WikiDer > Солитон (оптика)

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Январь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В оптика, период, термин солитон используется для обозначения любого оптическое поле который не меняется во время размножения из-за тонкого баланса между нелинейный и линейные эффекты в среде.^[1] Есть два основных типа солитонов:

• пространственные солитоны: нелинейный эффект может уравновесить дифракция. Электромагнитное поле может изменить показатель преломления среды при распространении, создавая таким образом структуру, подобную волокно с градиентным индексом.^[2] Если поле также является распространяющейся модой созданной им направляющей, то оно останется ограниченным и будет распространяться без изменения своей формы.
• временные солитоны: если электромагнитное поле уже пространственно ограничено, можно посылать импульсы, которые не изменят свою форму, потому что нелинейные эффекты уравновешивают разброс. Эти солитоны были открыты первыми, и в оптике их часто называют просто «солитонами».

Пространственные солитоны

Чтобы понять, как может существовать пространственный солитон, мы должны сделать некоторые соображения относительно простого выпуклого линза. Как показано на рисунке справа, оптическое поле приближается к линзе, а затем фокусируется. Эффект линзы состоит в том, чтобы вызвать неравномерное изменение фазы, вызывающее фокусировку. Это фазовое изменение является функцией пространства и может быть представлено как ${displaystyle varphi (x)}$, форма которого приблизительно представлена ​​на рисунке.

Фазовое изменение можно выразить как произведение фазовая постоянная и ширину пути, пройденного полем. Мы можем записать это как:

${displaystyle varphi (x) = k_ {0} nL (x)}$

куда ${displaystyle L (x)}$ - ширина линзы, изменяющаяся в каждой точке с формой, аналогичной ${displaystyle varphi (x)}$ потому что ${displaystyle k_ {0}}$ и п являются константами. Другими словами, чтобы получить эффект фокусировки, нам просто нужно ввести изменение фазы такой формы, но мы не обязаны изменять ширину. Если оставить ширину L фиксируется в каждой точке, но мы меняем значение показатель преломления ${displaystyle n (x)}$ мы получим точно такой же эффект, но с совершенно другим подходом.

Это имеет применение в волокна с градиентным индексом: изменение показателя преломления приводит к эффекту фокусировки, который может уравновесить естественную дифракцию поля. Если эти два эффекта идеально уравновешивают друг друга, то внутри волокна распространяется ограниченное поле.

Пространственные солитоны основаны на том же принципе: Эффект Керра вводит фазовая самомодуляция который изменяет показатель преломления в зависимости от интенсивности:

${displaystyle varphi (x) = k_ {0} n (x) L = k_ {0} L [n + n_ {2} I (x)]}$

если ${displaystyle I (x)}$ имеет форму, аналогичную показанной на рисунке, то мы создали желаемое фазовое поведение, и поле покажет эффект самофокусировки. Другими словами, при распространении поле создает волоконную направляющую структуру. Если поле создает волокно и одновременно является модой такого волокна, это означает, что фокусирующие нелинейные и дифракционные линейные эффекты идеально сбалансированы, и поле будет распространяться бесконечно, не меняя своей формы (до тех пор, пока среда не изменится, и если можно пренебречь потерями, очевидно). Чтобы иметь эффект самофокусировки, мы должны иметь положительный ${displaystyle n_ {2}}$, иначе мы получим обратный эффект и не заметим нелинейного поведения.

Оптический волновод, который солитон создает при распространении, является не только математической моделью, но он действительно существует и может использоваться для направления других волн на разных частотах.^{[нужна цитата]}. Таким образом можно позволить свету взаимодействовать со светом на разных частотах (это невозможно в линейных средах).

Доказательство

Электрическое поле распространяется в среде, показывающей оптический эффект Керра, поэтому показатель преломления определяется как:

${displaystyle n (I) = n + n_ {2} I}$

Напомним, что связь между энергетической освещенностью и электрическим полем (в комплексном представлении)

${displaystyle I = {frac {| E | ^ {2}} {2eta}}}$

куда ${displaystyle eta = eta _ {0} / n}$ и ${displaystyle eta _ {0}}$ это импеданс свободного пространства, данный

${displaystyle eta _ {0} = {sqrt {frac {mu _ {0}} {varepsilon _ {0}}}} около 377 Омега.}$

Поле распространяется в ${displaystyle z}$ направление с фазовая постоянная ${displaystyle k_ {0} n}$. Сейчас мы будем игнорировать любую зависимость от у ось, предполагая, что она бесконечна в этом направлении. Тогда поле можно выразить как:

${displaystyle E (x, z, t) = A_ {m} a (x, z) e ^ {i (k_ {0} nz-omega t)}}$

куда ${displaystyle A_ {m}}$ - максимальная амплитуда поля и ${displaystyle a (x, z)}$ является безразмерной нормированной функцией (так что ее максимальное значение равно 1), которая представляет форму электрического поля среди Икс ось. В общем, это зависит от z потому что поля меняют свою форму при распространении. Теперь мы должны решить Уравнение Гельмгольца:

${displaystyle abla ^ {2} E + k_ {0} ^ {2} n ^ {2} (I) E = 0}$

где было ясно указано, что показатель преломления (следовательно, фазовая постоянная) зависит от интенсивности. Если заменить выражение электрического поля в уравнении, считая, что огибающая ${displaystyle a (x, z)}$ медленно изменяется при распространении, т.е.

${displaystyle left | {frac {partial ^ {2} a (x, z)} {partial z ^ {2}}} ight | ll left | k_ {0} {frac {partial ^ {2} a (x, z)} {partial z}} полет |}$

уравнение становится:

${displaystyle {frac {partial ^ {2} a} {partial x ^ {2}}} + i2k_ {0} n {frac {partial a} {partial z}} + k_ {0} ^ {2} [n ^ {2} (I) -n ^ {2}] a = 0.}$

Введем приближение, которое справедливо, поскольку нелинейные эффекты всегда намного меньше линейных:

${displaystyle [n ^ {2} (I) -n ^ {2}] = [n (I) -n] [n (I) + n] = n_ {2} I (2n + n_ {2} I) примерно 2nn_ {2} I}$

теперь выразим напряженность через электрическое поле:

${displaystyle [n ^ {2} (I) -n ^ {2}] примерно 2nn_ {2} {frac {| A_ {m} | ^ {2} | a (x, z) | ^ {2}} { 2eta _ {0} / n}} = n ^ {2} n_ {2} {frac {| A_ {m} | ^ {2} | a (x, z) | ^ {2}} {eta _ {0 }}}}$

уравнение становится:

${displaystyle {frac {1} {2k_ {0} n}} {frac {partial ^ {2} a} {partial x ^ {2}}} + i {frac {partial a} {partial z}} + {frac {k_ {0} nn_ {2} | A_ {m} | ^ {2}} {2eta _ {0}}} | a | ^ {2} a = 0.}$

Теперь предположим ${displaystyle n_ {2}> 0}$ так что нелинейный эффект вызовет самофокусировку. Чтобы сделать это очевидным, запишем в уравнении ${displaystyle n_ {2} = | n_ {2} |}$Давайте теперь определим некоторые параметры и заменим их в уравнении:

• ${displaystyle xi = {frac {x} {X_ {0}}}}$, поэтому мы можем выразить зависимость от Икс ось с безразмерным параметром; ${displaystyle X_ {0}}$ - длина, физический смысл которой станет яснее позже.
• ${displaystyle L_ {d} = X_ {0} ^ {2} k_ {0} n}$, после того, как электрическое поле распространилось по z для этой длины нельзя больше пренебрегать линейными эффектами дифракции.
• ${displaystyle zeta = {frac {z} {L_ {d}}}}$, для изучения z-зависимость с безразмерной переменной.
• ${displaystyle L_ {nell} = {frac {2eta _ {0}} {k_ {0} n | n_ {2} | cdot | A_ {m} | ^ {2}}}}$, после того, как электрическое поле распространилось по z для этой длины нельзя больше пренебрегать нелинейными эффектами. Этот параметр зависит от напряженности электрического поля, что характерно для нелинейных параметров.
• ${displaystyle N ^ {2} = {гидроразрыв {L_ {d}} {L_ {nell}}}}$

Уравнение становится:

${displaystyle {frac {1} {2}} {frac {partial ^ {2} a} {partial xi ^ {2}}} + i {frac {partial a} {partial zeta}} + N ^ {2} | а | ^ {2} а = 0}$

это обычное уравнение, известное как нелинейное уравнение Шредингера. Из этой формы можно понять физический смысл параметра N:

• если ${displaystyle Nll 1}$, то нелинейной частью уравнения можно пренебречь. Это означает ${displaystyle L_ {d} ll L_ {nell}}$, то поле будет подвержено линейному эффекту (дифракции) намного раньше, чем нелинейному эффекту, оно будет просто дифрагировать без какого-либо нелинейного поведения.
• если ${displaystyle Ngg 1}$, то нелинейный эффект будет более очевидным, чем дифракция, и из-за фазовой самомодуляции поле будет стремиться к фокусировке.
• если ${displaystyle Napprox 1}$, то два эффекта уравновешивают друг друга, и мы должны решить уравнение.

За ${displaystyle N = 1}$ решение уравнения простое и представляет собой фундаментальный солитон:

${displaystyle a (xi, zeta) = operatorname {sech} (xi) e ^ {izeta / 2}}$

где sech - это гиперболический секанс. Это все еще зависит от z, но только в фазе, поэтому форма поля не изменится во время распространения.

За ${displaystyle N = 2}$ решение еще можно выразить в закрытом виде, но оно имеет более сложную форму^[3]:

${displaystyle a (xi, zeta) = {frac {4 [cosh (3xi) + 3e ^ {4izeta} cosh (xi)] e ^ {izeta / 2}} {cosh (4xi) + 4cosh (2xi) + 3cos ( 4zeta)}}.}$

Он действительно меняет свою форму во время распространения, но является периодической функцией z с периодом ${displaystyle zeta = pi / 2}$.

Форма солитона при распространении с N = 1, не меняет своей формы

Форма солитона при распространении с N = 2, периодически меняет форму

Для солитонных решений N должно быть целым числом, и говорят, что это порядок или солитон. За ${displaystyle N = 3}$ также существует точное решение в замкнутой форме^[4]; он имеет еще более сложный вид, но имеет ту же периодичность. Фактически все солитоны с ${displaystyle Ngeq 2}$ иметь период ${displaystyle zeta = pi / 2}$^[5]. Их форму можно легко выразить только сразу после генерации:

${displaystyle a (xi, zeta = 0) = Noperatorname {sech} (xi)}$

справа график солитона второго порядка: вначале он имеет форму сечения, затем максимальная амплитуда увеличивается, а затем возвращается к форме сечения. Поскольку для генерации солитонов необходима высокая интенсивность, если поле еще больше увеличит свою напряженность, среда может быть повреждена.

Условие, которое необходимо решить, если мы хотим сгенерировать фундаментальный солитон, получается выражением N по всем известным параметрам, а затем положив ${displaystyle N = 1}$:

${displaystyle 1 = N = {frac {L_ {d}} {L_ {nell}}} = {frac {X_ {0} ^ {2} k_ {0} ^ {2} n ^ {2} | n_ {2}) } || A_ {m} | ^ {2}} {2eta _ {0}}}}$

что с точки зрения максимального значения освещенности становится:

${displaystyle I_ {max} = {frac {| A_ {m} | ^ {2}} {2eta _ {0} / n}} = {frac {1} {X_ {0} ^ {2} k_ {0}) ^ {2} n | n_ {2} |}}.}$

В большинстве случаев две переменные, которые можно изменить, - это максимальная интенсивность ${displaystyle I_ {max}}$ и ширина импульса ${displaystyle X_ {0}}$.

распространение различных оптических солитонов высшего порядка (серия изображений: малое усиление (без солитона), затем n1-n7)

Любопытно, что солитоны более высокого порядка могут приобретать сложную форму, прежде чем вернуться к своей исходной форме в конце периода солитона. На изображении различных солитонов спектр (слева) и временная область (справа) показаны на различных расстояниях распространения (вертикальная ось) в идеализированной нелинейной среде. Это показывает, как лазерный импульс может вести себя при движении в среде со свойствами, необходимыми для поддержки фундаментальных солитонов. На практике, чтобы достичь очень высокой пиковой интенсивности, необходимой для достижения нелинейных эффектов, лазерные импульсы можно вводить в оптические волокна, такие как фотонно-кристаллическое волокно с сильно ограниченными режимами распространения. Эти волокна имеют более сложную дисперсию и другие характеристики, которые отклоняются от аналитических параметров солитона.

Генерация пространственных солитонов

О первом эксперименте по пространственным оптическим солитонам сообщили в 1974 г. Ашкин и Бьоркхольм.^[6] в ячейке, заполненной парами натрия. Затем эта область была повторно изучена в экспериментах в Лиможском университете.^[7] в жидкости сероуглерод и расширилась в начале 90-х с первым наблюдением солитонов в фоторефрактивных кристаллах,^[8][9] стекло, полупроводники^[10] и полимеры. В течение последних десятилетий сообщалось о многочисленных открытиях в различных материалах для солитонов различной размерности, формы, спиралевидности, столкновения, слияния, расщепления, в однородных средах, периодических системах и волноводах.^[11] Пространственные солитоны также называют самозахватывающимися оптическими пучками, и их формирование обычно сопровождается самозаписывающимся волноводом. В нематике жидкие кристаллы,^[12] пространственные солитоны также называют нематиконы.

Солитоны с поперечной синхронизацией мод

Локализованные возбуждения в лазерах могут возникать из-за синхронизации поперечных мод.

Конфокальный ${displaystyle 2F}$ лазерный резонатор с нелинейным усилением и срезами поглотителя в сопряженных Фурье плоскостях

В конфокальном ${displaystyle 2F}$ лазерный резонатор вырожденные поперечные моды с одной продольной модой на длине волны ${displaystyle lambda}$ смешанный в нелинейном диске усиления ${displaystyle G}$ (расположен в ${displaystyle z = 0}$) и диск насыщающегося поглотителя ${displaystyle alpha}$ (расположен в ${displaystyle z = 2F}$) диаметра ${displaystyle D}$ способны образовывать пространственные солитоны гиперболического ${displaystyle sech}$ форма ^[13]:${displaystyle E (x, z = 0) sim {m {sech}} left (! {frac {pi xD} {2lambda F}} {sqrt {frac {1-alpha G} {G}}}, ight)}$

${displaystyle E (x, z = 2F) sim {m {sech}} left (! {frac {2pi x} {D}} {sqrt {frac {G} {1-alpha G}}}, ight)}$

в сопряженных Фурье плоскостях ${displaystyle z = 0}$ и ${displaystyle z = 2F}$^[14].

Временные солитоны

Основная проблема, ограничивающая передачу битрейт в оптические волокна является дисперсия групповой скорости. Это потому, что генерируемые импульсы имеют ненулевой пропускная способность а среда, в которой они распространяются, имеет показатель преломления, который зависит от частота (или же длина волны). Этот эффект представлен параметр дисперсии групповой задержки D; с его помощью можно точно рассчитать, насколько расширится импульс:

${displaystyle Delta au приблизительно DL, Delta lambda}$

куда L - длина волокна и ${displaystyle Delta lambda}$ ширина полосы пропускания по длине волны. Подход в современных системах связи заключается в том, чтобы сбалансировать такую ​​дисперсию с другими волокнами, имеющими D с разными знаками в разных частях волокна: так импульсы продолжают расширяться и сжиматься при распространении. С помощью временных солитонов можно полностью снять эту проблему.

линейные и нелинейные эффекты на гауссовых импульсах

Рассмотрим картинку справа. Слева стандартная Гауссовский Импульс, это огибающая поля, колеблющегося с определенной частотой. Мы предполагаем, что частота остается совершенно постоянной во время импульса.

Пусть теперь этот импульс распространяется по волокну с ${displaystyle D> 0}$, на него будет влиять дисперсия групповой скорости. Для этого знака D, дисперсия аномальный, так что более высокочастотные компоненты будут распространяться немного быстрее, чем более низкие частоты, таким образом достигая до конца волокна. Общий сигнал, который мы получаем, представляет собой более широкий чирпированный импульс, показанный в правом верхнем углу изображения.

влияние фазовой самомодуляции на частоту

Теперь предположим, что у нас есть среда, которая показывает только нелинейные Эффект Керра но его показатель преломления не зависит от частоты: такой среды не существует, но стоит рассмотреть ее, чтобы понять различные эффекты.

Фаза поля определяется как:

${displaystyle varphi (t) = omega _ {0} t-kz = omega _ {0} t-k_ {0} z [n + n_ {2} I (t)]}$

частота (согласно определению) определяется как:

${displaystyle omega (t) = {frac {partial varphi (t)} {partial t}} = omega _ {0} -k_ {0} zn_ {2} {frac {partial I (t)} {partial t}} }$

эта ситуация представлена ​​на рисунке слева. В начале импульса частота ниже, в конце выше. После прохождения через нашу идеальную среду мы получим чирпированный импульс без уширения, потому что мы пренебрегли дисперсией.

Возвращаясь к первому изображению, мы видим, что эти два эффекта вызывают изменение частоты в двух разных противоположных направлениях. Можно создать импульс, чтобы два эффекта уравновешивали друг друга. Учитывая более высокие частоты, линейная дисперсия будет способствовать их более быстрому распространению, а нелинейный эффект Керра замедлит их. Общий эффект будет заключаться в том, что импульс не изменяется при распространении: такие импульсы называются временными солитонами.

История временных солитонов

В 1973 г. Акира Хасегава и Фред Тапперт из AT&T Bell Labs были первыми, кто предположил, что солитоны могут существовать в оптические волокна, за счет баланса между фазовая самомодуляция и аномальная дисперсия.^[15][16]Также в 1973 г. Робин Буллоу сделал первый математический отчет о существовании оптических солитонов. Он также предложил идею системы передачи на основе солитонов для повышения производительности оптических телекоммуникации.

Солитоны в волоконно-оптической системе описываются Уравнения Манакова.

В 1987 г. П. Эмплит, Дж. П. Хамайда, Ф. Рейно, К. Фрёли и А. Бартелеми из университетов Брюсселя и Лиможа сделали первое экспериментальное наблюдение распространения темный солитон, в оптическом волокне.

В 1988 году Линн Молленауэр и его команда передали солитонные импульсы на расстояние более 4000 километров, используя явление, названное Рамановский эффект, названный в честь индийского ученого Сэр К. В. Раман кто впервые описал это в 1920-х годах, чтобы оптическое усиление в волокне.

В 1991 году исследовательская группа Bell Labs безошибочно передавала солитоны на скорости 2,5 гигабита на расстояние более 14000 километров, используя эрбий волоконно-оптические усилители (врезанные сегменты оптического волокна, содержащего редкоземельный элемент эрбий). Лазеры накачки, подключенные к оптическим усилителям, активируют эрбий, который возбуждает световые импульсы.^{[нужна цитата]}.

В 1998 году Тьерри Жорж и его команда на France Télécom Центр НИОКР, объединяющий оптические солитоны разных длин волн (мультиплексирование с разделением по длине волны), продемонстрировал передачу данных 1 терабит в секунду (1000000000000 единиц информации в секунду)^{[нужна цитата]}.

В 2020 году компания Optics Communications сообщила о японской команде из MEXT, коммутации оптических каналов с пропускной способностью до 90 Тбит / с (терабит в секунду), Optics Communications, том 466, 1 июля 2020 года, 125677.

Доказательство для временных солитонов.

Электрическое поле распространяется в среде, демонстрируя оптический эффект Керра через направляющую структуру (такую ​​как оптоволокно), что ограничивает мощность на ху самолет. Если поле распространяется в сторону z с фазовой постоянной ${displaystyle eta _ {0}}$, то это можно выразить в следующем виде:

${displaystyle E (mathbf {r}, t) = A_ {m} a (t, z) f (x, y) e ^ {i (eta _ {0} z-omega _ {0} t)}}$

куда ${displaystyle A_ {m}}$ - максимальная амплитуда поля, ${displaystyle a (t, z)}$ - огибающая, формирующая импульс во временной области; в общем это зависит от z потому что импульс может изменять свою форму при распространении; ${displaystyle f (x, y)}$ представляет форму поля на ху плоскости, и она не меняется во время распространения, потому что мы предположили, что поле направлено. Обе а и ж - нормализованные безразмерные функции, максимальное значение которых равно 1, так что ${displaystyle A_ {m}}$ действительно представляет собой амплитуду поля.

Поскольку в среде существует дисперсия, которой нельзя пренебречь, связь между электрическим полем и его поляризацией определяется выражением свертка интеграл. В любом случае, используя представление в Область Фурье, мы можем заменить свертку простым продуктом, используя, таким образом, стандартные отношения, действующие в более простых средах. Мы преобразуем электрическое поле по Фурье, используя следующее определение:

${displaystyle {ilde {E}} (mathbf {r}, omega -omega _ {0}) = int limits _ {- infty} ^ {infty} E (mathbf {r}, t) e ^ {- i (omega -omega _ {0}) t}, dt}$

Используя это определение, производная во временной области соответствует произведению в области Фурье:

${displaystyle {frac {partial} {partial t}} Eongleftrightarrow i (omega -omega _ {0}) {ilde {E}}}$

полное выражение поля в частотной области:

${displaystyle {ilde {E}} (mathbf {r}, omega -omega _ {0}) = A_ {m} {ilde {a}} (omega, z) f (x, y) e ^ {i eta _ {0} z}}$

Теперь мы можем решить Уравнение Гельмгольца в частотной области:

${displaystyle abla ^ {2} {ilde {E}} + n ^ {2} (omega) k_ {0} ^ {2} {ilde {E}} = 0}$

мы решаем выразить фазовая постоянная со следующими обозначениями:

${displaystyle {egin {выровнено} n (omega) k_ {0} = eta (omega) & = overbrace {eta _ {0}} ^ {ext {linear non-дисперсивный}} + overbrace {eta _ {ell} (omega )} ^ {ext {линейная дисперсия}} + overbrace {eta _ {nell}} ^ {ext {non-linear}} [8pt] & = eta _ {0} + Delta eta (омега) конец {выровнено}} }$

где мы предполагаем, что ${displaystyle Delta eta}$ (сумма линейной дисперсионной составляющей и нелинейной части) представляет собой небольшое возмущение, т.е. ${displaystyle | eta _ {0} | gg | Delta eta (omega) |}$. Фазовая постоянная может иметь любое сложное поведение, но мы можем представить ее с помощью Серия Тейлор сосредоточен на ${displaystyle omega _ {0}}$:

${displaystyle eta (omega) приблизительно eta _ {0} + (omega -omega _ {0}) eta _ {1} + {frac {(omega -omega _ {0}) ^ {2}} {2}} eta _ {2} + eta _ {nell}}$

где, как известно:

${displaystyle eta _ {u} = left. {frac {d ^ {u} eta (omega)} {Domega ^ {u}}} ight | _ {omega = omega _ {0}}}$

мы подставляем выражение электрического поля в уравнение и производим некоторые вычисления. Если предположить приближение медленно меняющейся огибающей:

${displaystyle left | {frac {partial ^ {2} {ilde {a}}} {partial z ^ {2}}} ight | ll left | eta _ {0} {frac {partial {ilde {a}}} {partial z}} ight |}$

мы получили:

${displaystyle 2i eta _ {0} {frac {partial {ilde {a}}} {partial z}} + [eta ^ {2} (omega) - eta _ {0} ^ {2}] {ilde {a} } = 0}$

мы игнорируем поведение в ху самолет, потому что он уже известен и дан ${displaystyle f (x, y)}$Сделаем небольшое приближение, как и для пространственного солитона:

${displaystyle {egin {выровнено} eta ^ {2} (omega) - eta _ {0} ^ {2} & = [eta (omega) - eta _ {0}] [eta (омега) + eta _ {0} ] [6pt] & = [eta _ {0} + Delta eta (omega) - eta _ {0}] [2 eta _ {0} + Delta eta (omega)] примерно 2 эта _ {0}, Delta eta (омега) конец {выровнен}}}$

заменяя это в уравнении, мы получаем просто:

${displaystyle i {frac {partial {ilde {a}}} {partial z}} + Delta eta (omega) {ilde {a}} = 0}$.

Теперь мы хотим вернуться во временную область. Выражая продукты производными, мы получаем двойственность:

${displaystyle Delta eta (omega) Longleftrightarrow i eta _ {1} {frac {partial} {partial t}} - {frac {eta _ {2}} {2}} {frac {partial ^ {2}} {partial t ^ {2}}} + eta _ {nell}}$

мы можем записать нелинейную составляющую через энергетическую освещенность или амплитуду поля:

${displaystyle eta _ {nell} = k_ {0} n_ {2} I = k_ {0} n_ {2} {frac {| E | ^ {2}} {2eta _ {0} / n}} = k_ { 0} n_ {2} n {frac {| A_ {m} | ^ {2}} {2eta _ {0}}} | a | ^ {2}}$

для двойственности с пространственным солитоном определим:

${displaystyle L_ {nell} = {frac {2eta _ {0}} {k_ {0} nn_ {2} | A_ {m} | ^ {2}}}}$

и этот символ имеет то же значение, что и в предыдущем случае, даже если контекст отличается. Уравнение становится:

${displaystyle i {frac {partial a} {partial z}} + i eta _ {1} {frac {partial a} {partial t}} - {frac {eta _ {2}} {2}} {frac {partial ^ {2} a} {частичный t ^ {2}}} + {frac {1} {L_ {nell}}} | a | ^ {2} a = 0}$

Мы знаем, что импульс распространяется по z ось с групповая скорость данный ${displaystyle v_ {g} = 1 / eta _ {1}}$, поэтому нас это не интересует, потому что мы просто хотим знать, как импульс меняет свою форму при распространении. Решаем изучить форму импульса, т.е. огибающую функцию а(·) С использованием эталона, который движется с полем с той же скоростью. Таким образом делаем замену

${displaystyle T = t- eta _ {1} z}$

и уравнение становится:

${displaystyle i {frac {partial a} {partial z}} - {frac {eta _ {2}} {2}} {frac {partial ^ {2} a} {partial T ^ {2}}} + {frac {1} {L_ {nell}}} | а | ^ {2} а = 0}$

Далее предположим, что среда, в которой распространяется поле, показывает аномальная дисперсия, т.е. ${displaystyle eta _ {2} <0}$ или в терминах параметра дисперсии групповой задержки ${displaystyle D = {frac {-2pi c} {lambda ^ {2}}} eta _ {2}> 0}$. Сделаем это более очевидным заменой в уравнении ${displaystyle eta _ {2} = - | eta _ {2} |}$. Определим теперь следующие параметры (двойственность с предыдущим случаем очевидна):

${displaystyle L_ {d} = {frac {T_ {0} ^ {2}} {| eta _ {2} |}}; qquad au = {frac {T} {T_ {0}}}; qquad zeta = {frac {z} {L_ {d}}}; qquad N ^ {2} = {frac {L_ {d}} {L_ {nell}}}}$

заменяя их в уравнении, мы получаем:

${displaystyle {frac {1} {2}} {frac {partial ^ {2} a} {partial au ^ {2}}} + i {frac {partial a} {partial zeta}} + N ^ {2} | а | ^ {2} а = 0}$

то есть точно то же уравнение, которое мы получили в предыдущем случае. Солитон первого порядка определяется выражением:

${displaystyle a (au, zeta) = operatorname {sech} (au) e ^ {izeta / 2}}$

в этом случае справедливы те же соображения, что и мы. Условие N = 1 становится условием амплитуды электрического поля:

${displaystyle | A_ {m} | ^ {2} = {frac {2eta _ {0} | eta _ {2} |} {T_ {0} ^ {2} n_ {2} k_ {0} n}}}$

или, с точки зрения освещенности:

${displaystyle I_ {max} = {frac {| A_ {m} | ^ {2}} {2eta _ {0} / n}} = {frac {| eta _ {2} |} {T_ {0} ^ {2} n_ {2} k_ {0}}}}$

или мы можем выразить это в терминах мощности, если мы введем эффективную площадь ${displaystyle A_ {ext {eff}}}$ определено так, что ${displaystyle P = IA_ {ext {eff}}}$:

${displaystyle P = {frac {| eta _ {2} | A_ {ext {eff}}} {T_ {0} ^ {2} n_ {2} k_ {0}}}}$

Устойчивость солитонов

Мы описали, что такое оптические солитоны, и, используя математику, мы увидели, что если мы хотим их создать, мы должны создать поле определенной формы (просто sech для первого порядка) с определенной мощностью, связанной с длительностью. импульса. Но что, если мы немного ошиблись в создании таких импульсов? Добавляя небольшие возмущения в уравнения и решая их численно, можно показать, что одномерные солитоны устойчивы. Их часто называют (1 + 1) D солитоны, что означает, что они ограничены в одном измерении (Икс или же т, как мы видели) и распространяются в другом (z).

Если мы создадим такой солитон, используя немного неправильную мощность или форму, то он будет сам настраиваться, пока не достигнет стандарта. сечь форма с правильной мощностью. К сожалению, это достигается за счет некоторой потери мощности, которая может вызвать проблемы, поскольку может генерировать другое несолитонное поле, распространяющееся вместе с желаемым полем. Одномерные солитоны очень устойчивы: например, если ${displaystyle 0,5$ мы все равно сгенерируем солитон первого порядка; если N Чем больше, тем больше мы сгенерируем солитон более высокого порядка, но его фокусировка при распространении может вызвать пики большой мощности, повреждающие среду.

Единственный способ создать (1 + 1) D пространственный солитон должен ограничивать поле на у ось с помощью диэлектрическая плита, то ограничивая поле Икс с помощью солитона.

С другой стороны, (2 + 1) D пространственные солитоны нестабильны, поэтому любое небольшое возмущение (например, из-за шума) может вызвать дифракцию солитона в виде поля в линейной среде или коллапс, тем самым повредив материал. Можно создать стабильную (2 + 1) D пространственные солитоны с использованием насыщающих нелинейных сред, где соотношение Керра ${displaystyle n (I) = n + n_ {2} I}$ действует до тех пор, пока не достигнет максимального значения. Работа вблизи этого уровня насыщения позволяет создать устойчивый солитон в трехмерном пространстве.

Если мы рассматриваем распространение более коротких (временных) световых импульсов или на большее расстояние, нам необходимо учитывать поправки более высокого порядка, и, следовательно, огибающая несущей импульса определяется нелинейное уравнение Шредингера высшего порядка (HONSE), для которых существуют специализированные (аналитические) солитонные решения.^[17]

Влияние потерь мощности

Как мы видели, для создания солитона необходимо иметь правильную мощность при его генерации. Если в среде нет потерь, то мы знаем, что солитон будет продолжать распространяться вечно, не меняя формы (1-й порядок) или периодически изменяя свою форму (более высокие порядки). К сожалению, любая среда приводит к потерям, поэтому фактическое поведение мощности будет иметь вид:

${displaystyle P (z) = P_ {0} e ^ {- альфа z}}$

это серьезная проблема для временных солитонов, распространяющихся в волокнах на несколько километров. Рассмотрим, что происходит с временным солитоном, сразу же обобщение на пространственные. Мы доказали, что связь между властью ${displaystyle P_ {0}}$ и длина импульса ${displaystyle T_ {0}}$ является:

${displaystyle P = {frac {| eta _ {2} | A_ {ext {eff}}} {T_ {0} ^ {2} n_ {2} k_ {0}}}}$

при изменении власти единственное, что может измениться во второй части отношений, - это ${displaystyle T_ {0}}$. если мы добавим потери к мощности и решим отношения в терминах ${displaystyle T_ {0}}$ мы получили:

${displaystyle T (z) = T_ {0} e ^ {(альфа / 2) z}}$

ширина импульса растет экспоненциально, чтобы уравновесить потери! это соотношение верно до тех пор, пока существует солитон, т. е. пока это возмущение не будет малым, поэтому оно должно быть ${displaystyle alpha zll 1}$ в противном случае мы не можем использовать уравнения для солитонов и должны изучать стандартную линейную дисперсию. Если мы хотим создать систему передачи с использованием оптических волокон и солитонов, мы должны добавить оптические усилители чтобы ограничить потерю мощности.

Генерация солитонного импульса

Проведены эксперименты по анализу влияния высокочастотного (20 МГц - 1 ГГц) внешнего магнитного поля, индуцированного нелинейным Эффект Керра на одномодовом оптическом волокне значительной длины (50–100 м) для компенсации дисперсия групповой скорости (ДГС) и последующая эволюция солитонного импульса (пиковая энергия, узкая, секущий гиперболический пульс).^[18] Генерация солитонного импульса в волокне - очевидный вывод, так как фазовая самомодуляция из-за высокой энергии смещения импульса GVD, тогда как длина эволюции составляет 2000 км. (длина волны лазера выбрана больше 1,3 микрометра). Кроме того, пиковый солитонный импульс имеет период 1–3 пс, поэтому он надежно размещается в оптической полосе пропускания. После генерации солитонного импульса он в наименьшей степени рассеивается по оптоволокну длиной в тысячи километров, что ограничивает количество ретрансляционных станций.

Темные солитоны

При анализе солитонов обоих типов мы исходили из определенных условий среды:

• в пространственных солитонах, ${displaystyle n_ {2}> 0}$, это означает, что фазовая самомодуляция вызывает самофокусировку
• во временных солитонах, ${displaystyle eta _ {2} <0}$ или же ${displaystyle D> 0}$, аномальная дисперсия

Можно ли получить солитоны, если эти условия не проверены? если мы предположим ${displaystyle n_ {2} <0}$ или же ${displaystyle eta _ {2}> 0}$, получим следующее дифференциальное уравнение (оно имеет одинаковый вид в обоих случаях, мы будем использовать только обозначения временного солитона):

${displaystyle {frac {-1} {2}} {frac {partial ^ {2} a} {partial au ^ {2}}} + i {frac {partial a} {partial zeta}} + N ^ {2} | a | ^ {2} a = 0.}$

Это уравнение имеет солитоноподобные решения. Для первого заказа (N = 1):

${displaystyle a (au, zeta) = anh (au) e ^ {izeta}. }$

мощность темного солитона

Сюжет о ${displaystyle | a (au, zeta) | ^ {2}}$ показан на картинке справа. Для солитонов высших порядков (${displaystyle N> 1}$) мы можем использовать следующее выражение в закрытой форме:

${displaystyle a (au, zeta = 0) = N anh (au). }$

Это солитон в том смысле, что он распространяется, не изменяя своей формы, но не создается нормальным импульсом; скорее, это недостаток энергии в непрерывном временном пучке. Интенсивность постоянна, но в течение короткого времени, в течение которого она скачет до нуля и обратно, генерируя «темный импульс» ». Эти солитоны фактически могут быть сгенерированы путем введения коротких темных импульсов в гораздо более длинные стандартные импульсы. С темными солитонами труднее работать, чем со стандартными солитонами, но они показали, что они более устойчивы и устойчивы к потерям.

Смотрите также

• Солитон
• Фазовая самомодуляция
• Оптический эффект Керра
• векторный солитон
• нематикон
• Ультракороткий импульс

Рекомендации

Библиография

внешняя ссылка

Викискладе есть медиафайлы по теме Солитон (оптика).

• Распространение солитонов в SMF-28 с помощью GPU