WikiDer > Эннепер поверхность

Часть поверхности Эннепер

В дифференциальная геометрия и алгебраическая геометрия, то Эннепер поверхность самопересекающаяся поверхность, которую можно описать параметрически к:

${displaystyle x = u (1-u ^ {2} / 3 + v ^ {2}) / 3,}$

${displaystyle y = v (1-v ^ {2} / 3 + u ^ {2}) / 3,}$

${displaystyle z = (u ^ {2} -v ^ {2}) / 3. }$

Он был представлен Альфред Эннепер в 1864 г. в связи с минимальная поверхность теория.^[1][2][3][4]

В Параметризация Вейерштрасса – Эннепера очень просто, ${displaystyle f (z) = 1, g (z) = z}$, и по нему легко вычислить реальную параметрическую форму. Поверхность сопрягать себе.

Методы неявной реализации алгебраическая геометрия можно использовать, чтобы узнать, что точки на поверхности Эннепера, указанные выше, удовлетворяют степени-9 многочлен уравнение^{[нужна цитата]}

${displaystyle 64z ^ {9} -128z ^ {7} + 64z ^ {5} -702x ^ {2} y ^ {2} z ^ {3} -18x ^ {2} y ^ {2} z + 144 ( y ^ {2} z ^ {6} -x ^ {2} z ^ {6})}$

${displaystyle {} +162 (y ^ {4} z ^ {2} -x ^ {4} z ^ {2}) + 27 (y ^ {6} -x ^ {6}) + 9 (x ^ { 4} z + y ^ {4} z) +48 (x ^ {2} z ^ {3} + y ^ {2} z ^ {3})}$

${displaystyle {} -432 (x ^ {2} z ^ {5} + y ^ {2} z ^ {5}) + 81 (x ^ {4} y ^ {2} -x ^ {2} y ^ {4}) + 240 (y ^ {2} z ^ {4} -x ^ {2} z ^ {4}) - 135 (x ^ {4} z ^ {3} + y ^ {4} z ^ {3}) = 0. }$

Вдвойне касательная плоскость в точке с заданными параметрами ${displaystyle a + bx + cy + dz = 0,}$ куда

${displaystyle a = - (u ^ {2} -v ^ {2}) (1 + u ^ {2} / 3 + v ^ {2} / 3),}$

${displaystyle b = 6u,}$

${displaystyle c = 6v,}$

${displaystyle d = -3 (1-u ^ {2} -v ^ {2}). }$

Его коэффициенты удовлетворяют неявному полиномиальному уравнению шестой степени

${displaystyle 162a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} + 6b ^ {2} c ^ {2} d ^ {2} -4 (b ^ {6} + c ^ {6}) + 54 (ab ^ {4} d-ac ^ {4} d) +81 (a ^ {2} b ^ {4} + a ^ {2} c ^ {4})}$

${displaystyle {} +4 (b ^ {4} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {4}) - 3 (b ^ {4} d ^ {2} + c ^ {4} d ^ {2}) + 36 (ab ^ {2} d ^ {3} -ac ^ {2} d ^ {3}) = 0. }$

В Якобиан, Гауссова кривизна и средняя кривизна находятся

${displaystyle J = (1 + u ^ {2} + v ^ {2}) ^ {4} / 81,}$

${displaystyle K = - (4/9) / J,}$

${displaystyle H = 0. }$

В полная кривизна является ${displaystyle -4pi}$. Оссерман доказал, что полная минимальная поверхность в ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ с полной кривизной ${displaystyle -4pi}$ либо катеноид или поверхность Эннепера.^[5]

Другое свойство состоит в том, что все бикубические минимальные Поверхности Безье до аффинное преобразование, кусочки поверхности.^[6]

Его можно обобщить на вращательную симметрию более высокого порядка с помощью параметризации Вейерштрасса – Эннепера ${displaystyle f (z) = 1, g (z) = z ^ {k}}$ для целого k> 1.^[3] Его также можно обобщить на более высокие измерения; Известно, что эннепероподобные поверхности существуют в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ для n до 7.^[7]

Рекомендации

внешняя ссылка

• «Поверхность Эннепера», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• https://web.archive.org/web/20130501084413/http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/enneper.html
• https://web.archive.org/web/20160919231223/https://secure.msri.org/about/sgp/jim/geom/minimal/library/ennepern/index.html