.

Вкратце, представительное кольцо грамм это Кольцо Grothendieck категории конечномерных представлений грамм.

Примеры

• Для сложных представлений циклическая группа порядка п, представительное кольцо р_C(C_п) изоморфна Z[Икс]/(Икс^п - 1), где Икс соответствует сложному представлению, отправляющему генератор группы примитиву пй корень единства.
• В более общем смысле, кольцо комплексного представления конечного абелева группа может быть отождествлен с групповое кольцо из группа персонажей.
• Для рациональных представлений циклической группы порядка 3 кольцо представлений р_Q(C₃) изоморфна Z[Икс]/(Икс² − Икс - 2), где Икс соответствует неприводимому рациональному представлению размерности 2.
• Для модульных представлений циклической группы порядка 3 над полем F характеристики 3 представительное кольцо р_F(C₃) изоморфна Z[Икс,Y]/(Икс² − Y − 1, XY − 2Y,Y² − 3Y).
• Кольцо непрерывного представления р(S¹) для группы окружности изоморфна Z[Икс, Икс ⁻¹]. Кольцо вещественных представлений - это подкольцо р(грамм) элементов, фиксируемых инволюцией на р(грамм) предоставлено Икс → Икс ⁻¹.
• Кольцо р_C(S₃) для симметричная группа по трем точкам изоморфен Z[Икс,Y]/(XY − Y,Икс² − 1,Y² − Икс − Y - 1), где Икс - одномерное альтернативное представление и Y 2-мерное неприводимое представление S₃.

Символы

Любое представление определяет персонаж χ:грамм → C. Такая функция постоянна на классах сопряженности грамм, так называемый функция класса; обозначим кольцо функций классов через C(грамм). Если грамм конечно, гомоморфизм р(грамм) → C(грамм) инъективно, так что р(грамм) можно отождествить с подкольцом C(грамм). Для полей F характеристика которой делит порядок группы грамм, гомоморфизм из р_F(грамм) → C(грамм) определяется Персонажи Брауэра больше не инъективен.

Для компактной связной группы р(грамм) изоморфно подкольцу кольца р(Т) (куда Т является максимальным тором), состоящим из тех функций классов, которые инвариантны относительно действия группы Вейля (Atiyah, Hirzebruch, 1961). По поводу общей компактной группы Ли см. Сигал (1968).

λ-кольцо и операции Адамса

Учитывая представление грамм и натуральное число п, мы можем сформировать п-й внешняя сила представления, которое снова является представлением грамм. Это индуцирует операцию λ^п : р(грамм) → р(грамм). С помощью этих операций р(грамм) становится λ-кольцо.

В Операции Адамса на представительском кольце р(грамм) являются отображениями Ψ^k характеризуются своим влиянием на характеры χ:

${ displaystyle Psi ^ {k} chi (g) = chi (g ^ {k}) .}$

Операции Ψ^k являются гомоморфизмами колец р(грамм) к себе, а на представлениях ρ размерности d

${ Displaystyle Psi ^ {k} ( rho) = N_ {k} ( Lambda ^ {1} rho, Lambda ^ {2} rho, ldots, Lambda ^ {d} rho) }$

где Λ^яρ - внешние силы ρ и N_k это k-й степени сумма, выраженная как функция d элементарные симметричные функции d переменные.

Рекомендации

• Атья, Майкл Ф.; Хирцебрух, Фридрих (1961), "Векторные расслоения и однородные пространства", Proc. Симпози. Чистая математика., Американское математическое общество, III: 7–38, МИСТЕР 0139181, Zbl 0108.17705.
• Бреккер, Теодор; Том Дик, Таммо (1985), Представления компактных групп Ли, Тексты для выпускников по математике, 98, Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг, Токио: Springer-Verlag, ISBN 0-387-13678-9, МИСТЕР 1410059, OCLC 11210736, Zbl 0581.22009
• Сигал, Грэм (1968), "Кольцо представлений компактной группы Ли", Publ. Математика. IHES, 34: 113–128, МИСТЕР 0248277, Zbl 0209.06203.
• Снайт, В. П. (1994), Явная индукция Брауэра: с приложениями к алгебре и теории чисел, Кембриджские исследования по высшей математике, 40, Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-46015-8, Zbl 0991.20005