WikiDer > Гипотеза Шена – Яу

Эта статья требует внимания специалиста по математике. Пожалуйста, добавьте причина или разговаривать в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. ВикиПроект по математике может помочь нанять эксперта. (Ноябрь 2008 г.)

В математика, то Гипотеза Шена – Яу это опровергнутая гипотеза в гиперболическая геометрия, названный в честь математики Ричард Шон и Шинг-Тунг Яу.

Он был вдохновлен теоремой Эрхард Хайнц (1952). Один из методов опровержения - использование Поверхности Шерка, как используется Гарольд Розенберг и Паскаль Коллин (2006).

Постановка и утверждение гипотезы

Позволять ${displaystyle mathbb {C}}$ быть комплексная плоскость рассматривается как Риманово многообразие с его обычной (плоской) римановой метрикой. Позволять ${displaystyle mathbb {H}}$ обозначить гиперболическая плоскость, т.е. единичный диск

${displaystyle mathbb {H}: = {(x, y) в mathbb {R} ^ {2} | x ^ {2} + y ^ {2} <1}}$

наделен гиперболической метрикой

${displaystyle mathrm {d} s ^ {2} = 4 {frac {mathrm {d} x ^ {2} + mathrm {d} y ^ {2}} {(1- (x ^ {2} + y ^ { 2})) ^ {2}}}.}$

Э. Хайнц доказал в 1952 г., что не может быть гармонический диффеоморфизм

${displaystyle f: mathbb {H} o mathbb {C}.,}$

В свете этой теоремы Шен предположил, что не существует гармонического диффеоморфизма

${displaystyle g: mathbb {C} o mathbb {H}.,}$

(Неясно, как имя Яу стало ассоциироваться с гипотезой: в неопубликованной переписке с Гарольдом Розенбергом и Шен, и Яу идентифицируют Шена как постулирующего эту гипотезу). Гипотеза Шена (-Яу) с тех пор была опровергнута.

Комментарии

Акцент делается на существовании или отсутствии гармонический диффеоморфизм, и что это свойство является «односторонним» свойством. Более подробно: предположим, что мы рассматриваем два римановых многообразия M и N (с соответствующими показателями) и напишите

${displaystyle Msim N,}$

если существует диффеоморфизм из M на N (в обычной терминологии M и N диффеоморфны). Написать

${displaystyle Mpropto N}$

если существует гармонический диффеоморфизм из M на N. Нетрудно показать, что ${displaystyle sim}$ (будучи диффеоморфным) является отношение эквивалентности на объекты из категория римановых многообразий. Особенно, ${displaystyle sim}$ это симметричное отношение:

${displaystyle Msim Niff Nsim M.}$

Можно показать, что гиперболическая плоскость и (плоская) комплексная плоскость действительно диффеоморфны:

${displaystyle mathbb {H} sim mathbb {C},}$

поэтому вопрос в том, являются ли они «гармонически диффеоморфными». Однако, как показывают истинность теоремы Хайнца и ложность гипотезы Шена – Яу, ${displaystyle propto}$ не является симметричным отношением:

${displaystyle mathbb {C} propto mathbb {H} {ext {but}} mathbb {H} ot propto mathbb {C}.}$

Таким образом, быть «гармонически диффеоморфным» является гораздо более сильным свойством, чем просто быть диффеоморфным, и может быть «односторонним» отношением.

Рекомендации

• Хайнц, Эрхард (1952). "Über die Lösungen der Minimalflächengleichung". Nachr. Акад. Wiss. Гёттинген. Math.-Phys. Kl. Math.-Phys.-Chem. Abt. 1952: 51–56.
• Коллин, Паскаль; Розенберг, Гарольд (2010). «Построение гармонических диффеоморфизмов и минимальных графов». Анна. математики. 2. 172 (3): 1879–1906. arXiv:математика / 0701547. Дои:10.4007 / анналы.2010.172.1879. ISSN 0003-486X. МИСТЕР2726102