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EIN Rieselnummer ist ein seltsam Nummer ${displaystyle k}$ mit der Eigenschaft, dass für alle ganze Zahlen${displaystyle n}$ die Nummer ${displaystyle kcdot 2^{n}-1}$ Nein Primzahl ist. Der Schwede Hans Riesel bewiesen in 1956 dass es unendlich viele solcher Zahlen gibt. Die Nummer 509 203, die kleinste bekannte, wurde auch von ihm gefunden. Wenn Sie ein positives haben mehrere von 11 184 810 summiert, bekommt man eine weitere Riesel-Nummer. Rieselzahlen sind sehr ähnlich zu similar Sierpiński-Zahlen, für die ${displaystyle kcdot 2^{n} 1}$ für alle ${displaystyle n}$ ist keine Primzahl.

Beweise

Es Beweis dass eine Zahl eine Rieselzahl ist, geschieht mit Hilfe von a Abdeck-Set. Das ist ein SammlungPrimzahlen der mit einer Riesel-Nummer ${displaystyle k}$ gehört, damit für alle ${displaystyle n}$ zählt das ${displaystyle kcdot 2^{n}-1}$teilbar ist durch eine dieser Zahlen. Beispielsweise, ${Anzeigestil 509.203}$ die überdeckende Menge {3, 5, 7, 13, 17, 241}, denn für jedes ${displaystyle n}$ Gibt es ein Element der überdeckenden Menge, das Teiler von ist ${displaystyle 509.203 imes 2^{n}-1}$. Das ist weil:

${displaystyle 509.203 imes 2^{0}-1}$ ist durch 3 teilbar;

${displaystyle 509.203 imes 2^{1}-1}$ ist durch 5 teilbar;

${displaystyle 509.203 imes 2^{2}-1}$ ist durch 3 teilbar;

${displaystyle 509.203 imes 2^{3}-1}$ ist durch 241 teilbar;

${displaystyle vdots }$

${displaystyle 509.203 imes 2^{23}-1}$ ist durch 7 teilbar.

Jetzt ist ${displaystyle 509.203 imes 2^{24}äquivalent 509.203 imes 2^{0}!!!!{pmod {5.592.405}}}$, mit 5.592.405 das Produkt der Zahlen im Abdecksatz. Wegen der Kongruenz können ${displaystyle n}$ modulo 24 reduziert werden. Damit ist bewiesen, dass 509.203 ist eine Riesel-Nummer.

Die einzigen bekannten fünf Riesel-Zahlen unter einer Million sind:

${displaystyle 509.203 imes 2^{n}-1}$ mit Abdeckset {3, 5, 7, 13, 17, 241}

${displaystyle 762.701 imes 2^{n}-1}$ mit Abdeckset {3, 5, 7, 13, 17, 241}

${displaystyle 777,149 imes 2^{n}-1}$ mit Abdeckset {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}

${displaystyle 790.841 imes 2^{n}-1}$ mit Abdeckset {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}

${displaystyle 992.077 imes 2^{n}-1}$ mit Abdeckset {3, 5, 7, 13, 17, 241}

Das Riesel-Problem

Das Rieselproblem besteht darin, die kleinste Rieselzahl zu bestimmen. Es wird behauptet, dass dies 509.203 ist. Um dies zu beweisen, gilt für alle ungeraden Zahlen ${Anzeigestil k<509.203}$ eine Zahl ${displaystyle n}$ gesucht werden, damit ${displaystyle kcdot 2^{n}-1}$ ist eine Primzahl. Ende 2007 waren es noch 72 Nummern, im Oktober 2014 waren es 50.^[1] Wenn mit diesen 50 Zahlen ${displaystyle k}$ eine Zahl ${displaystyle n}$ gefunden wird, ist damit gezeigt, dass 509.203 ist die kleinste Rieselzahl.

Rieselsieb

Rieselsieb ist ein Distributed Computing-Projekt an dem jeder mit seinem PC teilnehmen kann. Der Computer lädt ein Programm herunter, das Primzahlen der Form findet ${displaystyle kcdot 2^{n}-1}$ für die restlichen ${displaystyle k}$s. Das Projekt ist jetzt untergebracht bei PrimeGrid.

Externe Links

• Informationen und Status des Problems