WikiDer > Модель Соловея

Solovay model

В математической области теория множеств, то Модель Соловея это модель построенный Роберт М. Соловей (1970), в котором все аксиомы Теория множеств Цермело – Френкеля (ZF), за исключением аксиома выбора, но в котором все наборы из действительные числа находятся Измеримый по Лебегу. Конструкция основана на существовании недоступный кардинал.

Таким образом, Соловей показал, что аксиома выбора существенна для доказательства существования неизмеримое множество, по крайней мере при условии, что существование недоступного кардинала согласуется с ZFC, аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля, включая аксиому выбора.

Заявление

ZF - это теория множеств Цермело – Френкеля, а DC - теория множеств. аксиома зависимого выбора.

Теорема Соловея заключается в следующем. Предполагая, что существует недоступный кардинал, существует внутренняя модель ZF + DC подходящего принуждение к продлению V[грамм] такой, что каждый набор действительных чисел измерим по Лебегу, имеет идеальный набор собственности, и имеет Бэр недвижимость.

Строительство

Соловай построил свою модель в два этапа, начав с модели M ZFC, содержащего недоступный кардинал κ.

Первый шаг - сделать Леви коллапс M[грамм] из M добавив общий набор грамм для понятия принуждения, которое сводит все кардиналы, меньшие, чем κ, к ω. потом M[грамм] является моделью ZFC, обладающей тем свойством, что каждое множество действительных чисел, которое определимо над счетной последовательностью ординалов, измеримо по Лебегу и обладает свойствами Бэра и совершенного множества. (Сюда входят все определяемые и проективные множества реалов; однако по причинам, связанным с Теорема Тарского о неопределенности понятие определимого множества действительных чисел не может быть определено на языке теории множеств, в то время как понятие множества действительных чисел, определимых над счетной последовательностью ординалов, может быть определено.)

Второй шаг - построение модели Соловея. N как класс всех множеств в M[грамм], которые наследственно определимы над счетной последовательностью ординалов. Модель N это внутренняя модель M[грамм], удовлетворяющей ZF + DC, так что каждый набор вещественных чисел измерим по Лебегу, обладает свойством совершенного множества и свойством Бэра. Доказательство этого использует тот факт, что каждое действительное в M[грамм] определима над счетной последовательностью ординалов, а значит, N и M[грамм] имеют те же реальные числа.

Вместо использования модели Соловея N, можно также использовать меньшую внутреннюю модель L(р) из M[грамм], состоящий из конструктивного замыкания действительных чисел, обладающего аналогичными свойствами.

Дополнения

В своей статье Соловей предположил, что использование недоступного кардинала может быть ненужным. Некоторые авторы доказали более слабые версии результата Соловея, не предполагая существования недоступного кардинала. Особенно Кривино (1969) показал, что существует модель ZFC, в которой каждое ординально-определимое множество вещественных чисел измеримо, Соловей показал, что существует модель ZF + DC, в которой существует некоторое трансляционно-инвариантное расширение меры Лебега на все подмножества вещественных чисел, и Шела (1984) показал, что существует модель, в которой все множества действительных чисел обладают свойством Бэра (так что недоступный кардинал в данном случае действительно не нужен).

Случай идеального множества был решен Спекер (1957), который показал (в ZF), что если каждый набор действительных чисел имеет свойство совершенного множества и первый несчетный кардинал ℵ1 правильно, то ℵ1 недоступен в конструируемая вселенная. В сочетании с результатом Соловея это показывает, что утверждения «Существует недоступный кардинал» и «Каждый набор вещественных чисел имеет свойство совершенного множества» равносогласован по ZF.

Ну наконец то, Шела (1984) показал, что непротиворечивость недоступного кардинала также необходима для построения модели, в которой все множества действительных чисел измеримы по Лебегу. Точнее он показал, что если каждый Σ1
3 множество действительных чисел измеримо, то первый несчетный кардинал1 недоступно в конструктивной вселенной, так что условие о недоступном кардинале не может быть исключено из теоремы Соловея. Шела также показал, что Σ1
3 приближается к наилучшему возможному за счет построения модели (без использования недоступного кардинала), в которой все Δ1
3 наборы действительных чисел измеримы. Видеть Резонье (1984) и Стерн (1985) и Миллер (1989) для демонстрации результатов Шелаха.

Шела и Вудин (1990) показал, что если суперкомпактные кардиналы существуют тогда каждый набор действительных чисел в L(р), конструктивные множества, порожденные действительными числами, измеримы по Лебегу и обладают свойством Бэра; сюда входят все "разумно определяемые" наборы вещественных чисел.

Рекомендации

  • Кривин, Жан-Луи (1969), "Modèles de ZF + AC dans lesquels tout ensemble de réels définissable en termes d'ordinaux est mesurable-Lebesgue", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 269: A549 – A552, ISSN 0151-0509, МИСТЕР 0253894
  • Кривин, Жан-Луи (1971), "Теории консистенции в теории мер Р. Солове", Séminaire Bourbaki vol. Выставки 1968/69 года 347-363, Конспект лекций по математике, 179, стр. 187–197, Дои:10.1007 / BFb0058812, ISBN 978-3-540-05356-9
  • Миллер, Арнольд В. (1989), "Обзор книги" Сможете ли вы отобрать у Соловея недоступное? " по Сахарон Шелах"", Журнал символической логики, Ассоциация символической логики, 54 (2): 633–635, Дои:10.2307/2274892, ISSN 0022-4812, JSTOR 2274892
  • Резонье, Жан (1984), "Математическое доказательство теоремы С. Шелаха о проблеме меры и связанных с ней результатов.", Israel J. Math., 48: 48–56, Дои:10.1007 / BF02760523, МИСТЕР 0768265
  • Шела, Сахарон (1984), «Сможете ли вы отобрать у Соловея недоступное?», Израильский математический журнал, 48 (1): 1–47, Дои:10.1007 / BF02760522, ISSN 0021-2172, МИСТЕР 0768264
  • Шела, Сахарон; Вудин, Хью (1990), «Большие кардиналы подразумевают, что каждый разумно определимый набор действительных чисел измерим по Лебегу», Израильский математический журнал, 70 (3): 381–394, Дои:10.1007 / BF02801471, ISSN 0021-2172, МИСТЕР 1074499
  • Соловей, Роберт М. (1970), «Модель теории множеств, в которой каждый набор действительных чисел измерим по Лебегу», Анналы математики, Вторая серия, 92 (1): 1–56, Дои:10.2307/1970696, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970696, МИСТЕР 0265151
  • Спекер, Эрнст (1957), "Zur Axiomatik der Mengenlehre (Fundierungs- und Auswahlaxiom)", Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 3 (13–20): 173–210, Дои:10.1002 / malq.19570031302, ISSN 0044-3050, МИСТЕР 0099297
  • Стерн, Жак (1985), «Проблемная мера», Astérisque (121): 325–346, ISSN 0303-1179, МИСТЕР 0768968