WikiDer > Поверхность Шерка

Scherk surface
Анимация трансформации первой и второй поверхностей Шерка друг в друга: они являются членами одного и того же ассоциированная семья минимальных поверхностей.

В математика, а Поверхность Шерка (названный в честь Генрих Шерк) является примером минимальная поверхность. Шерк описал две полные вложенные минимальные поверхности в 1834 году;[1] его первая поверхность - двоякопериодическая, вторая - однокнопериодическая. Они были третьими нетривиальными примерами минимальных поверхностей (первые два были катеноид и геликоид).[2] Две поверхности конъюгирует друг друга.

Поверхности Шерка возникают при изучении некоторых предельных задач минимальной поверхности и при изучении гармонических диффеоморфизмы из гиперболическое пространство.

Первая поверхность Шерка

Первая поверхность Шерка асимптотична двум бесконечным семействам параллельных плоскостей, ортогональных друг другу, которые встречаются около z = 0 в шахматном порядке соединительных арок. Он содержит бесконечное количество прямых вертикальных линий.

Построение простой поверхности Шерка

STL элементарная ячейка первой поверхности Шерка
Пять элементарных ячеек, помещенных вместе

Рассмотрим следующую задачу о минимальной поверхности на квадрате евклидовой плоскости: для натуральное число п, найти минимальную поверхность Σп как график некоторой функции

такой, что

То есть, тып удовлетворяет уравнение минимальной поверхности

и

Что, во всяком случае, является предельной поверхностью как п стремится к бесконечности? Ответ дал Х. Шерк в 1834 году: предельная поверхность Σ - это график

Это Поверхность Шерка над площадью

Более общие поверхности Шерка

Можно рассматривать аналогичные задачи с минимальной поверхностью на другом четырехугольники в евклидовой плоскости. Можно также рассмотреть ту же задачу о четырехугольниках в гиперболическая плоскость. В 2006 году Гарольд Розенберг и Паскаль Коллин использовали гиперболические поверхности Шерка для построения гармонического диффеоморфизма комплексной плоскости на гиперболическую плоскость (единичный диск с гиперболической метрикой), тем самым опровергнув Гипотеза Шена – Яу.

Вторая поверхность Шерка

Вторая поверхность Шерка
Элементарная ячейка STL второй поверхности Шерка

Вторая поверхность Шерка глобально выглядит как две ортогональные плоскости, пересечение которых состоит из последовательности туннелей в чередующихся направлениях. Его пересечения с горизонтальными плоскостями состоят из чередующихся гипербол.

Он имеет неявное уравнение:

Он имеет Параметризация Вейерштрасса – Эннепера, и может быть параметризован как:[3]

за и . Это дает один период поверхности, который затем может быть расширен в направлении z за счет симметрии.

Поверхность была обобщена Х. Керхером на седельная башня семейство периодических минимальных поверхностей.

Несколько сбивает с толку, но в литературе эту поверхность иногда называют пятой поверхностью Шерка.[4][5] Чтобы свести к минимуму путаницу, полезно называть ее однопериодической поверхностью Шерка или башней Шерка.

внешняя ссылка

  • Сабитов, И.Х. (2001) [1994], "Scherk_surface", Энциклопедия математики, EMS Press
  • Первая поверхность Шерка в геометрии ИИГС [2]
  • Вторая поверхность Шерка в геометрии ИИГС [3]
  • Минимальные поверхности Шерка в Mathworld [4]

Рекомендации

  1. ^ H.F. Scherk, Bemerkungen über die kleinste Fläche innerhalb gegebener Grenzen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Volume 13 (1835) pp. 185–208 [1]
  2. ^ http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Scherk.html
  3. ^ Эрик В. Вайсштейн, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, 2-е изд., CRC press 2002
  4. ^ Николаос Капуолеас, Построение минимальных поверхностей путем склеивания минимальных погружений. В глобальной теории минимальных поверхностей: Труды Института математики Клея 2001, Летняя школа Института математических наук, Беркли, Калифорния, 25 июня - 27 июля 2001 г. с. 499
  5. ^ Дэвид Хоффман и Уильям Х. Микс, Пределы минимальных поверхностей и пятая поверхность Шерка, Архив рациональной механики и анализа, том 111, номер 2 (1990)